初中数学华师大版九年级下册26.2 二次函数的图象与性质综合与测试随堂练习题

这是一份初中数学华师大版九年级下册26.2 二次函数的图象与性质综合与测试随堂练习题，共28页。试卷主要包含了0分），【答案】D，【答案】C，【答案】B等内容，欢迎下载使用。


26.2二次函数的图像与性质同步练习华师大版初中数学九年级下册
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 已知二次函数y=x2−2ax+a2−2a−4(a为常数)的图象与x轴有交点，且当x>3时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是(    )
A. a≥−2 B. a<3 C. −2≤a<3 D. −2≤a≤3
2. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=−1，下列结论不正确的是(    )
A. b2>4ac
B. abc>0
C. a−c<0
D. am2+bm≥a−b(m为任意实数)

3. 已知二次函数y=x2−2bx+2b2−4c(其中x是自变量)的图象经过不同两点A(1−b,m)，B(2b+c,m)，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b+c的值为(    )
A. −1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 已知，等边三角形ABC和正方形DEFG的边长相等，按如图所示的位置摆放(C点与E点重合)，点B、C、F共线，△ABC沿BF方向匀速运动，直到B点与F点重合．设运动时间为t，运动过程中两图形重叠部分的面积为S，则下面能大致反映s与t之间关系的函数图象是(    )
A. B.
C. D.
5. 关于二次函数y=14x2−6x+a+27，下列说法错误的是(    )
A. 若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点(4,5)，则a=−5
B. 当x=12时，y有最小值a−9
C. x=2对应的函数值比最小值大7
D. 当a<0时，图象与x轴有两个不同的交点
6. 已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x
−1
0
2
3
4
y
5
0
−4
−3
0
下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x=2；③当00；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若A(x1,2)，B(x2,3)是抛物线上两点，则x1 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7. 如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1，下列结论：
①abc>0；②b2−4ac>0；③8a+c<0；④5a+b+2c>0，
正确的有(    )
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
8. 在同一平面直角坐标系内，二次函数y=ax2+bx+b(a≠0)与一次函数y=ax+b的图象可能是(    )
A. B.
C. D.
9. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：
①ac<0；②3a+c=0；③4ac−b2<0；④当x>−1时，y随x的增大而减小．
其中正确的有(    )
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
10. 如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(−1,0)和B，与y轴交于点C.下列结论：①abc<0，②2a+b<0，③4a−2b+c>0，④3a+c>0，其中正确的结论个数为(    )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
11. 已知点P(m,n)在抛物线y=ax2−10ax+25a+9(a≠0)上，当31；当7 A. 1 B. −1 C. 2 D. −2
12. 已知A(x1,y1)，B(x2,y2)是y=ax2−2x+c(a≠0)上的两点，则下列命题正确的是(    )
A. 若x1>x2>0时，y1>y2>c，则开口一定向下
B. 若x1y2>c，则开口一定向上
C. 若x1>x2>0时，y1>c>y2，则开口一定向上
D. 若x1y2>c，则开口一定向下
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
13. 当−1≤x≤3时，二次函数y=x2−4x+5有最大值m，则m=______．
14. 如图，在平面直角坐标系中抛物线y=x2−3x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是对称轴右侧抛物线上一点，且tan∠DCB=3，则点D的坐标为______．

15. 如图，P是抛物线y=−x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为______．



16. 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为(−3,0)，对称轴为x=−1，则当y<0时，x的取值范围是______．




17. 如图，Rt△OAB的顶点A(−2,4)在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为______．





三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）
18. 已知二次函数的图象以A(−1,4)为顶点，且过点B(2,−5)．
(1)求该函数的表达式；
(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标．







19. 如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A(−1,0)、B(2,0)，与y轴交于点C(0,4)，点P是第一象限内抛物线上的一点．
(1)求该抛物线所对应的函数解析式；
(2)设四边形CABP的面积为S，求S的最大值．












20. 如图，抛物线y=−x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA=OB，点G为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式及点G的坐标；
(2)点M，N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间(含点M，N)的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围．







21. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx−1a与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
(1)求点B的坐标(用含a的式子表示)；
(2)求抛物线的对称轴；
(3)已知点P(12,−1a)，Q(2,2).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．







22. 已知二次函数的解析式是y=12x2−3x+52．
(1)用配方法将y=12x2−3x+52化成y=a(x−h)2+k的形式，并写出该二次函数的对称轴和顶点坐标；
(2)二次函数y=12x2−3x+52的图象与x轴相交吗？说明理由；若相交，求出交点坐标．







23. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A(1,0)和点B，与y轴交于点C(0,6)，对称轴为直线x=2，顶点为D.求二次函数的解析式及四边形ADBC的面积．














24. 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点．
(1)求b，c的值；
(2)观察函数的图象，直接写出当x取何值时，y>0；______．
(3)设抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．











25. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为C(3,6)，并与y轴交于点B(0,3)，点A是对称轴与x轴的交点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值；
(3)如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD=30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD=60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．








答案和解析
1.【答案】D

【解析】解：∵二次函数y=x2−2ax+a2−2a−4(a为常数)的图象与x轴有交点，
∴△=(−2a)2−4×1×(a2−2a−4)≥0
解得：a≥−2；
∵抛物线的对称轴为直线x=−−2a2=a，抛物线开口向上，且当x>3时，y随x的增大而减小，
∴a≤3，
∴实数a的取值范围是−2≤a≤3．
故选：D．
根据图象与x轴有交点，得出判别式△≥0，解得a≥−2；再求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当x>3时，y随x的增大而增大，可得a≤3，从而得出答案．
本题考查了抛物线与x轴的交点和二次函数的图象与性质，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键．

2.【答案】C

【解析】
【分析】
根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系．
【解答】
解：由图象可得：a>0，c>0，△=b2−4ac>0，−b2a=−1，
∴b=2a>0，b2>4ac，故A选项不合题意，
∴abc>0，故B选项不合题意，
当x=−1时，y<0，
∴a−b+c<0，
∴−a+c<0，即a−c>0，故C选项符合题意，
当x=m时，y=am2+bm+c，
当x=−1时，y有最小值为a−b+c，
∴am2+bm+c≥a−b+c，
∴am2+bm≥a−b，故D选项不合题意，
故选C．  
3.【答案】C

【解析】解：由二次函数y=x2−2bx+2b2−4c的图象与x轴有公共点，
∴(−2b)2−4×1×(2b2−4c)≥0，即b2−4c≤0 ①，
由抛物线的对称轴x=−−2b2=b，抛物线经过不同两点A(1−b,m)，B(2b+c,m)，
b=1−b+2b+c2，即，c=b−1 ②，
②代入①得，b2−4(b−1)≤0，即(b−2)2≤0，因此b=2，
c=b−1=2−1=1，
∴b+c=2+1=3，
故选：C．
求出抛物线的对称轴x=b，再由抛物线的图象经过不同两点A(1−b,m)，B(2b+c,m)，也可以得到对称轴为1−b+2b+c2，可得b=c+1，再根据二次函数的图象与x轴有公共点，得到b2−4c≤0，进而求出b、c的值．
本题考查二次函数的图象和性质，理解抛物线的对称性、二次函数与一元二次方程的关系是解决问题的关键．

4.【答案】A

【解析】解：设等边三角形ABC和正方形DEFG的边长都为a，
当点C在EF的中点左侧时，
设AC交DE于点H，

则CE=t，HE=CEtan∠ACB=t×3=3t，
则S=S△CEH=12×CE×HE=12×t×3t=32t2，图象为开口向上的二次函数；
当点C在EF的中点右侧时，
同理可得：S=32a2−32(a−t)2=32(−t2+2at)，图象为开口向下的二次函数；
故选：A．
分点C在EF中点的左侧、点C在EF中点的右侧两种情况，分别求出函数的表达式即可求解．
本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．

5.【答案】C

【解析】解：A、将二次函数y=14x2−6x+a+27=14(x−12)2+a−9向上平移10个单位，再向左平移2个单位后，
表达式为：y=14(x−10)2+a+1，
若过点(4,5)，
则5=14(4−10)2+a+1，解得：a=−5，故选项正确；
B、∵y=14(x−12)2+a−9，开口向上，
∴当x=12 时，y有最小值a−9，故选项正确；
当x=2时，y=a+16，最小值为a−9，a+16−(a−9)=25，即x=2对应的函数值比最小值大25，故选项错误；
D、△=(−6)2−4×14×(a+27)=9−a，当a<0时，9−a>0，
即方程14x2−6x+a+27=0有两个不同的实数根，即二次函数图象与x轴有两个不同的交点，故选项正确，
故选：C．
求出二次函数平移之后的表达式，将(4,5)代入，求出a即可判断A；将函数表达式化为顶点式，即可判断B；求出当x=2时的函数值，减去函数最小值即可判断C；写出函数对应方程的根的判别式，根据a值判断判别式的值，即可判断D．
本题考查了二次函数的图象和性质，涉及到二次函数的基本知识点，解题的关键是掌握二次函数的性质，以及与一元二次方程的关系．

6.【答案】B

【解析】解：设抛物线解析式为y=ax(x−4)，
把(−1,5)代入得5=a×(−1)×(−1−4)，解得a=1，
∴抛物线解析式为y=x2−4x，所以①正确；
抛物线的对称性为直线x=2，所以②正确；
∵抛物线与x轴的交点坐标为(0,0)，(4,0)，
∴当0 抛物线与x轴的两个交点间的距离是4，所以④正确；
若A(x1,2)，B(x2,3)是抛物线上两点，则x2 故选：B．
先利用交点式求出抛物线解析式，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性可对②进行判断；利用抛物线与x轴的交点坐标为(0,0)，(4,0)可对③④进行判断；根据二次函数的增减性可对⑤进行判断．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．

7.【答案】B

【解析】
【分析】
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题．
【解答】
解：由抛物线的开口向下可得：a<0，
根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a，b异号，所以b>0，
根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c>0，
∴abc<0，故①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，故②正确；
∵直线x=1是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴，所以−b2a=1，可得b=−2a，
由图象可知，当x=−2时，y<0，即4a−2b+c<0，
∴4a−2×(−2a)+c<0，
即8a+c<0，故③正确；
由图象可知，当x=2时，y=4a+2b+c>0；当x=−1时，y=a−b+c>0，
两式相加得，5a+b+2c>0，故④正确；
∴结论正确的是②③④，3个，
故选：B．  
8.【答案】C

【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键．根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【解答】
解：A.二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a>0，b<0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，
故A错误；
B.∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，
故B错误；
C.二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a>0，b<0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，
故C正确；
∵D.二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a>0，b<0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，
故D错误；
故选C．  
9.【答案】B

【解析】解：①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，
∴a>0，c<0，
∴ac<0，结论①正确；
②∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴−b2a=1，
∴b=−2a，
∵抛物线经过点(−1,0)，
∴a−b+c=0，
∴a+2a+c=0，即3a+c=0，结论②正确；
③∵抛物线与x轴由两个交点，
∴b2−4ac>0，即4ac−b2<0，结论③正确；
④∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x=1，
∴当x<1时，y随x的增大而减小，结论④错误；
故选：B．
二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析判断即可．
本题主要考查抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．

10.【答案】B

【解析】
【分析】
本题主要考查抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴求出2a与b的关系．
【解答】
解：①∵由抛物线的开口向上知a>0，
∵对称轴位于y轴的右侧，
∴b<0．
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c<0，
∴abc>0，故错误；
②对称轴为x=−b2a<1，得2a>−b，即2a+b>0，故错误；
③当x=−2时，y>0，4a−2b+c>0，故正确；
④∵当x=−1时，y=0，
∴0=a−b+c0.故正确．
综上所述，有2个结论正确．
故选：B．  
11.【答案】D

【解析】解：∵抛物线y=ax2−10ax+25a+9=a(x−5)2+9(a≠0)，
∴抛物线的顶点为(5,9)，
∵当7 ∴a不可能大于0，
则a<0，
∴x<5时，y随x的增大而增大，x>5时，y随x的增大而减小，
∵当31，当7 ∴m=3时，n≤1，m=7时，n≥1，
∴4a+9≤14a+9≥1，
∴4a+9=1，
∴a=−2，
故选：D．
依解析式可知顶点坐标，根据当7 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握增减性，理解“31，当7
12.【答案】C

【解析】解：A、如图1中，满足若x1>x2>0时，y1>y2>c，抛物线的开口向上，故选项A错误，不符合题意．

B、如图2中，满足若x1y2>c抛物线的开口向下，故选项B错误，不符合题意．

D、如图3中，若x1y2>c，抛物线的开口向上，故选项D错误，不符合题意．

故选：C．
利用图象法，用反例说明A，B，D错误，即可解决问题．
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

13.【答案】10

【解析】
【分析】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决．
【解答】
解：∵二次函数y=x2−4x+5=(x−2)2+1，
∴该函数开口向上，对称轴为x=2，
∵当−1≤x≤3时，二次函数y=x2−4x+5有最大值m，
∴当x=−1时，该函数取得最大值，此时m=(−1−2)2+1=10，
故答案为：10．  
14.【答案】(72,154)

【解析】解：∵抛物线y=x2−3x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
∴解得A(1,0)，B(2,0)，C(0,2)，
∴OB=OC
∴∠OBC=45°，
如图，

过点B作BM⊥BC交CD延长线于点M，
过点M作MG⊥x轴于点G，
∴∠COB=∠MGB=90°
∴∠CBO+∠MBG=90°
∴∠MBG=45°
∴MG=BG
∴等腰直角三角形OCB∽等腰直角三角形GBM
∴BCBM=OCBG
∵tan∠DCB=MBBC=3
∴13=2BG
∴BG=6
∴MG=6
∴M(8,6)
设直线CM解析式为y=kx+b，
把C(0,2)，M(8,6)代入，
解得k=12，b=2
所以直线CM的解析式为y=12x+2
联立y=12x+2y=x2−3x+2
解得x1=0y1=2，x2=72y2=154
∴D(72,154)
故答案为(72,154).
根据抛物线y=x2−3x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，得A(1,0)，B(2,0)，C(0,2)，
过点B作BM⊥BC交CD延长线于点M，过点M作MG⊥x轴于点G，
易证等腰直角三角形OCB∽等腰直角三角形GBM，可得M(8,6)，
再求得直线CM的解析式为y=12x+2，联立直线和抛物线，
解方程组即可得点D的坐标．
本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．

15.【答案】6

【解析】解：∵y=−x2+x+2，
∴当y=0时，−x2+x+2=0即−(x−2)(x+1)=0，
解得x=2或x=−1
故设P(x,y)(2>x>0,y>0)，
∴C=2(x+y)=2(x−x2+x+2)=−2(x−1)2+6．
∴当x=1时，C最大值=6，．
即四边形OAPB周长的最大值为6．
故答案是：6．
设P(x,y)(2>x>0,y>0)，根据矩形的周长公式得到C=−2(x−1)2+6.根据二次函数的性质来求最值即可．
本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征．求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题采用了配方法．

16.【答案】−3
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，关键是得到抛物线与x轴的另一个交点．根据物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y<0时，x的取值范围．
【解答】
解：∵物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点坐标为(−3,0)，对称轴为x=−1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(1,0)，
由图象可知，当y<0时，x的取值范围是−3 故答案为−3 17.【答案】(2,2)

【解析】
【分析】
先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得D(0,2)，且DC//x轴，从而求得P的纵坐标为2，代入求得的解析式即可求得P的坐标．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意求得P的纵坐标是解题的关键．
【解答】
解：∵Rt△OAB的顶点A(−2,4)在抛物线y=ax2上，
∴4=4a，解得a=1，
∴抛物线为y=x2，
∵点A(−2,4)，
∴B(−2,0)，
∴OB=2，
∵将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，
∴D点在y轴上，且OD=OB=2，
∴D(0,2)，
∵DC⊥OD，
∴DC//x轴，
∴P点的纵坐标为2，
代入y=x2，得2=x2，
解得x=±2，
∴P(2,2)．
故答案为(2,2)．  
18.【答案】解：(1)由顶点A(−1,4)，可设二次函数关系式为y=a(x+1)2+4(a≠0)，
∵二次函数的图象过点B(2,−5)，
∴点B(2,−5)满足二次函数关系式，
∴−5=a(2+1)2+4，
解得a=−1，
∴二次函数的关系式是y=−(x+1)2+4，即y=−x2−2x+3；
(2)令x=0，则y=−(0+1)2+4=3，
∴图象与y轴的交点坐标为(0,3)；
令y=0，则0=−(x+1)2+4，
解得x1=−3，x2=1，
故图象与x轴的交点坐标是(−3,0)和(1,0)．

【解析】本题考查了运用待定系数法确定二次函数的关系式以及求抛物线与坐标轴的交点坐标问题．解题关键是运用“顶点式”正确求出抛物线的解析式．
(1)根据图象的顶点A(−1,4)来设该二次函数的关系式，然后将点B代入，即用待定系数法来求二次函数解析式；
(2)令y=0，将其代入函数关系式，解一元二次方程得出抛物线与x轴的交点坐标；再令x=0，即可求出抛物线与y轴的交点坐标．


19.【答案】解：(1)∵A(−1,0)，B(2,0)，C(0,4)，
设抛物线表达式为：y=a(x+1)(x−2)，
将C代入得：4=−2a，
解得：a=−2，
∴该抛物线的解析式为：y=−2(x+1)(x−2)=−2x2+2x+4；
(2)连接OP，设点P坐标为(m,−2m2+2m+4)，m>0，
∵A(−1,0)，B(2,0)，C(0,4)，
可得：OA=1，OC=4，OB=2，
∴S=S四边形CABP=S△OAC+S△OCP+S△OPB
=12×1×4+12×4m+12×2×(−2m2+2m+4)
=−2m2+4m+6
=−2(m−1)2+8，
当m=1时，S最大，最大值为8．

【解析】本题考查了二次函数的最值，以及待定系数法求二次函数表达式，解题的关键是能将四边形CABP的面积表示出来
(1)设二次函数表达式为y=a(x+1)(x−2)，再将点C代入，求出a值即可；
(2)连接OP，设点P坐标为(m,−2m2+2m+4)，m>0，利用S四边形CABP=S△OAC+S△OCP+S△OPB得出S关于m的表达式，再求最值即可．

20.【答案】解：(1)∵抛物线y=−x2+2x+c与y轴正半轴分别交于点B，
∴点B(0,c)，
∵OA=OB=c，
∴点A(c,0)，
∴0=−c2+2c+c，
∴c=3或0(舍去)，
∴抛物线解析式为：y=−x2+2x+3，
∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴顶点G为(1,4)；
(2)∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴对称轴为直线x=1，
∵点M，N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，
∴点M的横坐标为−2或4，点N的横坐标为6，
∴点M坐标为(−2,−5)或(4,−5)，点N坐标(6,−21)，
∵点Q为抛物线上点M，N之间(含点M，N)的一个动点，
∴−21≤yQ≤4或−21≤yQ≤−5．

【解析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练运用二次函数的性质解决问题是本题的关键．
(1)先求出点B，点A坐标，代入解析式可求c的值，即可求解；
(2)先求出点M，点N坐标，即可求解．

21.【答案】解：(1)A(0,−1a)
点A向右平移2个单位长度，得到点B(2,−1a)；
(2)A与B关于对称轴直线x=1对称，
∴抛物线对称轴直线x=1；
(3)∵对称轴直线x=1，
∴b=−2a，
∴y=ax2−2ax−1a，
①a>0时，y=−1a<0，如图(1)，

∴根据图象可得函数与线段PQ无交点；
②a<0时，y=−1a>0，如图(2)，

∵抛物线不可能同时经过点A和点P，
∴当点Q在点B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，
即−1a⩽2，解得a≤−12，
综上所述，当a≤−12时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点．

【解析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．
(1)根据点的平移规律即可得；
(2)根据A与B关于对称轴x=1对称即可得；
(3)结合函数图象即可得．

22.【答案】解：(1)y=12x2−3x+52=12(x2−6x+9)−92+52=12(x−3)2−2，
故对称轴为x=3，顶点坐标为：(3,−2)；
(2)由(1)知a=12>0，顶点在第四象限，抛物线开口向上，故图象与x轴相交，
令y=12x2−3x+52=0，解得：x=5或1，
故交点坐标为：(5,0)、(1,0)．

【解析】(1)y=12x2−3x+52=12(x2−6x+9)−92+52=12(x−3)2−2，即可求解；
(2)由(1)知a=12>0，顶点在第四象限，抛物线开口向上，故图象与x轴相交，令y=12x2−3x+52=0，解得：x=5或1，即可求解．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．

23.【答案】解：(1)设二次函数解析式为y=a(x−2)2+k，
把A(1,0)，C(0,6)代入得：a+k=04a+k=6，
解得：a=2k=−2，
则二次函数解析式为y=2(x−2)2−2=2x2−8x+6；

(2)∵y=2(x−2)2−2，
∴顶点D的坐标为(2,−2)，
由A(1,0)，对称轴为直线x=2可知另一个与x轴的交点B(3,0)，
∴AB=2，
∴S四边形ADBC=S△ABD+S△ABC=12×2×2+12×2×6=8．

【解析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
(1)根据二次函数的对称轴为直线x=2，设出二次函数解析式，把A与C坐标代入求出a与k的值，确定出二次函数解析式；
(2)找出函数图象顶点D的坐标，进而根据对称性求得B的坐标，根据S四边形ADBC=S△ABD+S△ABC求得即可．

24.【答案】x<−1或x>3

【解析】解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(−1,0)，B(3,0)，
∴1−b+c=09+3b+c=0解得b=−2c=−3．
∴所求解析式为y=x2−2x−3．

(2)当x<−1或x>3时，y>0
故答案为x<−1或x>3．

(3)在抛物线对称轴上存在点Q，使△QAC的周长最小．
∵AC长为定值，
∴要使△QAC的周长最小，只需QA+QC最小，
∵点A关于对称轴直线x=1的对称点是(3,0)，
∴Q是直线BC与对称轴直线x=1的交点，
设过点B，C的直线的解析式y=kx−3，把B(3,0)代入，
∴3k−3=0，
∴k=1，
∴直线BC的解析式为y=x−3，
把x=1代入上式，
∴y=−2，
∴Q点坐标为(1,−2)．
(1)已知了抛物线过A、B两点，而抛物线的解析式中也只有两个待定系数，因此可将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值，也就得出了二次函数的解析式．
(2)观察图象即可解决问题；
(3)本题的关键是找出Q点的位置，已知了B与A点关于抛物线的对称轴对称，因此只需连接BC，直线BC与对称轴的交点即为Q点．可根据B、C两点的坐标先求出直线BC的解析式，然后联立抛物线对称轴的解析式即可求出Q点的坐标．
本题主要考查了二次函数解析式的确定，函数图象的交点等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．

25.【答案】解：(1)抛物线顶点坐标为C(3,6)，
∴可设抛物线解析式为y=a(x−3)2+6，
将B(0,3)代入可得a=−13，
∴y=−13x2+2x+3；
(2)连接PO，
BO=3，AO=3，
设P(n,−13n2+2n+3)，
∴S△ABP=S△BOP+S△AOP−S△ABO，
S△BPO=32n，
S△APO=−12n2+3n+92，
S△ABO=92，
∴S△ABP=S△BOP+S△AOP−S△ABO=−12n2+92n=−12(n−92)2+818，
∴当x=92时，S△ABP的最大值为818；
(3)存在，设点的坐标为(t,−13t2+2t+3)，
过D作对称轴的垂线，垂足为G，
则DG=t−3，CG=6−(−13t2+2t+3)=13t2−2t+3，
∴∠ACD=30°，
∴2DG=DC，
在Rt△CGD中，
CG=CD2+DG2=3DG，
∴3(t−3)=13t2−2t+3，
∴t=3+33或t=3(舍)
∴D(3+3,−3)，
∴AG=3，GD=33，
连接AD，在Rt△ADG中，
∴AD= AG2+GD2=6，
∴AD=AC=6，∠CAD=120°，
∴在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点上，
此时，∠CQD=12∠CAD=60°，
设Q(0,m)，AQ为圆A的半径，
AQ2=OA2+QO2=9+m2，
∴AQ2=AC2，
∴9+m2=36，
∴m=33或m=−33，
综上所述：Q点坐标为(0,33)或(0,−33).

【解析】(1)由题意可设抛物线解析式为y=a(x−3)2+6，将B(0,3)代入可得a=−13，则可求解析式；
(2)连接PO，设P(n,−13n2+2n+3)，分别求出S△BPO=32n，S△APO=−12n2+3n+92，S△ABO=92，所以S△ABP=S△BOP+S△AOP−S△ABO=−12n2+92n=−12(n−92)2+818，当x=92时，S△ABP的最大值为818；
(3)设点的坐标为(t,−13t2+2t+3)，过D作对称轴的垂线，垂足为G，则DG=t−3，CG=6−(−13t2+2t+3)=13t2−2t+3，在Rt△CGD中，CG=CD2+DG2=3DG，所以3(t−3)=13t2−2t+3，求出D(3+3,−3)，所以AG=3，GD=33，连接AD，在Rt△ADG中，AD=AC=6，∠CAD=120°，在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点上，此时，∠CQD=12∠CAD=60°，设Q(0,m)，AQ为圆A的半径，AQ2=OA2+QO2=9+m2=36，求出m=33或m=−33，即可求Q．
本题考查二次函数的综合题，涉及到待定系数法解二次函数解析式，三角形面积，二次函数的最值，勾股定理等知识点，熟练掌握二次函数的图象及性质，能够利用直角三角形和圆的知识综合解题是关键．