华师大版九年级下册第27章 圆27.2 与圆有关的位置关系1. 点和圆的位置关系课时练习

27.2.1点与圆的位置关系同步练习华师大版初中数学九年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，和是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，若，，连接AB交CD于点P，则下列说法正确的个数为
   ，B，C，D四点在同一圆上；
   ；
   ；
   图中有相似三角形共有4对；

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

2. 如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，AE，CB的延长线交于点若，，则FC的长是

A. 10
B. 8
C. 6
D. 4

3. 如图，已知平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为，点C是y轴正半轴上的一点，且满足，圆圆得到了以下4个结论：的外接圆的圆心在OC上；；的外接圆的半径等于；其中正确的是

A.
B.
C.
D.

4. 在中，，，那么这个三角形的外接圆直径是

A. 5 B. 10 C. 5或4 D. 10或8

5. 在平面直角坐标系中，将平行四边形ABCD的顶点A置于坐标原点，点B坐标为，点D坐标为，以AB为直径画圆，则顶点C与这个圆的位置关系是

A. 点C在圆内 B. 点C在圆上 C. 点C在圆外 D. 不能确定

6. 已知点和直线，求点P到直线的距离d可用公式计算．例如：点到直线的距离根据以上材料解决下面问题：如图，的圆心C的坐标为，半径为1，直线l的表达式为，P是直线l上的动点，Q是上的动点，则PQ的最小值是

A.  B.  C.  D. 2

7. 若的半径为5，圆心A与点P的距离是，则点P与的位置关系是

A. P在上 B. P在外 C. P在内 D. 不确定

8. 已知平面内有一个半径为3cm的，点P在内，则OP的长可能为

A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm

9. 如图，是的外接圆，已知，则的大小为

A.
B.
C.
D.

10. 如图，内接于，AB为的直径，D为上一点位于AB下方，CD交AB于点E，若，，，则CE的长为

A.
B.
C.
D.

11. 如图，是的外接圆，，，于点D且，则的半径为

A.
B. 4
C.
D.

12. 已知的半径，点P和圆心O之间的距离为d，且方程没有实数根，则点P与的位置关系是     

A. 点P在圆上 B. 点P在圆内 C. 点P在圆外 D. 不能确定

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 如图，点P为函数的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，P半径为2，，，点Q是P上的动点，点C是QB的中点，则AC的最大值是__________．
     

14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，P的坐标分别为，，，若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是的外心，则符合条件的C点有                   个．
15. 直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是          ．
16. 点O是的外心，若，则的度数为_____．
17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点，判断在M，N，P，Q四点中，满足到点O和点A的距离都小于2的点是______．
    
     

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

18. 如图，点D是边BC上一点不与点B、点C重合，延长BC到E，使，点F是直线BC外一点，且，．

求证：≌；

已知，，连接AD．

若点O是的外心，求的取值范围；

若，求AD的最小值．






 

19. 如图，已知是的内接三角形，AD是的直径，连结BD，BC平分．
    求证：；
    若，求的长．
    、
    
     

20. 如图，在中，，，点D为直线BC上一点，点E为AB延长线上一点，且，连接AD，EC．

求证：≌；

当时，求的度数；

点P是的外心，当点D在直线BC上运动，且点P恰好在内部或边上时，直接写出点P运动的路径的长．






 

21. 如图，AB是的直径，平行四边形ACDE的一边在直径AB上，点E在上．
    
    如图1，当点D在上时，请你仅用无刻度的直尺在AB上取点P，使于P；
    如图2，当点D在内时，请你仅用无刻度的直尺在AB上取点Q，使于Q．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，等边三角形ABC内接于，且，AD为的直径，求，的度数和直径．
    
    
     

23. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，．

请以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，请在图中y轴右侧画出；

点为内一点，请直接写出点P位似变换后的对应点的坐标为          

的外接圆圆心坐标为          ，的外接圆半径为          

请直接写出的正切值为          

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】解：，，
，B，C，D四点在同一圆上，故正确；
，
，
，，
≌，
，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，，，
，故正确；
由知，，，
，故正确；
，，
∽，
同理可得，∽，∽，∽，故正确；
由知，，
要证，即证即可，
，，
，
，
由知，，
明显，
错误．
综上，正确，
故选：C．
直接根据四点共圆的性质可得结果；根据全等三角形的判定与性质、三角函数关系可得结果；根据中的，，可判断；根据相似三角形的判定可得结果；要证，即证即可，根据等腰直角三角形的性质可判断．
此题考查的是相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、圆周角定理、圆的性质等知识，掌握相似三角形的判定方法是解决皮题关键．
 

2.【答案】A
 

【解析】解：由题知，AC为直径，
，
，
，
，
为三角形ABC的中位线，
，
又，
，
，
，点O是AC中点，
是三角形ACF的中位线，
，
故选：A．
由题知，AC为直径，得，且OD是的中位线，OE是三角形AFC的中位线，根据勾股定理求出圆的半径即可．
本题主要考查勾股定理，三角形中位线等知识点，熟练掌握勾股定理和三角形中位线的性质是解题的关键．
 

3.【答案】C
 

【解析】解：如图，作出的外接圆，以AB为斜边在x轴上方作等腰，
过点E作轴于D，连接EC，过点E作轴于F，

的外接圆的圆心必在弦AB的垂直平分线上，
圆心肯定不在OC上，故错误；
，
由圆周角定理得：所对的圆心角必为，
，
在弦AB的垂直平分线上，
，
必为圆心，即AE、BE为半径，
，
，故正确；
，，
，
，
，，
，
，故正确；
，
，故错误；
故选：C．
如图，作出的外接圆，以AB为斜边在x轴上方作等腰，过点E作轴于D，连接EC，过点E作轴于F，由圆心必然在弦的垂直平分线上可判断；再证明E为三角形ABC外接圆圆心，求出半径，可判断；再在三角形ECF中由勾股定理求出CF，可求得OC和，即可判断．
本题主要考查了三角形的外接圆、垂径定理、圆周角定理，作出三角形ABC的外接圆德海本题的关键．
 

4.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆这个三角形的外接圆直径是斜边长，有两种情况情况： 斜边是BC， 斜边是AC．
【解答】
解：根据题意得
斜边是BC，即外接圆直径是8；
 斜边是AC，即外接圆直径是 ．
故选D．  

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内也考查了坐标与图形以及平行四边形的性质．根据平行四边形的性质可确定C点坐标为，易得AB的中点E的坐标，再利用勾股定理计算出EC的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】
解：设AB的中点为E，
四边形ABCD为平行四边形，A点坐标为，点B坐标为，点D坐标为，
点坐标为，C点坐标为，
，
而的半径为5，
点C在上．
故选B．  

6.【答案】B
 

【解析】解：过点C作直线l，交圆C于Q点，此时PQ的值最小，
根据点到直线的距离公式可知：点到直线l的距离，
的半径为1，
，
故选：B．
求出点到直线的距离d即可求得PQ的最小值．
本题考查的是一次函数的应用、点到直线的距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．
 

7.【答案】C
 

【解析】解：，
点P在内部．
故选：C．
比较AP与r的大小关系，然后根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内．
 

8.【答案】A
 

【解析】解：的半径为3，点P在内，
．
故选：A．
据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断．
本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内．
 

9.【答案】B
 

【解析】解：，
，
，
．
故选：B．
由，可求得，继而求得的度数，然后由圆周角定理，求得答案．
本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．此题难度不大，解决本题的关键是注意数形结合思想的应用．
 

10.【答案】D
 

【解析】解：连接CO，过点D作于点G，连接AD，

，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
设，则，，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
故选：D．
连接CO，过点D作于点G，连接AD，因为，构造∽，求出，设，则，，则，，再利用∽，列出方程即可解决．
本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造出∽是解题的关键．
 

11.【答案】B
 

【解析】解：如图，连接OA，OC，

，
，
，，
，
，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
的半径为4，
故选：B．
连接OA，OC，根据圆周角定理得，根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理求出OA．
本题考查了三角形外接圆与外心，垂径定理定理，勾股定理，含角的直角三角形的性质，利用圆周角定理构造出是解题的关键．
 

12.【答案】C
 

【解析】解： 方程没有实数根，
，即，
，
点P在圆外．
 

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查坐标与图形的性质、三角形中位线定理、最小值问题等知识，解题的关键是理解圆外一点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的思想思考问题．易求点，连接OP并延长交于点，连接因为，，所以，所以当OQ最大时，AC最大，Q运动到时，OQ最大，由此即可解决问题．
【解答】
解：如图，连接OP并延长交于点，连接，取的中点，连接，

点P为函数的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，
可设，则，
解得负值已舍去，
点，
．
，，且点C是QB的中点，
，，
当Q运动到时，OQ最大，
此时AC的最大值．
故答案为．  

14.【答案】3
 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形的外接圆、坐标与图形性质、勾股定理；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．由勾股定理求出，由点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是的外心，得出，即可得出点C的坐标．
【解答】
解：如图，

点A、B、P的坐标分别为，，．
，
点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是的外心，
，
则点C的坐标为或或，即：共3个．
故答案为3．  

15.【答案】8或10
 

【解析】

【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆是解题的关键．分两种情况：为斜边长；和12为两条直角边长，由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长，进而可求得外接圆的半径．
【解答】解： 当该直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为
当两条直角边长分别为16和12时，该直角三角形的斜边长为，
此时这个三角形的外接圆半径为10．
综上所述，这个三角形的外接圆半径为8或10．  

16.【答案】或
 

【解析】解：如图所示：
是的外心，，
，
，
故的度数为：或
故答案为：或．
利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质得出的度数．
本题考查的是圆周角定理以及圆内接四边形的性质，掌握相关的定理、灵活运用分类讨论思想是解题关键．
 

17.【答案】点M与点N
 

【解析】解：如图，分别以点O和点A为圆心，2为半径画圆，
可得满足到点O和点A的距离都小于2的点是点M与点N，
故答案为：点M与点N．
分别以点O和点A为圆心，2为半径画圆，即可得到满足到点O和点A的距离都小于2的点．
本题主要考查了点与圆的位置关系以及点的坐标，解题时注意：当点在圆内时，点到圆心的距离小于圆的半径．
 

18.【答案】证明： ，
，
，
，
，
，
≌；
解：连接AD，
，，
，
点D是边BC上一点不与点B、点C重合，
，
点O是的外心，

；
当于D时，AD最小，

，

，
，
 
，
．
 

【解析】本题考查全等三角形的判定，锐角三角函数，以及三角形的外心，综合运用所学知识解题是解题关键．
先得出，再根据平行线的性质得出，，即可判定；
先求出，进而得出，再根据点O是的外心，得出，进而得出结论；
当于D时，AD最小，求出，利用三角函数定义得出，然后根据求出AD即可．
 

19.【答案】解：平分，
，
，
；
，
，
是的直径，，
的长
 

【解析】本题考查了三角形的外接圆和外心，圆周角定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
由角平分线的定义和圆周角定理可得；
由圆周角定理可得，由周长的可求解．
 

20.【答案】证明：，
，
在和中，
 ，，，
≌；
若点D在线段BC上时，
，，
，
，
．
≌，
，
若点D在BC延长线上时，
≌，
，
综上所述：的度数为或；
点P是的外心，
点P在线段AC的垂直平分线上随点D的运动而运动，
如图，过点B作于点F，

点P恰好在的内部，
即为所求的点P的运动路径，且，
，
．
即点P运动的路径的长．
 

【解析】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质解题的关键是学会添加常用辅助线，构造辅助线解决问题，学会用转化的思想思考问题．
根据边角边即可证明≌；
分两种情况：点D在线段BC上时，点D在BC延长线上时，根据，即可求的度数；
根据点P是的外心，可得点P在线段AC的垂直平分线上随点D的运动而运动，过点B作于点F，根据点P恰好在的内部，可得BF即为所求的点P的运动路径，且，根据勾股定理求解．
 

21.【答案】解：如图，延长AO交于点F，连接DF交AB于点P，点P即为所求；
延长ED交于M，作直径MF，连接EF交OA于点Q，点Q即为所求．

 

【解析】如图1中，延长AO交于点F，连接DF交AB于点P，因为EF是直径，所以，利用平行线的性质，可知．
如图2中，延长ED交于M，作直径MF，连接EF交OA于点Q，所以，利用平行线的性质，可知．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，圆的有关知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：是等边三角形，
，
，，
为的直径，
，
，
，
．
 

【解析】根据等边三角形的性质得到，由圆周角定理得到，根据圆内接四边形的性质得到，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

23.【答案】 解：如图所示，即为所求；

；
；；
．
 

【解析】

【分析】
本题考查了位似变换作图，解决本题的关键是掌握画位似变换图形的一般步骤．
根据画位似图形的一般步骤：确定位似中心；
分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；
根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；
顺次连接上述各点，即可得到放大或缩小的图形．
根据的条件，即可写出点P位似变换后的坐标；
外接圆圆心是三角形三边垂直平分线的交点，AB和BC的垂直平分线的交点即为圆心的位置，再利用勾股定理可求解半径；
求出，，，，由平行线的性质及正切的定义可求解．
【解答】
解：见答案；
根据位似比为，可得点P位似变换后的对应点的坐标为，
故答案为 ；
根据网格的特点作AB和BC的垂直平分线相交于点，点D即为的外接圆的圆心，连接BD，如下图所示：

根据勾股定理可得的半径为：，

即 的外接圆圆心坐标为， 的外接圆半径为，
故答案为；；
根据勾股定理得，，，
，
，
根据网格的特点得，
，
故答案为．