2022高考数学人教版（浙江专用）一轮总复习学案：第一章 第2讲　命题及其关系、充分条件与必要条件

第2讲　命题及其关系、充分条件与必要条件

1．命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2．四种命题及其关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件、必要条件与充要条件的概念

常用结论

集合与充要条件的关系

设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B，

(1)p是q的充分不必要条件⇔AB；

(2)p是q的必要不充分条件⇔AB；

(3)p是q的充要条件⇔A＝B.

[思考辨析]

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　)

(2)q不是p的必要条件时，“pq”成立．(　　)

答案：(1)√　(2)√

[诊断自测]

1．命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是________．

答案：若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0

2．已知命题“对任意a，b∈R，若ab>0，则a>0”，则它的否命题是________．

答案：对任意a，b∈R，若ab≤0，则a≤0

3．已知p：x＝2，q：x－2＝，则p是q的________条件．

解析：当x－2＝时，两边平方可得(x－2)2＝2－x，即(x－2)(x－1)＝0，解得x1＝2，x2＝1.当x＝1时，－1＝，不成立，故舍去，则x＝2.所以p是q的充要条件．

答案：充要

四种命题的相互关系及真假判断(自主练透)

1．命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是(　　)

A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1

B．若－1<x<1，则x2<1

C．若x>1或x<－1，则x2>1

D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1

解析：选D．命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若﹁q，则﹁p”的形式，所以“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”．

2．有以下命题：

①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；

②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；

③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；

④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．

其中真命题是(　　)

A．①② B．②③

C．④  D．①②③

解析：选D．①原命题的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m≤1，Δ＝4－4m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A∩B＝B，得B⊆A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确．

3．已知集合P＝，Q＝，记原命题：“x∈P，则x∈Q”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是(　　)

A．0  B．1

C．2  D．4

解析：选C．因为P＝＝，Q＝，

所以PQ，

所以原命题“x∈P，则x∈Q”为真命题，

则原命题的逆否命题也为真命题．

原命题的逆命题“x∈Q，则x∈P”为假命题，

则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.

(1)写一个命题的其他三种命题时需关注2点

①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；

②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．

[提醒]　四种命题的关系具有相对性，一旦一个命题定为原命题，相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．

(2)判断命题真假的2种方法

①直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可；

②间接判断：当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．

充分条件、必要条件的判断(师生共研)

(1)设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋2x－3>0”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

(2)(2020·高考浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

【解析】　(1)解不等式|x－2|<1，即－1<x－2<1，解得1<x<3.

解x2＋2x－3>0即(x－1)(x＋3)>0，得x<－3或x>1.

记P＝{x|1<x<3}，Q＝{x|x<－3或x>1}．

显然PQ，所以“|x－2|<1”是“x2＋2x－3>0”的充分不必要条件．故选A．

(2)由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交．由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A∉n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m⊂α，所以m，n，l在同一平面内，故选B．

【答案】　(1)A　(2)B

充分条件、必要条件的两种判断方法

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．

(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．　

1．“a>b”是“a＋ln a>b＋ln b”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选B．当a＝1，b＝0时，a，b满足a＞b，但ln b无意义，故充分性不成立．易知函数y＝x＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，若a＋ln a＞b＋ln b，则a＞b＞0，所以必要性成立，所以“a＞b”是“a＋ln a＞b＋ln b”的必要不充分条件，故选B．

2．若a，b是非零向量，则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选B．因为a，b为非零向量，a·b>0，所以由向量数量积的定义知，a与b的夹角为锐角或a与b方向相同；反之，若a与b的夹角为锐角，由向量数量积的定义知，a·b>0成立．故“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件．故选B．

充分条件、必要条件的探求及应用(典例迁移)

已知条件p：集合P＝{x|x2－8x－20≤0}，条件q：非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若p是q的必要条件，求m的取值范围．

【解】　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，

所以P＝{x|－2≤x≤10}，

由p是q的必要条件，知S⊆P.

则所以0≤m≤3.

所以当0≤m≤3时，p是q的必要条件，

即所求m的取值范围是[0，3]．

【迁移探究】

1．(变问法)本例条件不变，若x∈P的必要条件是x∈S，求m的取值范围．

解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，若x∈P的必要条件是x∈S，即x∈S是x∈P的必要条件，所以P⊆S，所以可以得到解得m≥9.故m的取值范围是[9，＋∞)．

2．(变问法)本例条件不变，是否存在实数m，使x∈P是x∈S 的充要条件？

解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．

若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，

所以

所以故满足题意的m不存在．

利用充要条件求参数的关注点

(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．

(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．　

1．已知a，b为任意实数，则a>b的一个充分不必要条件是(　　)

A． a>b＋|b|  B．<

C．a2>b2  D．a3>b3

解析：选A．对于选项A，a>b＋|b|，因为|b|≥0，所以a>b，故充分性成立，反之，若a＝3，b＝2，则a>b，但a<b＋|b|，故必要性不成立，故A满足题意；对于选项B，C，取a＝－2，b＝1，满足<，a2>b2，但a<b，故充分性不成立，故B，C不满足题意；对于选项D，a3>b3⇔a>b，故a3>b3是a>b的充要条件，故D不满足题意．选A．

2．关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是________．

解析：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是

即ac<0.

答案：ac<0

思想方法系列1　等价转化思想在充要条件中的应用

等价转化思想就是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑，把要解决的问题通过某种转化，再转化，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使问题得到圆满解决的思维方式．

已知条件p：|x－4|≤6，条件q：(x－1)2－m2≤0(m>0)．若﹁p是﹁q的充分不必要条件，则m的取值范围为______．

【解析】　条件p：－2≤x≤10，条件q：1－m≤x≤1＋m，又﹁p是﹁q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件．故有，所以0<m≤3.

【答案】　(0，3]

本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充分、必要条件问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是解此类问题的关键．　

1．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的(　　)

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选C．方法一：设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然CD，所以BA，于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．

方法二(等价转化法)：因为x＝y⇒cos x＝cos y，而cos x＝cos yx＝y，所以“cos x＝cos y”是“x＝y”的必要不充分条件，故“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．

2．王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的(　　)

A．充分不必要条件　　　　

B．必要不充分条件

C．充要条件 

D．既不充分也不必要条件

解析：选B．“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件．故选B．