2022高考数学人教版（浙江专用）一轮总复习学案：第二章 第4讲　二次函数与幂函数

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第4讲　二次函数与幂函数


1．幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.
(2)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a0(a≠0)恒成立的充要条件是
(2)ax2＋bx＋c0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．(　　)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．(　　)
(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　)
(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×
[诊断自测]
1．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(2)＝(　　)
A． B．4
C． D．
解析：选C．设f(x)＝xα，因为图象过点，所以f(4)＝4α＝，解得α＝－，所以f(2)＝2＝.
2．已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是(　　)
A．[3，＋∞) B．(－∞，3]
C．(－∞，－3) D．(－∞，－3]
解析：选D．函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，所以－2a≥6，解得a≤－3，故选D．
3．函数f(x)＝x2－2x＋3在闭区间[0，3]上的最大值为________．最小值为________．
解析：f(x)＝(x－1)2＋2，0≤x≤3，
所以x＝1时，f(x)min＝2，x＝3时，f(x)max＝6.
答案：6　2
4．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是________．
解析：因为函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，所以解得a>.
答案：


幂函数的图象及性质(自主练透)
1．已知幂函数f(x)＝mxn的图象过点(，2)，设a＝f(m)，b＝f(n)，c＝f(ln 2)，则(　　)
A．c