数学八年级上册第二章 轴对称图形综合与测试课后复习题

这是一份数学八年级上册第二章 轴对称图形综合与测试课后复习题，共18页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：
已知点C在线段BE上，分别以BC、CE为边作等边三角形ABC和等边三角形DCE，连接AE与CD相交于点N，连接BD与AC相交于点M，连接OC、MN，则以下结论：①AE = BD；②▵ACN ≌ ▵BCM；③∠BOE = 120∘；④▵MNC是等边三角形；⑤OC平分∠BOE.正确的个数是( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判断的综合运用，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．依据等边三角形的性质，判定△BCD≌△ACE，△ACN≌△BCM，▵BCD ≌ ▵ACE，再分别依据全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应边上的高相等，即可得到正确的结论．
【解答】
∵三角形ABC和三角形DCE都是等边三角形，
∴BC = AC，DC = EC，∠ACB = ∠DCE = 60∘，
∴∠BCD = ∠ACE = 120∘，
∴▵BCD ≌ ▵ACE，
∴AE = BD，故①正确；
∴∠CBM = ∠CAN，
又∵∠BMC = ∠AMO，∴∠AOB = ∠ACB = 60∘，
∴∠BOE = 180∘-60∘ = 120∘，故③正确；
∵∠CBM = ∠CAN，∠BCM = ∠ACN = 60∘，BC = AC，
∴▵ACN ≌ ▵BCM，故②正确；
∴CM = CN，
∵∠MCN = 60∘，
∴▵MCN是等边三角形，故④正确；
如图，过C作CG⊥BD，CH⊥AE，
∵▵BCD ≌ ▵ACE，
∴▵BCD中BD边上的高与▵ACE中AE边上的高对应相等，
即CG = CH，
∴点C在∠BOE的角平分线上，
即CO平分∠BOE，故⑤正确；
故选：D．

如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=120∘，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30∘；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四边形AOCP.其中所有正确结论的序号为
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了等腰三角形的判定与性质，关键是正确作出辅助线．
①利用等边对等角，即可证得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，据此即可求解；
②证明∠POC=60°且OP=OC，即可证得△OPC是等边三角形；
③首先证明∴△OPA≌△CPE，则AO=CE，AC=AE+CE=AO+AP．
④过点C作CH⊥AB于H，根据S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC，利用三角形的面积公式即可求解．
【解答】
解：连接OB，∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD=12∠BAC=12×120°=60°，
∴OB=OC，∠ABC=90°-∠BAD=30°，
∵OP=OC，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；
故①正确；
∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，
∴∠APC+∠DCP=150°，
∵∠APO+∠DCO=30°，
∴∠OPC+∠OCP=120°，
∴∠POC=180°-(∠OPC+∠OCP)=60°，
∵OP=OC，
∴△OPC是等边三角形；
故②正确；
在AC上截取AE=PA，
∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，
∴∠APO=∠CPE，
∵OP=CP，
在△OPA和△CPE中，
PA=PE∠APO=∠CPEOP=OP，
∴△OPA≌△CPE(SAS)，
∴AO=CE，
∴AC=AE+CE=AO+AP；
故③正确；
过点C作CH⊥AB于H
∵∠PAC=∠DAC=60°，AD⊥BC，
∴CH=CD，
∴S△ABC=12AB⋅CH，
S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC=12AP⋅CH+12OA⋅CD=12AP⋅CH+12OA⋅CH=12CH⋅(AP+OA)=12CH⋅AC，
∴S△ABC=S四边形AOCP；
故④正确．
故选D．

如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A7B7A8的边长为( )
A. 64B. 32C. 16D. 128
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查的是等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出规律A3B3=4B1A2，A4B4=8B1A2，A5B5=16B1A2是解题关键．
根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1//A2B2//A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2得出答案．
【解答】
解：如图，∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°．
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°-120°-30°=30°．
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°-60°-30°=90°．
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=1，
∴A2B1=1．
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°．
∵∠4=∠10=∠11=∠12=∠13=60°，
∴A1B1//A2B2//A3B3，B1A2//B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A2B2=2B1A2，A3B3=2B2A3，
∴A3B3=4B1A2=4，
同理，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16．
依此类推，A7B7=64B1A2=64．
故选A．

如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：(1)PM=PN恒成立；(2)OM+ON的值不变；(3)四边形PMON的面积不变；(4)MN的长不变，其中正确的个数为( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F.只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可逐一判断．
【解答】
解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在Rt△POE和Rt△POF中，
OP=OPPE=PF，
∴△POE≌△POF(HL)，
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
∠MPE=∠NPFPE=PF∠PEM=∠PFN，
∴△PEM≌△PFN，
∴EM=NF，PM=PN，故(1)正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故(3)正确，
∵OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故(2)正确，
MN的长度是变化的，故(4)错误．
故选B．
如图，在△ABC中，∠A=36∘，AB=AC，BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( )
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了等腰三角形的性质与判定的知识，用到的知识点有等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线的定义等，解题时要找出所有的等腰三角形，不要遗漏．
依据题意，根据已知条件，分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形．
【解答】
解：依题意，可知题图中的△ABC，△AED，△BDC，△BDE，△ADB为等腰三角形，则共有5个等腰三角形．
故选D．

如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F.若∠ABC=35°，∠C=50°，则∠CDE的度数为( )
A. 35°B. 40°C. 45°D. 50°
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD=∠EBD=12∠ABC，∠AFB=∠EFB=90°，推出AB=BE，根据等腰三角形的性质得到AF=EF，求得AD=ED，得到∠DAF=∠DEF，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】
解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，
∴∠ABD=∠EBD=12∠ABC=17.5°，∠AFB=∠EFB=90°，
∴∠BAF=∠BEF，
∴AB=BE，
∴AF=EF，
∴AD=ED，
∴∠DAF=∠DEF，
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°，
∴∠BED=∠BAD=95°，
∴∠CDE=95°-50°=45°，
故选C．
二、填空题
如图，∠BOC=9∘，点A在OB上，且OA=1.按下列要求画图：

以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1;
再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2;
再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3;
⋯⋯
这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n= ．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形和三角形的外角性质.由于OA=AA₁，则∠A₁AA₂=18°；同理∠A₂A₁A₃=9°+18°=27°；……∠A8A7A9=81°；∠A9A8A10=90°，至此A8A9⊥OB，因此以A9为圆心，1为半径向右画弧与直线OB没有交点，因此只能得到A8A9为止共9条线段
【解答】解：由题意可知AO=A1A，A1A=A2A1，A2A1=A3A2，A3A2=A4A3，⋯，
则∠AOA1=∠OA1A，∠A1AA2=∠A1A2A，∠A2A1A3=∠A1A3A2，∠A3A2A4=∠A2A4A3，⋯，
∵∠BOC=9∘，∴∠A1AB=2×9∘=18∘，∠A2A1C=27∘，∠A3A2B=36∘，⋯⋯
∴(n+1)⋅9∘=90∘，解得n=9
如图已知长方形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，则CE的长为______ ．
【答案】3cm
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=10cm，CD=AB=8cm，
根据题意得：Rt△ADE≌Rt△AFE，
∴∠AFE=90°，AF=10cm，EF=DE，
设CE=xcm，则DE=EF=CD-CE=(8-x)cm，
在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，
即82+BF2=102，
∴BF=6cm，
∴CF=BC-BF=10-6=4(cm)，
在Rt△ECF中，由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，
即(8-x)2=x2+42，
∴64-16x+x2=x2+16，
∴x=3(cm)，
即CE=3cm．
故答案为：3cm．
要求CE的长，应先设CE的长为x，由将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F可得Rt△ADE≌Rt△AFE，所以AF=10cm，EF=DE=8-x；在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，已知AB、AF的长可求出BF的长，又CF=BC-BF=10-BF，在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即：(8-x)2=x2+(10-BF)2，将求出的BF的值代入该方程求出x的值，即求出了CE的长．
本题主要考查了图形的翻折变换以及勾股定理、全等三角形、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边．
如图，△ABC中，AB=BC=a(a为常数)，∠B=90°，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，F是BC边上一点，DE⊥DF，过点C作CG⊥BE交DE于点G，则四边形DFCG的面积为 (用含a的代数式表示)．
【答案】14a2
【解析】
【分析】
此题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，关键是根据ASA证明△BDF≌△CDG.连结BD，根据等腰直角三角形的性质得到BD=CD，∠FBD=∠GCD=45°，根据等角的余角相等可得∠BDF=∠CDG，根据ASA证明△BDF≌△CDG，再根据三角形面积公式即可求解．
【解答】
解：连结BD，
∵△ABC中，AB=BC=a(a为常数)，∠B=90°，D是AC的中点，
∴BD=CD，∠FBD=∠FCD=45°，
∵CG⊥BE，
∴∠FBD=∠GCD=45°，
∵DE⊥DF，
∴∠BDF=∠CDG，在△BDF与△CDG中，
∠BDF=∠CDGBD=CD∠FBD=∠GCD，
∴△BDF≌△CDG，
∴S四边形DFCG=S△CDG+S△CDF=S△CDF+S△BDF=S△BCD=12×S△ABC=14a2．
故答案为：14a2．

已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是______．
【答案】15
【解析】解：当腰为3时，3+3=6，
∴3、3、6不能组成三角形；
当腰为6时，3+6=9>6，
∴3、6、6能组成三角形，
该三角形的周长为=3+6+6=15．
故答案为：15．
分腰为3和腰为6两种情况考虑，先根据三角形的三边关系确定三角形是否存在，再根据三角形的周长公式求值即可．
本题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，由三角形三边关系确定三角形的三条边长为解题的关键．
如图，已知∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1=2，则△A5B5A6的边长为______．
【答案】32
【解析】
【分析】
此题主要考查了图形规律问题，等边三角形的性质，等腰三角形的判定以及平行线的性质．
根据题意得出A1B1//A2B2//A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=8，A4B4=8B1A2=16，A5B5=16B1A2=32，进而得出答案．
【解答】
解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°-120°-30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°-60°-30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=2，
∴A2B1=2，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1//A2B2//A3B3，B1A2//B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，
∴A3B3=4B1A2=8，
A4B4=8B1A2=16，
A5B5=16B1A2=32，
∴△A5B5A6的边长为32．
故答案是32．

三、解答题
如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD=AE，连接DE．
(1)如图①，若∠B=∠C=35°，∠BAD=80°，求∠CDE的度数；
(2)如图②，若∠ABC=∠ACB=75°，∠CDE=18°，求∠BAD的度数；
(3)当点D在直线BC上(不与点B、C重合)运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．
【答案】解：(1)∵∠B=∠C=35°，
∴∠BAC=110°，
∵∠BAD=80°，
∴∠DAE=30°，
∴∠ADE=∠AED=75°，
∴∠CDE=180°-35°-30°-75°=40°；
(2)∵∠ACB=75°，∠CDE=18°，
∴∠E=75°-18°=57°，
∴∠ADE=∠AED=57°，
∴∠ADC=39°，
∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=75°，
∴∠BAD=36°；
(3)设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β
①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC=x°-α，
∴y∘=x∘+α(1)y∘=x∘-α+β(2)，
(1)-(2)得2α-β=0，
∴2α=β；
②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=x°+α，
∴x∘=y∘+α(1)x∘+α=y∘+β(2)，
(2)-(1)得α=β-α，
∴2α=β；
③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=x°-α，
∴x∘-α+y∘+β=180∘(1)y∘+x∘+α=180∘(2)，
(2)-(1)得2α-β=0，
∴2α=β．
综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE=∠BAD．
【解析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．
(1)根据等腰三角形的性质得到∠BAC=110°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
(2)根据三角形的外角的性质得到∠E=75°-18°=57°，于是得到结论；
(3)设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β，①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC=x°-α，②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=x°+α，③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=x°-α，根据题意列方程组即可得到结论．
在△ABC中，AB=AC，在△ABC的外部作等边三角形△ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD．
(1)如图1，若∠BAC=100°，求∠BDF的度数；
(2)如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN．
①补全图2；②若BN=DN，求证：MB=MN．
【答案】(1)解：如图1中，
在等边三角形△ACD中，
∠CAD=∠ADC=60°，AD=AC．
∵E为AC的中点，
∴∠ADE=12∠ADC=30°，
∵AB=AC，
∴AD=AB，
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=160°，
∴∠ADB=∠ABD=10°，
∴∠BDF=∠ADF-∠ADB=20°．
(2)①补全图形，如图所示．
②证明：连接AN．
∵CM平分∠ACB，
∴设∠ACM=∠BCM=α，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=2α. 在等边三角形△ACD中，
∵E为AC的中点，
∴DN⊥AC，
∴NA=NC，
∴∠NAC=∠NCA=α，
∴∠DAN=60°+α，
在△ABN 和△ADN 中，
AB=ADBN=DNAN=AN
∴△ABN≌△ADN(SSS)，
∴∠ABN=∠ADN=30°，∠BAN=∠DAN=60°+α，
∴∠BAC=60°+2α，
在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，
∴60°+2α+2α+2 α=180°，
∴α=20°，
∴∠NBC=∠ABC-∠ABN=10°，
∴∠MNB=∠NBC+∠NCB=30°，
∴∠MNB=∠MBN，
∴MB=MN．
【解析】(1)分别求出∠ADF，∠ADB，根据∠BDF=∠ADF-∠ADB计算即可；
(2)①根据要求画出图形即可；
②设∠ACM=∠BCM=α，由AB=AC，推出∠ABC=∠ACB=2α，可得∠NAC=∠NCA=α，∠DAN=60°+α，由△ABN≌△ADN(SSS)，推出∠ABN=∠ADN=30°，∠BAN=∠DAN=60°+α，∠BAC=60°+2α，在△ABC中，根据∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，构建方程求出α，再证明∠MNB=∠MBN即可解决问题；
本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
如图1，点M为直线AB上一动点，△PAB，△PMN都是等边三角形，连接BN．
(1)求证：AM=BN；
(2)分别写出点M在如图2和图3所示位置时，线段AB、BM、BN三者之间的数量关系(不需证明)；
(3)如图4，当BM=AB时，证明：MN⊥AB．
【答案】(1)证明：∵△PAB和△PMN是等边三角形，
∴∠BPA=∠MPN=60°，AB=BP=AP，PM=PN=MN，
∴∠BPA-∠MPB=∠MPN-∠MPB，
∴∠APM=∠BPN．
在△APM≌△BPN中
PA=PB∠APM=∠BPNPM=PN，
∴△APM≌△BPN(SAS)，
∴AM=BN；
(2)解：图2中BN=AB+BM．
图3中BN=BM-AB；
(3)证明：∵△PAB和△PMN是等边三角形，
∴∠ABP=∠PMN=60°，AB=PB，
∴∠PBM=120°，
又∵BM=AB=PB，
∴∠BMP=∠BPM=12(180°-120°)=30°，
∴∠BMN=∠PMN+∠BMP=90°，
∴MN⊥AB．
【解析】
【分析】
本题考查了等边三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
(1)根据等边三角形的性质就可以得出∠BPA=∠MPN=60°，AB=BP=AP，PM=PN=MN，进而就可以得出△APM≌△BPN，得出结论；
(2)由(1)中的方法证得△APM≌△BPN，得出图2中，BN=AB+BM；得出图3中，BN=BM-AB；
(3)由等边三角形的性质得出∠ABP=∠PMN=60°，就可以得出∠PBM=120°，求得∠BMP=30°，进而就可以得出∠BMN=90°，得出结论．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)如图2，
∵ △PAB和△PMN 为等边三角形，
∴∠APB=∠MPN=60°，PA=PB，PM=PN，
∴∠APB+∠BPM=∠MPN+∠BPM，
即∠APM=∠BPN，
在 △PAM和 △PBN中，
PA=PB∠APM=∠BPNPM=PN，
∴△APM≌△BPN(SAS)，
∴AM=BN，
∴BN=AB+BM；
在图3中，
同理可证：△APM≌△BPN，
得BN=AM，
即BN=BM-AB；
(3)见答案．