2021-2022学年广东省江门市开平市三校联考九年级（上）第一次月考数学试卷 解析版

这是一份2021-2022学年广东省江门市开平市三校联考九年级（上）第一次月考数学试卷 解析版，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．y＝（k﹣1）x2+3B．y＝+1
C．y＝（x+1）（x﹣2）﹣x2D．y＝2x2﹣7x
2．（3分）将一元二次方程x2﹣2x＝1配方，其正确的结果是（ ）
A．（x+1）2＝2B．（x﹣2）2＝5C．（x﹣1）2＝1D．（x﹣1）2＝2
3．（3分）已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x+1＝0没有实数解，则k的取值范围是（ ）
A．k＞2B．k＜2且k≠1C．k≥2D．k≤2且k≠1
4．（3分）对于二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线 x＝﹣3
C．顶点坐标为（﹣3，0）
D．当 x＜﹣3 时，y 随 x的增大而减小
5．（3分）将二次函数y＝（x﹣1）2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是（ ）
A．y＝（x﹣2）2+2B．y＝（x﹣2）2﹣2C．y＝x2+2D．y＝x2﹣2
6．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．1或﹣1D．0
7．（3分）若方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两个根是﹣3和1，则对于二次函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．﹣3＜x＜1B．x＜﹣3或x＞1C．x＞﹣3D．x＜1
8．（3分）将4个数a、b、c、d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义＝ad﹣bc．例如＝8×5﹣3×9＝13，则方程＝﹣9的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．只有一个实数根
9．（3分）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝110B．x（x﹣1）＝110
C．x（x+1）＝110D．x（x﹣1）＝110
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）开口向下且过点A（1，0），B（m，0）（﹣2＜m＜﹣1），下列结论：①2b+c＞0；②2a+c＜0；③a（m+1）﹣b+c＞0；④若方程a（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0有两个不相等的实数根，则4ac﹣b2＜4a．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．（4分）方程x2﹣4x＝0的解为 ．
12．（4分）如果一个直角三角形的两边长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，那么这个直角三角形的斜边长为 ．
13．（4分）已知m、n是方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式m2+mn+3m+n＝ ．
14．（4分）在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝5．请你写出正确的一元二次方程 ．
15．（4分）二次函数y＝（x﹣1）2﹣5的最小值是 ．
16．（4分）已知二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+k的图象上有A（﹣，y1），B（2，y2），C（3，y3）三个点．用“＜”连接y1，y2，y3的结果是 ．
17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角顶点B的坐标为（1，0），点A在x轴正半轴上，AB＝2，将△ABC绕着点B逆时针旋转90°，得到△DBO，若抛物线y＝x2+bx+c经过点A，D，则b﹣c的值为 ．
三、解答题（一）（每小题6分，共18分）
18．（6分）解方程：
（1）2x2﹣8＝0．
（2）x2﹣3x+1＝0．
19．（6分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x＝﹣2，求此抛物线的解析式．
20．（6分）随着人民生活水平的不断提高，某市家庭轿车的拥有量逐年增加，据统计，某小区2018年底拥有家庭轿车64辆，2020年底家庭轿车的拥有量达到100辆，若该小区家庭轿车拥有量的年平均增长率相同．
（1）求该小区家庭轿车拥有量的年平均增长率；
（2）该小区到2021年底家庭轿车拥有量将达到多少辆？
四、解答题（二）（每小题8分，共24分）
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0有两个实数根．
（1）试求k的取值范围；
（2）若此方程的两个实数根x1、x2，是否存在实数k，满足+＝﹣2，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
22．（8分）如图，抛物线与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3），点P是线段AB上方的抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交AB于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当线段PQ的长取得最大值时，连接OQ，BP．请判断四边形OBPQ的形状并说明理由．
23．（8分）某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每天的销售量为y（瓶）．
（1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
五、解答题（三）（每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，点A、B在y＝x2的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4，直线AB与y轴交于点C，连接OA、OB．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若函数y＝x2的图象上存在点P，使△PAB的面积等于△AOB的面积的一半，则这样的点P共有 个．
25．（10分）如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是直线BC上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，P到BC的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值；
（3）设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，存在点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点N坐标．
2021-2022学年广东省江门市开平市三校联考九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．y＝（k﹣1）x2+3B．y＝+1
C．y＝（x+1）（x﹣2）﹣x2D．y＝2x2﹣7x
【分析】利用二次函数定义进行分析即可．
【解答】解：A、当k＝1时，不是二次函数，故此选项不合题意；
B、含有分式，不是二次函数，故此选项不合题意；
C、化简后y＝﹣x﹣2，不是二次函数，故此选项不合题意；
D、是二次函数，故此选项符合题意；
故选：D．
2．（3分）将一元二次方程x2﹣2x＝1配方，其正确的结果是（ ）
A．（x+1）2＝2B．（x﹣2）2＝5C．（x﹣1）2＝1D．（x﹣1）2＝2
【分析】两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【解答】解：x2﹣2x＝1，
配方得：x2﹣2x+1＝1+1，即（x﹣1）2＝2．
故选：D．
3．（3分）已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x+1＝0没有实数解，则k的取值范围是（ ）
A．k＞2B．k＜2且k≠1C．k≥2D．k≤2且k≠1
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且Δ＝22﹣4（k﹣1）＜0，然后求出两个不等式解的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝22﹣4（k﹣1）＜0，
解得k＞2．
故选：A．
4．（3分）对于二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线 x＝﹣3
C．顶点坐标为（﹣3，0）
D．当 x＜﹣3 时，y 随 x的增大而减小
【分析】根据抛物线的性质由a＝﹣2得到图象开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣3，当x＜﹣3时，y 随 x的增大而增大．
【解答】解：二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象开口向下，顶点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣3，当x＜﹣3时，y 随 x的增大而增大，
故A、B、C正确，D不正确，
故选：D．
5．（3分）将二次函数y＝（x﹣1）2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是（ ）
A．y＝（x﹣2）2+2B．y＝（x﹣2）2﹣2C．y＝x2+2D．y＝x2﹣2
【分析】根据二次函数图象的平移规律（左加右减，上加下减）进行解答即可．
【解答】解：将二次函数y＝（x﹣1）2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是y＝（x﹣1+1）2+2，即y＝x2+2．
故选：C．
6．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．1或﹣1D．0
【分析】将x＝0代入方程可得：a2﹣1＝0，解之求得a的值，在根据一元二次方程的定义求解可得．
【解答】解：根据题意将x＝0代入方程可得：a2﹣1＝0，
解得：a＝1或a＝﹣1，
∵a﹣1≠0，即a≠1，
∴a＝﹣1，
故选：B．
7．（3分）若方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两个根是﹣3和1，则对于二次函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．﹣3＜x＜1B．x＜﹣3或x＞1C．x＞﹣3D．x＜1
【分析】a＞0，故抛物线开口向上，由题意知，抛物线与x轴的两个交点坐标为（﹣3，0）、（1，0），进而求解．
【解答】解：∵a＞0，故抛物线开口向上，
由题意知，抛物线与x轴的两个交点坐标为（﹣3，0）、（1，0），
∴当y＞0时，x的取值范围是x＜﹣3或x＞1，
故选：B．
8．（3分）将4个数a、b、c、d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义＝ad﹣bc．例如＝8×5﹣3×9＝13，则方程＝﹣9的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．只有一个实数根
【分析】根据题意，可以将方程＝﹣9转化为一元二次方程，然后根据Δ的值，即可判断根的情况．
【解答】解：∵，
∴x2﹣6x＝﹣9，即x2﹣6x+9＝0，
∵△＝（﹣6）2﹣4×9×1＝0
∴该方程有两个相等的实数根．
故选：B．
9．（3分）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝110B．x（x﹣1）＝110
C．x（x+1）＝110D．x（x﹣1）＝110
【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛110场，可列出方程．
【解答】解：设有x个队参赛，则
x（x﹣1）＝110．
故选：D．
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）开口向下且过点A（1，0），B（m，0）（﹣2＜m＜﹣1），下列结论：①2b+c＞0；②2a+c＜0；③a（m+1）﹣b+c＞0；④若方程a（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0有两个不相等的实数根，则4ac﹣b2＜4a．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】根据题意得出x＝﹣2时函数值的符号和x＝1时函数的值，以及顶点的纵坐标即可得出答案．
【解答】解：根据题意得a+b+c＝0，
∴b＝﹣a﹣c，
当x＝﹣2时，有4a﹣2b+c＜0，
∴4a﹣2（﹣a﹣c）+c＜0，
∴2a+c＜0，
∴②正确，
由2a+c＜0，得﹣2a﹣c＞0，
∴2（﹣a﹣c）+c＞0，
∴2b+c＞0，
∴①正确，
若a（m+1）﹣b+c＞0，
则a﹣b+c＞﹣am，
取x＝﹣1，则y＝a﹣b+c＞0，
又∵a＜0，m＜0，
∴﹣am＜0
∴﹣am＜a﹣b+c，
即a（m+1）﹣b+c＞0成立，
∴③正确，
若方程a（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0有两个不相等的实数根，
即a（x﹣m）（x﹣1）＝1有两个不相等的实数根，
∴顶点的纵坐标，
∴4ac﹣b2＜4a，
∴④正确，
故选：A．
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．（4分）方程x2﹣4x＝0的解为 x1＝0，x2＝4 ．
【分析】x2﹣4x提取公因式x，再根据“两式的乘积为0，则至少有一个式子的值为0”求解．
【解答】解：x2﹣4x＝0
x（x﹣4）＝0
x＝0或x﹣4＝0
x1＝0，x2＝4
故答案是：x1＝0，x2＝4．
12．（4分）如果一个直角三角形的两边长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，那么这个直角三角形的斜边长为 4或5 ．
【分析】解一元二次方程求得直角三角形的两边长，分两种情况讨论求得即可．
【解答】解：∴x2﹣7x+12＝0，
（x﹣3）（x﹣4）＝0，
解得x1＝3，x2＝4，
当4是直角边的长时，则斜边长为＝5，
当4是斜边的长时，则斜边长为4，
故答案为：4或5．
13．（4分）已知m、n是方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式m2+mn+3m+n＝ ﹣2 ．
【分析】根据根与系数的关系及方程的解的定义得出m+n＝﹣2，mn＝﹣2021，m2+2m＝2021，代入原式＝m2+2m+mn+（m+n）计算可得．
【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣2，mn＝﹣2021，m2+2m＝2021，
∴m2+mn+3m+n＝m2+2m+mn+（m+n）＝2021﹣2021﹣2＝﹣2．
故答案是：﹣2．
14．（4分）在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝5．请你写出正确的一元二次方程 x2﹣6x+6＝0 ．
【分析】利用根与系数的关系得到2×3＝c，1+5＝﹣b，然后求出b、c即可．
【解答】解：根据题意得2×3＝c，
1+5＝﹣b，
解得b＝﹣6，c＝6，
所以正确的一元二次方程为x2﹣6x+6＝0．
故答案为x2﹣6x+6＝0．
15．（4分）二次函数y＝（x﹣1）2﹣5的最小值是 ﹣5 ．
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：二次函数y＝（x﹣1）2﹣5的开口向上，
则当x＝1时，最小值为﹣5，
故答案为：﹣5．
16．（4分）已知二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+k的图象上有A（﹣，y1），B（2，y2），C（3，y3）三个点．用“＜”连接y1，y2，y3的结果是 y1＜y3＜y2 ．
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，根据x＞1时，y随x的增大而减小，即可得出答案．
【解答】解：∵y＝﹣2（x﹣1）2+k，
∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，
∴A（﹣，y1）关于直线x＝1的对称点是（2+，y1），
∵1＜2＜3，
∴y1＜y3＜y2，
故答案为y1＜y3＜y2．
17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角顶点B的坐标为（1，0），点A在x轴正半轴上，AB＝2，将△ABC绕着点B逆时针旋转90°，得到△DBO，若抛物线y＝x2+bx+c经过点A，D，则b﹣c的值为 ﹣11 ．
【分析】先根据题意求出点A的坐标，再求出点D的坐标，把A，D代入抛物线的解析式，即可确定b﹣c的值．
【解答】解：∵点B（1，0），AB＝2，
∴A（3，0），
∵AB＝DB，
∴D（1，2），
又∵点A和D在抛物线上，把A和D代入抛物线得：
，
解得：，
∴b﹣c＝﹣5﹣6＝﹣11，
故答案为﹣11．
三、解答题（一）（每小题6分，共18分）
18．（6分）解方程：
（1）2x2﹣8＝0．
（2）x2﹣3x+1＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）2x2﹣8＝0．
2x2＝8，
∴x2＝4，
∴x1＝2，x2＝﹣2．
（2）∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴b2﹣4ac＝9﹣4＝5＞0．
∴x＝＝，
∴．
19．（6分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x＝﹣2，求此抛物线的解析式．
【分析】由对称轴直线x＝﹣2，以及A点坐标确定出b与c的值，即可求出抛物线解析式．
【解答】解：由题意得：x＝﹣＝﹣＝﹣2，c＝2，
解得：b＝4，c＝2，
则此抛物线的解析式为y＝x2+4x+2．
20．（6分）随着人民生活水平的不断提高，某市家庭轿车的拥有量逐年增加，据统计，某小区2018年底拥有家庭轿车64辆，2020年底家庭轿车的拥有量达到100辆，若该小区家庭轿车拥有量的年平均增长率相同．
（1）求该小区家庭轿车拥有量的年平均增长率；
（2）该小区到2021年底家庭轿车拥有量将达到多少辆？
【分析】（1）设家庭轿车拥有量的年平均增长率为x，则增长2次以后的车辆数是64（1+x）2，列出一元二次方程的解题即可．
（2）2021年的车辆＝2020年的车辆×（1+x）．
【解答】（1）解：设家庭轿车拥有量的年平均增长率为x，
则64（1+x）2＝100，
解得x＝0.25＝25%，或x＝﹣2.25（不合题意，舍去）．
答：年平均增长率是25%；
（2）解：100（1+25%）＝125，
答：该小区到2021年底家庭轿车将达到125辆．
四、解答题（二）（每小题8分，共24分）
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0有两个实数根．
（1）试求k的取值范围；
（2）若此方程的两个实数根x1、x2，是否存在实数k，满足+＝﹣2，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据方程有两个实数根可以得到△≥0，从而求得k的取值范围；
（2）利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k的值即可．
【解答】解：（1）∵此方程有两个实数根
∴△≥0即Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2+k+1）＝﹣4k﹣4≥0，
∴k≤﹣1；
（2）存在，
∵x1+x2＝2k，，
∴，
∴k1＝k2＝﹣1，
经检验，k1＝k2＝﹣1符合题意，即k＝﹣1．
22．（8分）如图，抛物线与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3），点P是线段AB上方的抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交AB于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当线段PQ的长取得最大值时，连接OQ，BP．请判断四边形OBPQ的形状并说明理由．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）设点P的横坐标为m，根据待定系数法求得线段AB的解析式，从而得出PQ＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣2）2+3．即可得到线段PQ长的最大值为3，即可得到OB＝PQ，由OB∥PQ得到四边形OBPQ为平行四边形．
【解答】解：（1）根据题意，得，
解得
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3．
（2）四边形OBPQ是平行四边形．
理由如下：设点P的横坐标为m，线段AB的解析式为y＝kx+t，
根据题意，得，
解得，
∴线段AB的解析式为y＝﹣x+3，
∴PQ＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣2）2+3．
∴线段PQ长的最大值为3，
∵OB＝3，
∴OB＝PQ，
∵OB∥PQ，
∴四边形OBPQ为平行四边形．
23．（8分）某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每天的销售量为y（瓶）．
（1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
【分析】（1）销售单价为x（元），销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），则为降低了多少个0.5元，再乘以20即为多售出的瓶数，然后加上80即可得出每天的销售量y；
（2）设每天的销售利润为w元，根据利润等于每天的销售量乘以每瓶的利润，列出w关于x的函数关系式，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）由题意得：y＝80+20×，
∴y＝﹣40x+880（16≤x≤22）；
（2）设每天的销售利润为w元，则有：
w＝（﹣40x+880）（x﹣16）
＝﹣40（x﹣19）2+360，
∵a＝﹣40＜0，
∴二次函数图象开口向下，
∴当x＝19时，w有最大值，最大值为360元．
答：当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为360元．
五、解答题（三）（每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，点A、B在y＝x2的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4，直线AB与y轴交于点C，连接OA、OB．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若函数y＝x2的图象上存在点P，使△PAB的面积等于△AOB的面积的一半，则这样的点P共有 4 个．
【分析】（1）由抛物线的解析式求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（2）由直线AB的解析式求得C的坐标，然后根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC，利用三角形面积公式即可求得；
（3）过OC的中点，作AB的平行线交抛物线两个交点P1、P2，作直线P1P2关于直线AB的对称直线，交抛物线两个交点P3、P4，此时△P1AB的面积、△P2AB的面积、△P3AB的面积和△P4AB的面积都等于△AOB的面积的一半．
【解答】解：（1）∵点A、B在y＝x2的图象上，A、B的横坐标分别为﹣2、4，
∴A（﹣2，1），B（4，4），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝+2；
（2）在y＝+2中，令x＝0，则y＝2，
∴C的坐标为（0，2），
∴OC＝2，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝6．
（3）过OC的中点，作AB的平行线交抛物线两个交点P1、P2，此时△P1AB的面积和△P2AB的面积等于△AOB的面积的一半，
作直线P1P2关于直线AB的对称直线，交抛物线两个交点P3、P4，此时△P3AB的面积和△P4AB的面积等于△AOB的面积的一半，
所以这样的点P共有4个，
故答案为4．
25．（10分）如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是直线BC上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，P到BC的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值；
（3）设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，存在点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点N坐标．
【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E，PH⊥BC于点H，连接PB、PC，可先求得直线BC的解析式，则可用t分别表示出E的坐标，从而可表示出PE的长，再可用t表示出△PBC的面积，再利用等积法可用t表示出h，利用二次函数的性质可求得h的最大值；
（3）分AM、CM和AC为对角线三种情况，分别根据菱形的性质可求得N点的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，
∴，解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E，PH⊥BC于点H，连接PB、PC，‘
∵B（3，0）、C（0，3），
∴OB＝OC＝3，BC＝，
设直线BC解析式为y＝kx+n，则 ，解得 ，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+3，
∵点P的横坐标为t，且在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，
∴P（t，﹣t2+2t+3），
又∵PD⊥x轴于点D，交BC于点E，
∴D（t，0），E（t，﹣t+3），
∴PE＝（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，
∴S△PBC＝ PE•（ xB﹣xC ）＝ （−t2+3t）×3＝− t2+ t，
又∵S△PBC＝ BC•PH＝×3 •h＝h，
∴h＝−t2+t，
∴h与t的函数关系式为：h＝−t2+t（0＜t＜3），
∵，
∴当t＝时，h有最大值为 ；
（3）存在．
①若AM为菱形对角线，如图2，
则AM与CN互相垂直平分，
∴N（0，﹣3）；
②若CM为菱形对角线，如图3和图4，
则CN＝AM＝AC＝，
∴N（−，3）或N（ ，3）；
③若AC为菱形对角线，如图5，
则CN＝AM＝CM，
设M（m，0），
由CM2＝AM2，得m2+32＝（m+1）2，
解得m＝4，
∴CN＝AM＝CM＝5，
∴N（﹣5，3）．
综上可知存在点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形，符合条件的点N有4个：（0，﹣3），（−，3），（ ，3），（﹣5，3）．