初中数学北师大版九年级上册第四章 图形的相似综合与测试课后练习题

这是一份初中数学北师大版九年级上册第四章 图形的相似综合与测试课后练习题，共18页。试卷主要包含了下列命题是真命题的是等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年北师大版九年级数学上册《第4章图形的相似》单元达标测评（附答案）
一．选择题（共5小题，满分15分）
1．如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上．已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是（　　）

A．+＝ B．+＝ C．+＝ D．+＝
2．如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠E＝60°，若CG＝3，AH＝7，则菱形ABCD的边长为（　　）

A．8 B．9 C． D．
3．下列命题是真命题的是（　　）
A．同旁内角相等，两直线平行 B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．两角分别相等的两个三角形相似
4．如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且＝＝，下列结论正确的是（　　）

A．DE：BC＝1：2 B．△ADE与△ABC的面积比为1：3
C．△ADE与△ABC的周长比为1：2 D．DE∥BC
5．如图，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是点O，若OA：OA1＝1：2，则△ABC与△A1B1C1的周长比是（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：
二．填空题（共15小题，满分45分）
6．已知＝＝，则＝　 　．
7．若＝＝（a≠c），则＝　 　．
8．如果4是a与8的比例中项，那么a的值为　 　．
9．如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，＝，则＝　 　．

10．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD为 　 　米．

11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC＝2，则MN的长为 　 　．

12．如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝　 　．

13．正实数a，b满足|a﹣b|＝7a﹣3b，则a：b＝　 　．
14．如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD．为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE＝0.4m，则AD1＝　 　m．

15．如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，AB＝AC＝，AD＝CD＝，点E、点F分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF的长等于　 　．

16．如图，在△ABC中，AB＝15，AC＝18，D为AB上一点，且AD＝AB，在AC边上取一点E，便以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE等于　 　．

17．如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC与△CDE的周长比为 　 　．

18．如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1m时，它离地面的高度DE为0.6m，则坝高CF为 　 　m．

19．如图，AB，CD相交于O点，△AOC∽△BOD，OC：CD＝1：3，AC＝2，则BD的长为 　 　．

20．如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是 　 　．

三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（1）计算：（a﹣）÷（1+）．
（2）如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，AE＝2，求EC的长．

22．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC上一点，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C．求证：△ABF∽△EAD．

23．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，F是BC延长线上一点，∠F＝∠B．
（1）若AB＝10，求FD的长；
（2）若AC＝BC，求证：△CDE∽△DFE．

24．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且∠ABE＝∠CDF．
（1）探究四边形BEDF的形状，并说明理由；
（2）连接AC，分别交BE、DF于点G、H，连接BD交AC于点O．若＝，AE＝4，求BC的长．

25．如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝6，求EC的长．

26．如图，利用标杆DE测量楼高，点A，D，B在同一直线上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为E，C．若测得AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m，楼高BC是多少？

27．尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知△ABC，且AB＞AC．
（1）在AB边上求作点D，使DB＝DC；
（2）在AC边上求作点E，使△ADE∽△ACB．

28．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4），C（﹣2，6）．
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1，写出点C1的坐标．
（2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后得△A2B2C2，写出点B2的坐标．


参考答案
一．选择题（共5小题，满分15分）
1．解：∵AC∥EF，
∴，
∵EF∥DB，
∴，
∴＝+＝＝＝1，即＝1，
∴．
故选：C．
2．解：连接AC．

∵菱形ABCD∽菱形AEFG，
∴∠B＝∠E＝∠AGF＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，设AB＝BC＝AC＝a，则BH＝a﹣7，BG＝a﹣3，
∴∠ACB＝60°，
∵∠AGB＝∠AGH+∠BGH＝∠ACG+∠CAG，
∵∠AGH＝∠ACG＝60°，
∴∠BGH＝∠CAG，
∵∠B＝∠ACG，
∴△BGH∽△CAG，
∴＝，
∴＝，
∴a2﹣10a+9＝0，
∴a＝9或1（舍弃），
∴AB＝9，
故选：B．
3．解：A、同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、两角分别相等的两个三角形相似，正确，是真命题，符合题意，
故选：D．
4．解：∵＝＝，
∴AD：AB＝AE：AC＝1：3，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴DE：BC＝1：3，故A错误；
∵△ADE∽△ABC，
∴△ADE与△ABC的面积比为1：9，周长的比为1：3，故B和C错误；
∵△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC．故D正确．
故选：D．
5．解：∵△ABC与△A1B1C1位似，
∴△ABC∽△A1B1C1，AC∥A1C1，
∴△AOC∽△A1OC1，
∴＝＝，
∴△ABC与△A1B1C1的周长比为1：2，
故选：A．
二．填空题（共15小题，满分45分）
6．解：设＝＝＝k，
∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∴＝＝＝，
故答案为．
7．解：∵＝＝（a≠c），
∴＝．
故答案为：．
8．解：∵4是a与8的比例中项，
∴a：4＝4：8，
∴8a＝16，
解得a＝2．
故答案为：2．
9．解：过D作DM⊥BC于M，过B作BN⊥AD于N，如图：

∵AD∥BC，DM⊥BC，BN⊥AD，
∴四边形BMDN是矩形，DM＝BN，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
∵AD∥BC，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝，
故答案为：．
10．解：由题意知：AB∥CD，
则∠BAE＝∠C，∠B＝∠CDE，
∴△ABE∽△CDE，
∴，
∴，
∴CD＝3米，
故答案为：3．
11．解：∵∠ACB＝90°，BD⊥CB，MN⊥CB，
∴AC∥MN∥BD，∠CNM＝∠CBD，
∴∠MAC＝∠MBD，∠MCA＝∠MDB＝∠CMN，
∴△MAC∽△MBD，△CMN∽△CDB，
∴，，
∴，
∴，
∴MN＝．
故答案为：．
12．解：∵M，N分别是DE，BC的中点，
∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，
∵△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴＝（）2＝，
故答案为：．
13．解：∵正实数a，b满足|a﹣b|＝7a﹣3b≥0，
∴a﹣b＝7a﹣3b，或a﹣b＝﹣7a+3b．
①如果a﹣b＝7a﹣3b，那么6a＝2b，a：b＝2：6＝，
此时b＝3a，7a﹣3b＝7a﹣9a＝﹣2a＜0，不合题意舍去；
②如果a﹣b＝﹣7a+3b，那么8a＝4b，a：b＝4：8＝，
此时b＝2a，7a﹣3b＝7a﹣6a＝a＞0，符合题意．
综上所述，a：b＝．
故答案为：．
14．解：∵BB1∥CC1，
∴＝，
∵AB＝BC，
∴AE＝EF，
同理可得：AE＝EF＝FD1，
∵AE＝0.4m，
∴AD1＝0.4×3＝1.2（m），
故答案为：1.2．
15．解：如图所示：
∵AB＝AC，AD＝CD，△ABC∽△DAC，
∴AC2＝BC•AD，
∵AC＝，AD＝，
∴CB＝2，
∵△ABC∽△DAC，
∴∠ACB＝∠CAD，
∴CB∥AD，
∵AB＝AC，F为BC中点，
∴AF⊥CB，BF＝CF＝1，
∴∠AFC＝90°，
∵CB∥AD，
∴∠FAE＝∠AFC＝90°，
∵AC＝，
∴AF＝，
∵AD＝，E为AD中点，
∴AE＝，
∴EF＝＝＝．
故答案为：．

16．解：∵△ABC∽△ADE或△ABC∽△AED，
∴＝或＝，
∵AD＝AB，AB＝15，
∴AD＝10，
∵AC＝18，
∴＝或＝，
解得：AE＝12或．
故答案为：12或．
17．解：如图，

分别过点A、点E作AM⊥BD，EN⊥BD，垂足分别为点M、N，
则∠AMB＝∠END＝90°，
∵BM＝2，DN＝1，AM＝4，EN＝2，
∴，
∴△ABM∽△EDN，
∴∠ABM＝∠EDN，＝2，
∴AB∥EN，
∴∠BAC＝∠EDC，
又∠ACB＝∠DCE，
∴△ABC∽△CDE，
∴△ABC与△CDE的周长之比为2：1．
故答案为：2：1．
18．解：如图，过C作CF⊥AB于F，则DE∥CF，
∴，即，
解得CF＝2.7，
故答案为：2.7．

19．解：∵OC：CD＝1：3，
∴OC：OD＝1：2，
∵△AOC∽△BOD，
∴，
即，
解得：BD＝4，
故答案为：4．
20．解：如图，

点G（4，2）即为所求的位似中心．
故答案是：（4，2）．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．解：（1）原式＝÷
＝•
＝a﹣b；
（2）∵DE∥BC，
∴＝，即＝，
解得，EC＝8．
22．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAF＝∠AED，且∠C+∠D＝180°，
又∵∠BFE+∠BFA＝180°，
∵∠BFE＝∠C，
∴∠BFA＝∠D，
∴△ABF∽△EAD．
23．解：（1）∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE∥AB，DE＝AB＝5，
∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠B，而∠F＝∠B，
∴∠DEC＝∠F，
∴DF＝DE＝5；
（2）∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∵∠CDE＝∠A，∠CED＝∠B，
∴∠CDE＝∠B，
∵∠B＝∠F，
∴∠CDE＝∠F，
∵∠CED＝∠DEF，
∴△CDE∽△DFE．
24．解：（1）四边形BEDF为平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠ABE＝∠CDF，
∴∠EBF＝∠EDF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EDF＝∠DFC＝∠EBF，
∴BE∥DF，
∵AD∥BC，
∴四边形BEDF为平行四边形；
（2）设AG＝2a，∵，
∴OG＝3a，AO＝5a，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO＝5a，AC＝10a，CG＝8a，
∵AD∥BC，
∴△AGE∽△CGB，
∴，
∵AE＝4，
∴BC＝16．
25．证明：（1）∵∠BCE＝∠ACD．
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，
∴∠DCE＝∠ACB，
又∵∠A＝∠D，
∴△ABC∽△DEC；
（2）∵△ABC∽△DEC；
∴＝（）2＝，
又∵BC＝6，
∴CE＝9．
26．解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝9（m），
答：楼高BC是9m．
27．解：（1）如图，点D即为所求．
（2）如图，点E即为所求．

28．解：（1）如图，△A1B1C1为所求作的三角形，C1（3，3）．

（2）如图所示，则△A2B2C2为所求作的三角形，B2（2，8）