苏科版八年级上册第二章 轴对称图形综合与测试同步练习题

这是一份苏科版八年级上册第二章 轴对称图形综合与测试同步练习题，共28页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
专题08 《轴对称图形》中的解答题压轴题（2）
（满分120分 时间：60分钟） 班级 姓名 得分
一、解答题：
1．已知和都是等腰直角三角形，点是直线上的一动点（点不与，重合），连接．
（1）在图中，当点在边上时，求证：；

（2）在图中，当点在边的延长线上时，结论是否还成立？若不成立，请猜想，， 之间存在的数量关系，并说明理由；

（3）在图中，当点在边的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出，， 之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系．

【答案】（1）见解析；（2）结论不成立，猜想，理由见解析；（3） ；；理由见解析．
【分析】
（1）只要证明△ABD≌△ACE（SAS），可得BD=CE，即可推出BC=BD+CD=EC+CD；
（2）不成立，存在的数量关系为．利用全等三角形的性质即可证明；
（3）结论： ；．同（1）一样证明△ABD≌△ACE（SAS）即可．
【详解】
（1）证明：和都是等腰直角三角形
，，





（2）结论不成立，猜想，理由如下：



又，



（3） ；；理由如下：
补全图形如图3，

∵是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴∠ABD=135°，
由（1）同理可得，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，∠ACE=∠ABD=135°，
∴BC=CD-BD=CD-CE，∠BCE=90°，
∴．
【点睛】
本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质的运用及等腰三角形的性质，解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
2．如图，点A，B分别在两互相垂直的直线，上．
（1）如图1，在三角形尺子中，，如果点C到直线的距离是5，求的长；

（2）如图2，若，点B在射线上运动时，分别以，为边作与图1中相同形状的，，，连接交射线于点P．
①当时，，求的大小；
②当点B在射线上移动时，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围．
【答案】（1）OB=5；（2）①∠EBP=30°；②不变，PB=3
【分析】
（1）过点C作CD⊥OM，交直线OM于点D，从而得出CD=5，然后利用AAS证出△AOB≌△BDC，从而得出OB=CD=5；
（2）①先求出∠BAO，根据直角三角形的两个锐角互余即可求出∠ABO，最后根据平角的定义即可求出结论；
②过点E作EG⊥OM于G，根据等腰直角三角形的定义可得∠ABE=∠OBF=90°，BE=AB，OB=FB，利用AAS证出△EBG≌△BAO，从而得出BG=OA=6，EG=OB，从而可得EG=FB，利用AAS证出△EGP≌△FBP，从而可证PB =PG，从而得出结论．
【详解】
解：（1）过点C作CD⊥OM，交直线OM于点D，由题意可知：CD=5

∵OM⊥ON，CD⊥OM
∴∠AOB=∠BDC=∠ABC=90°
∴∠BAO＋∠ABO=90°，∠CBD＋∠ABO=90°
∴∠BAO=∠CBD
在△AOB和△BDC中，

∴△AOB≌△BDC
∴OB=CD=5；
（2）①∵，
∴∠BAO=∠EAO－∠EAB=30°
∵∠BOA=90°
∴∠ABO=90°－∠BAO=60°
∵∠ABE=90°
∴∠EBP=180°－∠ABO－∠ABE=30°；
②不变，
过点E作EG⊥OM于G，如下图所示

由题意可知：，都是等腰直角三角形
∴∠ABE=∠OBF=90°，BE=AB，OB=FB
∴∠EBG＋∠ABO=180°－∠ABE=90°，∠FBP=180°－∠OBF=90°
∵∠BGE=∠AOB=90°，
∴∠BAO＋∠ABO=90°，
∴∠EBG=∠BAO
在△EBG和△BAO中，

∴△EBG≌△BAO
∴BG=OA=6，EG=OB，
∴EG=FB，
在△EGP和△FBP中，

∴PB=PG
∵PB＋PG=BG
∴PB=BG=3．
【点睛】
此题考查的是等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定及性质，掌握构造全等三角形的方法是解题关键．
3．如图，是等边三角形，． 动点分别从点同时出发，动点以的速度沿向终点运动．动点以的速度沿射线运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．点出发后，过点作交于点，连结，以为边作等边三角形，连结，设点的运动时间为
用含的代数式表示的长．
求的周长(用含的代数式表示)．
求的长(用含的代数式表示)．
当的边与垂直时，直接写出的值．

【答案】（1）当时，；当时，；（2）；（3）；（4）的值为或．
【分析】
（1）由等边三角形的性质，得到BC=AC=AB=4，然后分点Q在点C的左边和点C的右边进行分析，即可求出CQ的长度；
（2）由，则∠PEC=∠B=60°，∠EPC=∠A=60°，则△PCE是等边三角形，然后结合PC的长度，即可求出周长；
（3）由题意，，，结合∠EPC=∠QPF=60°，证明△PEQ≌△PCF，则CF=EQ，即可求出答案；
（4）根据题意，由的边与垂直时，可分为两种情况分析：①当PQ⊥BC时；②当FQ⊥BC时；分别求出t的值，即可得到答案．
【详解】
解：（1）根据题意，
∵是等边三角形，
∴，
∵动点以的速度沿向终点运动，
∴时间的最大值为：（秒），
∴；
∵动点以的速度沿射线运动，
∴，
当时，；
当时，；
（2）∵，是等边三角形，
∴∠PEC=∠B=60°，∠EPC=∠A=60°，
∵∠ACB=60°，
∴△PCE是等边三角形，
∴PC=PE=CE，
∵，
∴△PCE的周长为：；
（3）如图：

∵是等边三角形，
∴，∠QPF=60°，
∵△PCE是等边三角形，
∴PC=PE，∠EPC=∠QPF=60°，
∴△PEQ≌△PCF，
∴CF=EQ，
∵，
∵，，
∴；
（4）根据题意，
①当PQ⊥BC时，如图：

∵△PCE是等边三角形，
∴PQ是高，也是中线，
∴，
∵，
∴，
解得：；
②当FQ⊥BC时，如图：

∵∠FQC=90°，∠FQP=60°，
∴∠PQE=30°，
∵∠PCE=60°，
∴∠CPQ=30°=∠PQE，
∴PC=CQ，
∵，，
∴，
解得：；
综合上述，当的边与垂直时，的值为或．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解一元一次方程等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，注意运用分类讨论的思想进行解题．
4．已知：等边三角形ABC，直线l过点C且与AB平行，点D是直线l上不与点C重合的一点，作射线DB，并将射线DB绕点D顺时针转动，与直线AC交于点E（即）．

（1）如图1，点E在AC的延长线上时，过点D作AC的平行线与CB的延长线交于点F，求证：；
（2）如图2，，，依题意补全图2，试求出DE的长；
（3）当点D在点C右侧时，直接写出线段CE、BC和CD之间的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2）DE的长为或；（3）CD= BC+CE或BC=CD+CE．
【分析】
（1）过点D作AC的平行线与CB的延长线交于点F．根据平行线的性质结合等边三角形的判定和性质可得出∠DFB=∠ACB=60°，∠ECD=60°，∠EDC=∠FDB，CD=DF．由此即可证出△CDE≌△BDF，从而得出DE=DB；
（2）分两种情况：①当D在点C右侧时，过点D作AC的平行线与CB的延长线交于点F；②当D在点C左侧时，过点D作BC的平行线与CA于点F，作BH⊥CD于H．画出图形利用等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质分别求解即可；
（3）分两种情况考虑：①当点E在AC的延长线上时，过点D作AC的平行线与CB的延长线交于点F；②当点E在线段AC上时，过点D作AC的平行线与CB交于点F．画出图形利用等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质分别求解即可．
【详解】
解：（1）如图1，过点D作AC的平行线与CB的延长线交于点F．

∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∵DF∥AC，CD∥AB，
∴∠DFB=∠ACB=60°，∠DCF=∠ABC=60°，
∴△CDF是等边三角形，∠ECD=60°，
∴∠CDF=60°，CD=DF，
∵∠BDE=60°，
∴∠EDC+∠CDB=60°，∠FDB+∠CDB=60°，
∴∠EDC=∠FDB．
在△CDE和△BDF中，有
，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴DE=DB．
（2）分两种情况：
①当D在点C右侧时，过点D作AC的平行线与CB的延长线交于点F．如图2所示．

由（1）可知，CF=CD=4，CB=AB=2，
∴BF=2，
∴BD是等边三角形△CDF的高，
∴BD=CD=．
∴DE=BD=．
②当D在点C左侧时，过点D作BC的平行线与CA于点F，作BH⊥CD于H．如图3所示．

∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠CAB=60°，
∵DF∥BC，CD∥AB，
∴∠DFC=∠ACB=60°，∠DCF=∠CAB=60°，
∴△CDF是等边三角形，∠DCB=120°，∠DFE=120°，
∴∠CDF=60°，CD=DF，
∵∠BDE=60°，
∴∠EDF+∠FDB=60°，∠FDB+∠CDB=60°，
∴∠EDF=∠CDB．
在△CDB和△EDF中，有
，
∴△CDB≌△EDF（ASA），
∴DE=DB．
在R t△BCH中，∠BCH=60°，∠CBH=30°，CB=AB=2，
∴CH=1，BH= ，
在R t△BDH中，DH=DC+CH=5，BH= ，
∴，
∴DE=，
综上，DE的长为或．
（3）分两种情况：
①当点E在AC的延长线上时，过点D作AC的平行线与CB的延长线交于点F．如图1所示．

由（2）可知，CD=CF，CE=BF，
∴CD=BC+BF=BC+CE，
②当点E在线段AC上时，过点D作AC的平行线与CB交于点F．如图4所示．

∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∵DF∥AC，CD∥AB，
∴∠DFC=∠ACB=60°，∠DCF=∠ABC=60°，
∴△CDF是等边三角形，∠CFD=60°，
∴∠CDF=60°，CD=DF=CF，∠BFD=120°，∠DCE=120°，
∵∠BDE=60°，
∴∠EDC+∠EDF=60°，∠FDB+∠EDF=60°，
∴∠EDC=∠FDB．
在△CDE和△BDF中，有
，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴CE=BF．
∴BC=CF+BF=CD+CE．
综上所述，当点D在点C右侧时，线段CE、BC和CD之间的数量关系是CD= BC+CE或BC=CD+CE．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造等边三角形和全等三角形是解题的关键．
5．[方法呈现]
（1）如图①，中，为中线，已知，，求中线长的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：
延长至点E，使，连结，则易证，得到，则可得，从而可得中线长的取值范围是_______．
[探究应用]
（2）如图②，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系，并写出完整的证明过程．
（3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论．

【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析．
【分析】
（1）由已知得出，即，据此可得答案；
（2）如图②，延长AE，DC交于点F，先证△ABE≌△FEC得CF=AB，再由AE是∠BAD的平分线知∠BAF=∠FAD，从而得∠FAD=∠F，据此知AD=DF，结合DC+CF=DF可得答案；
（3）如图③，延长AE，DF交于点G，同（2）可得：AF=FG，△ABE≌△GCE，据此知AB=CG，继而得出答案．
【详解】
解：（1）由题意知，即，
则，
故答案为：；
（2）如图②，延长，交于点F，

∵，
∴，
在和中，
，，，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）如图③，延长，交于点G，

∵AB∥CD，
∴∠BAG=∠G，
∵AE是∠BAF的平分线，
∴∠BAG=∠FAG，
∴∠G=∠FAG，
∴，
∵点E是BC中点，
∴BE=CE，又∠BAG=∠G，∠AEB=∠GEF，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点．
6．已知，中，，，点D是边上一点，连接，且．
（1）如图①，求证：；
（2）如图②，点E为边上一点，连接，以为边在的左侧作等边三角形，连接，则的大小=__________（度）；
（3）如图③，过点D作交于点p，点M为线段上一点，连接，作，交的延长线于点Q．线段，与之间有怎样的数量关系，并证明．

【答案】（1）见解析；（2）30；（3），证明见解析．
【分析】
（1）现根据已知条件和直角三角形的性质说明∠BCD=∠B，然后根据等角对等边即可证明；
（2）先说明△BDC为等边三角形，再说明∠BDF=CDE,然后证明△BDF≌△CDE,最后根据全等三角形的性质即可求解；
（3）连接并延长至点G，使，连接．再分别说明、、，进而证得可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可证明．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
（2）∵BD=CD,
∴△BDC为等边三角形
∵△DEF为等边三角形
∴∠BDC=∠FDE=60°
∴∠BDC+∠FDC=∠FDE+∠FDC,即∠BDF=∠CDE
在△BDF和△CDE中

∴△BDF≌△CDE（SAS）
∴∠CBD=∠DCE=30°；
（3）,证明如下：
证明：连接并延长至点G，使，连接．
由（1）得，又，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴是等边三角形
∴，．
∴，
∵，
∴，即．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴．

【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识点，运用相关知识确定三角形全等的条件成为解答本题的关键．
7．钝角三角形ABC中，，，，过点A的直线l交BC边于点D．点E在直线l上，且．


（1）若，点E在AD延长线上．
①当，点D恰好为BC中点时，补全图1，直接写出________，________；
②如图2，若，求∠BEA的度数（用含的代数式表示）；
（2）如图3，若，的度数与（1）中②的结论相同，直接写出，，满足的数量关系．
【答案】（1）①60，30；②；（2）或
【分析】
（1）①只要证明AE⊥BC，△BCE为等边三角形即可解决问题；
②延长CA到F，使得BF=BC，则BF=BE=BC，连接BF，作BM⊥AF于M，BN⊥AE于N，只要证明Rt△BMF≌Rt△BNE，推出∠BEA=∠F，由BF=BC，推出∠F=∠C=，推出∠BEA=即可；
（2）由题意可分①当点E在AD的延长线上时，②当点E在DA的延长线上时；延长CA至F，使得BF=BC，则BF=BE=BC，连接BF，作BM⊥AF，BN⊥AE，进而求证△BMF≌△BNE，Rt△BMA≌Rt△BNA，然后根据三角形内角和、外角的性质及全等三角形的性质可进行求解．
【详解】
（1）如图，由题可知此时△ABC是底角为30°的等腰三角形，
∴AE⊥BC，垂足为D，△BCE为等边三角形，
∴，，
故答案为：60，30；


（2）如图，延长CA至F，使得BF=BC，则BF=BE=BC，连接BF，作BM⊥AF，BN⊥AE，
∵AB=AC，
∴，
∴，
∵，
∴，AB平分∠FAE，BM=BN，
在Rt△BMF与Rt△BNE中，

∴Rt△BMF≌Rt△BNE（HL），
∴∠BEA=∠F，
又∵BF=BC，
∴，
∴；


（3）结论：或，理由如下：
①当点E在AD的延长线上时，延长CA至F，使得BF=BC，则BF=BE=BC，连接BF，作BM⊥AF，BN⊥AE，如图所示：


由（1）中②可得：，
∵∠BMF=∠BNE=90°，BF=BE，
∴△BMF≌△BNE（AAS），
∴BM=BN，
在Rt△BMA和Rt△BNA中，
，
∴Rt△BMA≌Rt△BNA（HL），
∴∠BAN=∠BAM，
∵，
∴，即；
②当点E在DA的延长线上时，延长CA至F，使得BF=BC，则BF=BE=BC，连接BF，作BM⊥AF，BN⊥AE，如图所示：


同理（2）中①得△BMF≌△BNE，Rt△BMA≌Rt△BNA，
∴FM=EN，AM=AN，
∵BF=BC，BM⊥FC，
∴FM=MC，
∴EN=CM，
∵，
∴AE=AC，
在△BAE和△BAC中，
，
∴△BAE≌△BAC（SSS），
∴，
综上所述：的度数与（1）中②的结论相同，，，满足的数量关系是或．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解问题．
8．如图，在等边中，，，现有，两点分别从点，同时出发，沿的边运动，已知点的速度为，点的速度为，当点第一次到达点时，，同时停止运动，设运动时间为．
（1）当为何值时，，两点重合？两点重合在什么位置？
（2）当点，在边上运动时，是否存在使的位置？若存在，请求出此时点，运动的时间；若不存在，请说明理由．

【答案】（1），两点在点处重合；（2）存在，16秒．
【分析】
（1）设点、运动秒时、两点重合，然后根据题意列出关于t的方程求解即可；
（2）假设存在是等腰三角形，然后根据等腰三角形和等边三角形的性质证明，得到；然后设当点、在边上运动时，、运动的时间秒时，是等腰三角形；然后根据列出关于y的方程并求解，若y存在则假设成立．
【详解】
解：（1）设点、运动秒时、两点重合，
由题意，，
解得：．
当时，，两点重合，此时两点在点处重合；
（2）结论：当点、在边上运动时，存在使的位置，即是等腰三角形．理由如下：
由（1）知12秒时、两点重合，恰好在处，
如图②，假设存在是等腰三角形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
在和中，
，
，
，
设当点、在边上运动时，、运动的时间秒时，是等腰三角形，
，，，
，解得：，故假设成立．
当点、在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形，此时、运动的时间为16秒．

【点睛】
本题主要考查了等腰三角形性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及动点问题，根据题意将几何问题转化成方程问题是解答本题的关键．
9．数学课上，李老师出示了如下框中的题目．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
特殊情况，探索结论
（1）当E为AB的中点时，如图1，则AE BD（填“”“”或“”）．

特例启发，解答题目
（2）当E为AB上任意一点时，AE与BD的大小关系是：AE DB（填“”“”或“”）．
理由如下：
如图2，过点E作，交AC于点F（请你完成下面的解答过程）．
拓展结论，设计新题
（3）在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你直接写出结果）．
【答案】（1）=；（2）=，答案见解析；（3）CD的长为1或3．
【分析】
（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠EDB＝∠BCE＝30°，求出∠DEB＝30°，求出BD＝BE即可；
（2）过点E作，交AC于点F，由三角形ABC为等边三角形，得到三角形AEF为等边三角形，进而得到AE＝EF＝AF，BE＝FC，再由ED＝EC，以及等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形BDE与三角形EFC全等，利用全等三角形对应边相等得到DB＝EF，等量代换即可得证；
（3）分两种情况：点E在AB的延长线上和在BA的延长线上，作辅助线，证明△BDE≌△FEC，得到BD＝EF，求出EF的长度，即可解决问题．
【详解】
（1）如图1中，
∵△ABC是等边三角形，BE＝AE，
∴∠ABC＝60°，∠BCE＝∠ACE＝30°，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD＝30°，
∵∠EBC＝∠D＋∠BED，
∴∠D＝∠BED＝30°，
∴BD＝BE＝AE．
故答案为：＝；
（2）如图2中，
过点E作，交AC于点F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC，
∵，
∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF＝EF，
∴AB－AE＝AC－AF，即BE＝CF．
∵ED＝EC，
∴∠EDB＝∠ECB．
∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED＝60°，∠ACB＝∠ECB＋∠FCE＝60°，
∴∠BED＝∠FCE，
∴△DBE≌△EFC（SAS）
∴BD＝EF，
∴AE＝BD；
故答案为：=；
（3）解：分为两种情况：
①如图3，

当点E在AB的延长线上时，过点E作EF∥BC，交AC的延长线于点F，
则∠DCE＝∠CEF，∠DBE＝∠AEF，∠ABC＝∠AEF，∠ACB＝∠AFE，
∵△ACB为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠AEF＝∠AFE＝60°，
∴△AEF为等边三角形，
而ED＝EC，
∴∠D＝∠DCE，
∴∠D＝∠CEF，
∵∠DBE＝∠ABC＝60°，
∴∠DBE＝∠AFE，
在△BDE与△FEC中，

∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD＝EF，
∵△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF＝2，
∴BD＝EF＝2，
∴CD＝1＋2＝3；
②如图4，

当点E在BA的延长线上时，过点E作EF∥BC，交CA的延长线于点F，
类似上述解法，同理可证：BD＝EF＝2，BC＝1，
∴CD＝2−1＝1，
故答案为：3或1．
【点睛】
此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．
10．我们知道：三角形中，等角对等边，等边对等角．已知中，AB=AC，BD是的角平分线．
（1）若BC=AB+AD，请你猜想∠A的度数，并证明．
（2）若BC=AB+CD，求∠A的度数．
（3）若∠A=100°，求证：BC=BD+DA．
【答案】（1）猜想，证明见解析；（2）；（3）证明见解析．
【分析】
（1）如图（见解析），先根据角平分线的定义可得，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据线段的和差、等量代换可得，最后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理即可得；
（2）如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据线段的和差、等量代换可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形的内角和定理即可得；
（3）如图（见解析），先根据等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理可得，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，最后根据线段的和差、等量代换即可得证．
【详解】
（1）猜想，证明如下：
如图，在BC边上取点E，使，连接DE，
是的角平分线，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
在中，，即，
解得，
则；

（2）如图，在BC边上取点E，使，连接DE，
是的角平分线，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
设，
，
又，
，
在中，，
即，
解得，
即；

（3）如图，在BC边上取点E，使，连接DE，延长BA到点F，使，连接DF，
，
，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
又，
，
，
，
即．

【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、三角形的内角和定理等知识点，较难的是题（3），通过作辅助线，构造全等三角形和等腰三角形是解题关键．