2021-2022学年湖北省孝感市孝南区九年级（上）第一次月考数学试卷（Word版 含解析）

这是一份2021-2022学年湖北省孝感市孝南区九年级（上）第一次月考数学试卷（Word版 含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年湖北省孝感市孝南区九年级第一学期第一次月考数学试卷
一、选择题。（每小题3分，共24分）
1．下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（　　）
A．（a﹣1）x2﹣2x＝0 B．x2+＝﹣1
C．x2﹣4＝2y D．﹣2x2+3＝0
2．方程4x2＝81化成一元二次方程的一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　）
A．4，0，81 B．﹣4，0，81 C．4，0，﹣81 D．﹣4，0，﹣81
3．将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的抛物线为（　　）
A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3
4．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（　　）
A．（x+1）2＝6 B．（x﹣1）2＝6 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝9
5．已知一元二次方程x2﹣4x+5＝0，则以下说法正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法判断根的情况
6．对于二次函数y＝3x2+2，下列说法错误的是（　　）
A．最小值为2
B．图象与y轴没有公共点
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．其图象的对称轴是y轴
7．三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2﹣6x+8＝0的解，则这个三角形的周长是（　　）
A．11 B．13 C．11或13 D．不能确定
8．抛物线y＝2（x﹣1）2+c过（﹣2，y1），（0，y2），（，y3）三点，则y1，y2，y3大小关系是（　　）
A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2
二、填空题（共24分）
9．方程x2﹣3＝0的根是　 　．
10．二次函数y＝（x﹣1）2+2的开口方向是 　 　，对称轴是 　 　，顶点坐标是 　 　．
11．若m，n是方程x2+x﹣1＝0的两个实数根，则mn的值为　 　．
12．若关于x的一元二次方程ax2﹣8x+4＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　 　．
13．二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的最大值是　 　．
14．a是方程2x2＝x+4的一个根，则代数式4a2﹣2a的值是　 　．
15．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为　 　．
16．现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：3★5＝32﹣3×3+5，若x★2＝6，则实数x的值是　 　．
三、解答题（共72分）
17．解方程：
（1）x2﹣4＝0；
（2）（x+3）2＝（2x﹣1）（x+3）．
18．已知x2＝2x+15，求代数式（x+）2﹣（x﹣）2的值．
19．参加足球联赛的每两队之间都要进行一场比赛，共要比赛21场，共有多少个队参加足球联赛？
20．关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2+1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足（x1﹣2）（x2﹣2）＝11，求k的值．
21．“杂交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．
22．如图，是二次函数y＝a（x+1）2+4的图象的一部分，根据图象回答下列问题：
（1）确定a的值；
（2）设抛物线的顶点是P，B是x轴的一个点，若△PAB的面积为6，求点B的坐标．

23．某商场以每件220元的价格购进一批商品，当每件商品售价为280元时，每天可售出30件，为了迎接“618购物节”，扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．
（1）降价前商场每天销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每天销售这种商品的利润达到降价前每天利润的两倍，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
24．在长方形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
（1）填空：BQ＝　 　，PB＝　 　（用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．



参考答案
一、选择题。（每小题3分，共24分）
1．下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（　　）
A．（a﹣1）x2﹣2x＝0 B．x2+＝﹣1
C．x2﹣4＝2y D．﹣2x2+3＝0
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
解：A．当a＝1时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
2．方程4x2＝81化成一元二次方程的一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　）
A．4，0，81 B．﹣4，0，81 C．4，0，﹣81 D．﹣4，0，﹣81
【分析】方程整理后为一般形式，找出二次项系数、一次项系数和常数项即可．
解：方程整理得：4x2﹣81＝0，
二次项系数为4；一次项系数为0，常数项为﹣81，
故选：C．
3．将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的抛物线为（　　）
A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝x2+3；
由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2+3向右平移5个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣5）2+3；
故选：D．
4．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（　　）
A．（x+1）2＝6 B．（x﹣1）2＝6 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝9
【分析】移项后配方，再根据完全平方公式变形，最后得出选项即可．
解：x2﹣2x﹣5＝0，
移项，得x2﹣2x＝5，
配方，得x2﹣2x+1＝5+1，
即（x﹣1）2＝6，
故选：B．
5．已知一元二次方程x2﹣4x+5＝0，则以下说法正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法判断根的情况
【分析】求出根的判别式的值，判断即可．
解：一元二次方程x2﹣4x+5＝0，
∵a＝1，b＝﹣4，c＝5，
∴Δ＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，
则方程没有实数根．
故选：B．
6．对于二次函数y＝3x2+2，下列说法错误的是（　　）
A．最小值为2
B．图象与y轴没有公共点
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．其图象的对称轴是y轴
【分析】利用二次函数的性质逐一判断后即可得到答案．
解：A、开口向上有最小值2，正确；
B、图象与y轴交与点（0，2），错误；
对称轴为y轴，开口向上，所以当x＜0时，y随着x的增大而减小，C、D正确，
故选：B．
7．三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2﹣6x+8＝0的解，则这个三角形的周长是（　　）
A．11 B．13 C．11或13 D．不能确定
【分析】先用因式分解求出方程的两个根，再根据三角形三边的关系确定三角形第三边的长，计算出三角形的周长．
解：（x﹣2）（x﹣4）＝0
x﹣2＝0或x﹣4＝0
∴x1＝2，x2＝4．
因为三角形两边的长分别为3和6，所以第三边的长必须大于3，
故周长＝3+6+4＝13．
故选：B．
8．抛物线y＝2（x﹣1）2+c过（﹣2，y1），（0，y2），（，y3）三点，则y1，y2，y3大小关系是（　　）
A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2
【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．
解：抛物线y＝2（x﹣1）2+c的开口向上，对称轴是直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵点（﹣2，y1）、（0，y2）、（，y3）是抛物线y＝2（x﹣1）2+c上的三点，
∴点（，y3）关于对称轴x＝1的对称点是（﹣，y3），
∵﹣2＜﹣＜0，
∴y1＞y3＞y2，
故选：D．
二、填空题（共24分）
9．方程x2﹣3＝0的根是　x＝±　．
【分析】方程变形后，利用平方根定义开方即可求出x的值．
解：方程整理得：x2＝3，
开方得：x＝±，
故答案为：x＝±
10．二次函数y＝（x﹣1）2+2的开口方向是 　向上　，对称轴是 　直线x＝1　，顶点坐标是 　（1，2）　．
【分析】根据题目中的函数解析式，可以直接写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解：∵y＝（x﹣1）2+2，
∴该函数的开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标为（1，2），
故答案为：向上，直线x＝1，（1，2）．
11．若m，n是方程x2+x﹣1＝0的两个实数根，则mn的值为　﹣1　．
【分析】根据根与系数的关系可得出mn＝﹣1，此题得解．
解：∵m，n是方程x2+x﹣1＝0的两个实数根，
∴mn＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．若关于x的一元二次方程ax2﹣8x+4＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　a＜4且a≠0　．
【分析】根据根的判别式即可求出答案
解：由题意可知：Δ＝64﹣16a＞0，
∴a＜4，
∵a≠0，
∴a＜4且a≠0，
故答案为：a＜4且a≠0
13．二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的最大值是　7　．
【分析】直接利用配方法得出二次函数的顶点式进而得出答案．
解：y＝﹣2x2﹣4x+5＝﹣2（x+1）2+7，
即二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的最大值是7，
故答案为：7．
14．a是方程2x2＝x+4的一个根，则代数式4a2﹣2a的值是　8　．
【分析】直接把a的值代入得出2a2﹣a＝4，进而将原式变形得出答案．
解：∵a是方程2x2＝x+4的一个根，
∴2a2﹣a＝4，
∴4a2﹣2a＝2（2a2﹣a）＝2×4＝8．
故答案为：8．
15．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为　x（x﹣12）＝864　．
【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x﹣12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：∵长为x步，宽比长少12步，
∴宽为（x﹣12）步．
依题意，得：x（x﹣12）＝864．
16．现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：3★5＝32﹣3×3+5，若x★2＝6，则实数x的值是　﹣1或4　．
【分析】根据题中的新定义将所求式子转化为一元二次方程，求出一元二次方程的解即可得到x的值．
解：根据题中的新定义将x★2＝6变形得：
x2﹣3x+2＝6，即x2﹣3x﹣4＝0，
因式分解得：（x﹣4）（x+1）＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣1，
则实数x的值是﹣1或4．
故答案为：﹣1或4
三、解答题（共72分）
17．解方程：
（1）x2﹣4＝0；
（2）（x+3）2＝（2x﹣1）（x+3）．
【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
解：（1）∵x2﹣4＝0，
∴x2＝4，
则x1＝2，x2＝﹣2；

（2）∵（x+3）2＝（2x﹣1）（x+3），
∴（x+3）2﹣（2x﹣1）（x+3）＝0，
∴（x+3）（﹣x+4）＝0，
则x+3＝0或﹣x+4＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝4．
18．已知x2＝2x+15，求代数式（x+）2﹣（x﹣）2的值．
【分析】直接将原式分解因式，再把x的值代入进而计算得出答案．
解：∵
＝（x++x﹣）（x）
＝2x×
＝4x．
∵x2＝2x+15，
∴x2﹣2x﹣15＝0，
（x﹣5）（x+3）＝0，
∴x＝5或x＝﹣3．
当x＝5时，原式＝4；
当x＝﹣3时，原式＝4×（﹣3）＝﹣12．
19．参加足球联赛的每两队之间都要进行一场比赛，共要比赛21场，共有多少个队参加足球联赛？
【分析】设共有x个队参加比赛，则每队要参加（x﹣1）场比赛，根据共要比赛28场，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设共有x个队参加比赛，则每队要参加（x﹣1）场比赛，
根据题意得：＝21，
整理得：x2﹣x﹣42＝0，
解得：x1＝7，x2＝﹣6（不合题意，舍去）．
答：共有7个队参加足球联赛．
20．关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2+1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足（x1﹣2）（x2﹣2）＝11，求k的值．
【分析】（1）利用判别式的意义得到Δ＝4（k﹣1）2﹣4（k2+1）≥0，然后解不等式；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2+1，再由（x1﹣2）（x2﹣2）＝11得到k2+1+4（k﹣1）+4＝11，解方程可得到满足条件的k的值．
解：（1）根据题意得Δ＝4（k﹣1）2﹣4（k2+1）≥0，
解得k≤0；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2+1，
∵（x1﹣2）（x2﹣2）＝11，
∴x1x2﹣2（x1+x2）+4＝11，
∴k2+1+4（k﹣1）+4＝11，解得k1＝﹣2+，k2＝﹣2﹣，
∵k≤0，
∴k的值为﹣2﹣．
21．“杂交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．
【分析】（1）设亩产量的平均增长率为x，根据第三阶段水稻亩产量＝第一阶段水稻亩产量×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用第四阶段水稻亩产量＝第三阶段水稻亩产量×（1+增长率），可求出第四阶段水稻亩产量，将其与1200公斤比较后即可得出结论．
解：（1）设亩产量的平均增长率为x，
依题意得：700（1+x）2＝1008，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：亩产量的平均增长率为20%．
（2）1008×（1+20%）＝1209.6（公斤）．
∵1209.6＞1200，
∴他们的目标能实现．
22．如图，是二次函数y＝a（x+1）2+4的图象的一部分，根据图象回答下列问题：
（1）确定a的值；
（2）设抛物线的顶点是P，B是x轴的一个点，若△PAB的面积为6，求点B的坐标．

【分析】（1）由图象可求得A点的坐标，把A点坐标代入抛物线解析式可求得a的值；
（2）由抛物线解析式可求得P点坐标，设B的坐标为（m，0），表示出AB的值，则可根据△PAB的面积得到关于m的方程，解方程即可．
解：（1）由图象可知A点坐标为（﹣4，0），
∵二次函数y＝a（x+1）2+4，
∴0＝a（﹣4+1）2+4，
解得a＝﹣；
（2）∵二次函数y＝a（x+1）2+4，
∴顶点P（﹣1，4），
设B的坐标为（m，0），
∴AB＝|m+4|，
∵△PAB的面积为6，
∴×4×|m+4|＝6，
∴m＝﹣1或﹣7，
∴点B的坐标为（﹣1，0）或（﹣7，0）．
23．某商场以每件220元的价格购进一批商品，当每件商品售价为280元时，每天可售出30件，为了迎接“618购物节”，扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．
（1）降价前商场每天销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每天销售这种商品的利润达到降价前每天利润的两倍，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
【分析】（1）根据总利润＝单件利润×销售数量解答；
（2）根据总利润＝单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
解：（1）（280﹣220）×30＝1800 （元）．
∴降价前商场每天销售该商品的利润是1800元．
（2）设每件商品应降价x元，
由题意，得 （280﹣x﹣220）（30+3x）＝1800×2，
解得 x1＝20，x2＝30．
∵要更有利于减少库存，
∴x＝30．
答：每件商品应降价30元．
24．在长方形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
（1）填空：BQ＝　2tcm　，PB＝　（5﹣t）cm　（用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得BQ、PB的长度；
（2）根据勾股定理可得PB2+BQ2＝QP2，代入相应数据解方程即可；
（3）根据题意可得△PBQ的面积为长方形ABCD的面积减去五边形APQCD的面积，再根据三角形的面积公式代入相应线段的长即可得到方程，再解方程即可．
解：（1）∵P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，
∴AP＝tcm，
∵AB＝5cm，
∴PB＝（5﹣t）cm，
∵点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，
∴BQ＝2tcm；

（2）由题意得：（5﹣t）2+（2t）2＝52，
解得：t1＝0，t2＝2；
当t＝0秒或2秒时，PQ的长度等于5cm；

（3）存在t＝1秒，能够使得五边形APQCD的面积等于26cm2．理由如下：
长方形ABCD的面积是：5×6＝30（cm2），
使得五边形APQCD的面积等于26cm2，则△PBQ的面积为30﹣26＝4（cm2），
（5﹣t）×2t×＝4，
解得：t1＝4（不合题意舍去），t2＝1．
即当t＝1秒时，使得五边形APQCD的面积等于26cm2．