初中数学第四章 图形的相似综合与测试同步练习题

这是一份初中数学第四章 图形的相似综合与测试同步练习题，共34页。试卷主要包含了拓展等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年北师大版九年级数学上册《第4章图形的相似》解答题专题训练（附答案）
1．如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在边CD延长线上，且满足∠MAN＝90°，联结MN，AC，MN与边AD交于点E．
（1）求证：AM＝AN；
（2）如果∠CAD＝2∠NAD，求证：AM2＝AB•AE；
（3）MN交AC点O，若＝k，则＝　 　（直接写答案、用含k的代数式表示）．

2．如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE＝CE，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G．
（1）求证：∠BEC＝2∠AGE；
（2）若＝，求的值．

3．有一块直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝1.5m，BC＝2m，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示．请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计）．


4．如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，且AD为∠BAC的角平分线，若∠ABE＝∠C，＝．
（1）求证：△AEB∽△ADC．
（2）求△BDE与△ABC的面积比．


5．如图，AB＝AC，作△ADC，使得点B，D在AC异侧，且AD＝CD，∠ADC＝∠BAC，E是BC延长线上一点，连接AE交CD于点F．
（1）求证：△ABC∽△DAC；
（2）若AB2＝2CF•AD，试判断△ACF的形状，并说明理由．


6．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F，连接AF，BF．
（1）求证：△AED∽△ACB；
（2）若∠ACB＝90°，试判断四边形ADCF的形状，并加以证明．


7．在矩形ABCD中，E为AD上的一点，过B作CE的垂线，垂足为点G，交CD于点F．
（1）求证：△CDE∽△BGC；
（2）若AB＝4，BC＝3，DE＝2，求四边形ABGE的面积．

8．如图1，在△ABC中，点D为BC中点，点E在AC上，AD、BE交于点F，∠ADC＝∠BEC．

（1）写出与∠EBC相等的角：　 　；
（2）若AD＝BF，求的值；
（3）如图2，若AD＝BF，∠BCA＝90°，BC＝m，求BE2（用含m的式子表示）．
9．如图，强强同学为了测量学校一棵笔直的大树OE的高度，先在操场上点A处放一面平面镜，从点A处后退1m到点B处，恰好在平面镜中看到树的顶部E点的像；再将平面镜向后移动4m（即AC＝4m）放在C处，从点C处向后退1.5m到点D处，恰好再次在平面镜中看到大树的顶部E点的像，测得强强的眼睛距地面的高度FB、GD为1.5m，已知点O，A，B，C，D在同一水平线上，且GD⊥OD，FB⊥OD，EO⊥OD．求大树OE的高度．（平面镜的大小忽略不计）


10．（1）拓展：如图①，在△ABC中，AB＝AC，点D是AB上一点，点E是AC延长线上一点，且BD＝CE．过点D作DF∥AC交BC于点F，连接DE交BC于点M．求证：BD＝FD，FM＝CM．
（2）应用：如图②，在上述“拓展”的条件下，另外增加条件∠A＝90°，然后过点D作DN⊥BC，垂足为点N．若AC＝1，则MN的长为　 　．

11．在正方形ABCD中，点M是射线BC上一点，点N是CD延长线上一点，且BM＝DN．直线BD与MN相交于E．
（1）如图1，当点M在BC上时，求证：BD﹣2DE＝BM；
（2）如图2，当点M在BC延长线上时，连接BN交AD于点F．若DE＝，且AB：ND＝1：2时，求线段BN的长．

12．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠AED＝∠B，AG分别交线段DE、BC于点F、G，且AD：AC＝DF：CG．求证：
（1）AG平分∠BAC；
（2）EF•CG＝DF•BG．

13．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AE与CD交于点F，若AE平分∠BAC，AB•AF＝AC•AE．
（1）求证：∠AFD＝∠AEC；
（2）若EG∥CD，交边AC的延长线于点G，求证：CD•CG＝FC•BD．


14．如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝6厘米，OB＝8厘米．点P从点B开始沿BA边向终点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1厘米/秒的速度移动．若P、Q同时出发，运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
（2）当t为何值时，△APQ的面积为8cm2？


15．如图所示，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上的一点，且∠BFE＝∠C．
（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）若BC＝4，AB＝3，BE＝3，求BF的长．


16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝10．一把三角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A、D不重合），一直角边始终经过点C，另一直角边与AB交于点E．
（1）证明△DPC∽△AEP；
（2）当∠CPD＝30°时，求AE的长；
（3）是否存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．

17．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB交于点E，EC与AD交于点F．
（1）试说明△ABC∽△FCD；
（3）若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．

18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为CA延长线上一点，E在AC延长线上，且AD＝CE，连接BD，作AH⊥BD于H，延长HA交BC延长线于F，连接EF．
（1）求证：∠CAF＝∠DBA；
（2）请在图中找到一个角和∠EFC相等，并证明；
（3）若DE＝kAD，求的值．（用含有k的式子表示）

19．如图，△ABC中，点D在AC边上，且∠BDC＝90°∠ABD．

（1）求证：DB＝AB；
（2）点E在BC边上，连接AE交BD于点F，且∠AFD＝∠ABC，BE＝CD，求∠ACB的度数．
（3）在（2）的条件下，若BC＝16，△ABF的周长等于30，求AF的长．
20．为更好筹备“十四运”的召开，小颖及其小组成员将利用所学知识测量一个广告牌的高度EF．在第一次测量中，小颖来回走动，走到点D时，其影子末端与广告牌影子末端重合于点H，其中DH＝1m．随后，组员在直线DF上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线DF上的对应位置为点G．镜子不动，小颖从点D沿着直线FD后退5m到B点时，恰好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合，此时BG＝2m．
如图，已知AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，小颖的身高为1.5m（眼睛到头顶距离忽略不计），平面镜的厚度忽略不计．根据以上信息，求广告牌的高度EF．

21．新型冠状病毒感染引发“疫情就是命令，现场就是战场”．家住武汉火神山医院旁的小华，目睹这与时间赛跑的建设场面，在家里的小华从离窗台A水平距离2m的M点望去，通过窗台A处刚好俯瞰到远处医院箱式板房顶部远端E点，小华又向窗户方向前进0.8m到Q点，恰好通过窗台A处看到板房顶部近处D点，已知AB、CD、EF、MN都垂直于地面BC，N、F在直线BC上，MQ、DE都平行于地面BC，BC长300m，请你帮助小华计算DE的长度．

22．如图，在△ABC中，AG⊥BC，垂足为点G，点E为边AC上一点，BE＝CE，点D为边BC上一点，GD＝GB，连接AD交BE于点F．
（1）求证：∠ABE＝∠EAF；
（2）求证：AE2＝EF•EC；
（3）若CG＝2AG，AD＝2AF，BC＝5，求AE的长．

23．如图，已知△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，P为△ABC内部一点，且满足∠APB＝∠BPC＝150°．
（1）求证：△PAB∽△PBC；
（2）求证：PA＝3PC；
（3）若AB＝10，求PA的长．

24．如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝5m，求围墙AB的高度．






参考答案

1．证明（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠CAD＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CDA＝∠B＝90°，
∴∠BAM+∠MAD＝90°，
∵∠MAN＝90°，
∴∠MAD+∠DAN＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN，
∵AD＝AB，∠ABC＝∠ADN＝90°，
∴△ABM≌△ADN（ASA），
∴AM＝AN．
（2）∵AM＝AN，∠MAN＝90°，
∴∠MNA＝45°，
∵∠CAD＝2∠NAD＝45°，
∴∠NAD＝22.5°
∴∠CAM＝∠MAN﹣∠CAD﹣∠NAD＝22.5°
∴∠CAM＝∠NAD，∠ACB＝∠MNA＝45°，
∴△AMC∽△AEN，
∴，
∴AM•AN＝AC•AE，
∵AN＝AM，AC＝AB，
∴AM2＝AB•AE；
（3）＝．
理由：如图，过点A作AF⊥MN于F，
∴∠OFA＝∠B＝90°，

在Rt△ABM中，若＝k，则BC＝k+1，
根据勾股定理得，AM＝＝，
由（1）知，AM＝AN，
∵∠MAN＝90°，
∴FA＝NF＝MF＝＝，∠MAF＝45°，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠BAC＝45°＝∠MAF，
∴∠BAM＝∠FAO，
∴△BAM∽△FAO，
∴，
∴OF＝＝，
∴OM＝MF﹣FO＝，ON＝NF+FO＝，
∴＝．
故答案为：．
2．（1）证明：∵∠AGE＝∠CGD，AD⊥BC，即∠GDC＝90°，
∴∠ECB＝90°﹣∠CGD＝90°﹣∠AGE，
∵BE＝CE，
∴∠B＝∠ECB＝90°﹣∠CGD＝90°﹣∠AGE，
∴∠BEC＝180°﹣∠B﹣∠ECB＝180°﹣2（90°﹣∠AGE）＝2∠AGE，
∴∠BEC＝2∠AGE；
（2）如图，过点E作EF⊥BC交于点F，

由（1）知∠BEC＝2∠AGE，则∠BEC＝∠AGE+∠EAG，
∴∠AGE＝∠EAG，则AE＝EG，
∵∠EFC＝∠GDC，∠FCE＝∠DCG，
∴△EFC∽△GDC，
∵，BE＝BC，
∴，，
∵，
∴，
∵∠ABC＝∠EBC，∠EFB＝∠ADB＝90°，
∴△BEF∽△BAD，
∴，
∵，
∴，
∵AD＝，GD＝EF，
∴AG＝EF，
∴＝4．
3．解：如图1所示，设甲同学加工的桌面边长为xm，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴，
即，
∴x＝．
如图2所示，过点B作BH⊥AC，交AC于点H，交DE于点P．
由勾股定理得：
AC＝，
∵，
∴，
设乙同学加工的桌面边长为ym，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴，
即，
∴y＝，
∵＞，即x＞y，x2＞y2，
∴甲同学的加工方法更好．

4．（1）证明：∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵∠ABE＝∠C，
∴△AEB∽△ADC；
（2）如图，过点B作BH⊥AD交AD于点H，

∴，
设S△ABE＝3x，则S△BDE＝2x，
∵，
∴，
∵△AEB∽△ADC．
∴，
∵S△ABE＝3x，
∴，
∴，
即△BDE与△ABC面积之比为．
5．（1）证明：∵AB＝AC，AD＝CD，
∴＝，
∵∠BAC＝∠ADC，
∴△ABC∽△DAC；
（2）解：△ACF是直角三角形，理由如下：
∵△ABC∽△DAC，
∴∠ACB＝∠ACD，＝，
∵AB＝AC，
∴AB2＝BC•AD，
∵AB2＝2CF•AD，
∴BC＝2CF，
如图，取BC中点G，连接AG，
∴BC＝2CG，
∵BC＝2CF，
∴CG＝CF，

∵AB＝AC，
∴AG⊥BC，
∴∠AGC＝90°，
在△AGC和△AFC中，
，
∴△AGC≌△AFC（SAS），
∴∠AGC＝∠AFC＝90°，
∴△ACF是直角三角形．
6．（1）证明：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，
∴△AED∽△ACB；
（2）解：四边形ADCF是菱形，理由如下：
∵CF∥AB，
∴∠DAE＝∠FCE，
在△DAE和△FCE中，
，
∴△DAE≌△FCE（ASA），
∴DE＝FE，
∵AE＝CE，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ACB＝90°，
∴AC⊥DF，
∴四边形ADCF是菱形．
7．（1）证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°．
∵BG⊥CE，
∴∠CGB＝90°．
∴∠D＝∠CGB，
∵∠ECD+∠BCG＝90°，∠CBG+∠BCG＝90°，
∴∠ECD＝∠CBG，
∴△CDE∽△BGC；
（2）矩形ABCD中，CD＝AB＝4．
在Rt△DCE中，DE＝2，根据勾股定理，得
CE＝＝＝2，
∴S△CDE＝CD•DE＝4×2＝4，
∵△CDE∽△BGC，
∴＝（）2，
∴＝
∴S△BGC＝，
∴四边形ABGE的面积＝S矩形ABCD﹣S△CDE﹣S△BGC＝4×3﹣4﹣＝．
8．解：（1）∵∠ADC＝∠BEC．
∴∠EBC＝180°﹣∠C﹣∠BEC．
∠DAC＝180°﹣∠C﹣∠ADC，
即∠EBC＝∠DAC，
故答案为∠DAC；
（2）过D点作DM∥BE交AC于M，如图1，
∴∠BFD＝∠ADM，
在△ADM和△BFD中，
，
∴△BFD≌△ADM（ASA），
∴BD＝AM，
∵DM∥BE，
∴∠DMC＝∠BEC，
又∵∠ADC＝∠BEC，
∴∠DMC＝∠ADC，
又∵∠DCA＝∠MCD，
∴△ADC∽△DMC，
∴＝＝，即DC2＝CM•AC，
设BD＝CD＝a，CM＝b，
则a2＝b（b+a），a2﹣ab﹣b2＝0，解得a＝b，
∴＝，
∴；
（3）∵DM∥BE，点D为BC中点，
∴EM＝MC
∵∠BCA＝90°，
∴BE2＝BC2+CE2＝（2a）2+（2b）2，
由（2）知，
得，
∴
∵m＝2a
．

9．解：由已知得，AB＝1m，CD＝1.5m，AC＝4m，FB＝GD＝1.5m，∠AOE＝∠ABF＝∠CDG＝90°，∠BAF＝∠OAE，∠DCG＝∠OCE．
∵∠BAF＝∠OAE，∠ABF＝∠AOE，
∴△BAF∽△OAE，
∴＝，即＝，
∴OE＝1.5OA，
∵∠DCG＝∠OCE，∠CDG＝∠COE，
∴△GDC∽△EOC，
∴＝，即＝，
∴OE＝OA+4，
∴OE＝1.5OA，
∴1.5OA＝OA+4，
∴OA＝8m，OE＝12m．
答：大树的高度OE为12m．

10．（1）证明：方法一：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠BCA，
∵DF∥AC，
∴∠BFD＝∠BCA，∠FDM＝∠CEM，
∴∠B＝∠BFD，
∴BD＝FD，
方法二：
∵DF∥AC，
∴△BFD∽△BCA，
∵AB＝AC，
∴BD＝FD；
∵BD＝CE，
∴DF＝CE，
在△FDM和△CEM中，
，
∴△FDM≌△CEM（AAS），
∴FM＝CM；
（2）解：∵BD＝DF，DN⊥BC，
∴BN＝FN，
∵FM＝CM，
∴BC＝BF+CF＝2FN+2FM＝2MN，
∵AB＝AC＝1，
∴BC＝＝＝，
∴MN＝BC＝．
故答案为：．
11．解：（1）如图1，过点M作MF⊥BC交BD于点F，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，
∴FM∥CD，
∴∠NDE＝∠MFE，
∴FM＝BM，
∵BM＝DN，
∴FM＝DN，
在△EFM和△EDN中，
，
∴△EFM≌△EDN（AAS），
∴EF＝ED，
∴BD﹣2DE＝BF，
根据勾股定理得：BF＝BM，
即BD﹣2DE＝BM；
（2）过点M作MF⊥BC交BD的延长线于点H，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∴HM∥CD，
∴∠NDE＝∠MHE，
∴HM＝BM，
∵BM＝DN，
∴HM＝DN，
∵∠NED＝∠MEH，
∴△EHM≌△EDN（AAS），
∴EH＝ED，
∴BD+2DE＝BH，
根据勾股定理得：BH＝BM，
即BD+2DE＝BM，
∴BD＝BC，
∵DE＝，
∴CM＝2，
∵AB：ND＝1：2，
∴CD：ND＝1：2，
即CD：（CD+2）＝1：2，
解得CD＝2，
∴ND＝4，
∴CN＝CD+ND＝6，
∴．
12．解：如图所示：

（1）∵∠DAE+∠AED+∠ADE＝180°，
∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∠AED＝∠B，
∴∠ADE＝∠C，
在△ADF和△ACG中，

∴△ADF∽△ACG，
∴∠DAF＝∠CAG，
∴AG平分∠BAC；
（2）在△AEF和△ABG中，
，
∴△AEF∽△ABG，
∴，
在△ADF和△AGC中，
，
∴△ADF∽△AGC，
∴，
∴，
∴EF•CG＝DF•BG．
13．（1）证明：∵AB•AF＝AC•AE，
∴＝，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴△BAE∽△CAF，
∴∠AEB＝∠AFC，
∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠AFC，
∴∠AEC＝∠AFD；

（2）证明：∵∠CFE＝∠AFD＝∠CEF，
∴CE＝CF，
∵DC∥EG，
∴∠DCB＝∠CEG，∠G＝∠ACF＝∠B，
∴△BDC∽△GCE，
∴＝＝，
∴CD•CG＝FC•BD．
14．解：（1）∵点A（0，6），B（8，0），
∴AO＝6，BO＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵点P的速度是每秒1个单位，点Q的速度是每秒1个单位，
∴AQ＝t，AP＝10﹣t，
①∠APQ是直角时，△APQ∽△AOB，
∴，
即，
解得t＝＞6，舍去；
②∠AQP是直角时，△AQP∽△AOB，
∴，
即，
解得t＝，
综上所述，t＝秒时，△APQ与△AOB相似；
（2）如图，过点P作PC⊥OA于点C，

则PC＝AP•sin∠OAB＝（10﹣t）×＝（10﹣t），
△APQ的面积＝×t×（10﹣t）＝8，
整理，得：t2﹣10t+20＝0，
解得：t＝5+＞6（舍去），或t＝5﹣；
故当t＝5﹣s时，△APQ的面积为8cm2．
15．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AED，∠D+∠C＝180°，
∵∠AFB+∠BFE＝180°，∠BFE＝∠C，
∴∠AFB+∠C＝180°，
∴∠D＝∠AFB，
∴△ABF∽△EAD；

（2）解：∵AB∥CD，BE⊥CD，
∴∠ABE＝90°
∵AB＝3，BE＝3，
∴在Rt△ABE中，AE＝＝＝6，
∵△ABF∽△EAD，
∴，
∴BF＝2．
16．解：（1）证明：在△DPC、△AEP中，∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，
∴∠1＝∠3，
又∠A＝∠D＝90°，
∴△DPC∽△AEP．

（2）∵∠2＝30°，CD＝4，
∴PC＝8，PD＝，
又∵AD＝10，
∴AP＝AD﹣PD＝10﹣4，
由（1），得＝10﹣12；

（3）存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍，
∵相似三角形周长的比等于相似比，设＝2，
解得DP＝8．

17．（1）证明：∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴EB＝EC，
∴∠B＝∠BCE，
∵AD＝AC，
∴∠FDC＝∠DCA，
∴△ABC∽△FCD．
（2）解：如图，作AH⊥CD于H，

∵△ABC∽△FCD，
∴，
∵S△FCD＝5，
∴S△ABC＝20，
∴AH＝4，
∵AD＝AC，
∴，
∵ED⊥BC，AH⊥BC，
∴ED//AH，
∴，
∴．
18．（1）证明：∵∠BAC＝90°，AH⊥BD，
∴∠CAF＝∠DAH＝90°﹣∠D＝∠DBA；
（2）∠AFC＝∠EFC，
证明：过点C作CM⊥AC交AF于M，

∵∠ACM＝∠AHB＝90°，∠CAM＝∠ABD，AB＝AC
∴△CAM≌△ABD（ASA），
∴CM＝AD＝CE，
∵∠FCM＝90°﹣45°＝45°，∠FCE＝∠ACB＝45°，
∴∠FCM＝∠FCE，
∵CF＝CF，
∴△FCM≌△FCE（SAS），
∴∠AFC＝∠EFC；
（3）解：∵DE＝kAD，
∴，
∵AD＝CE，AB＝AC，
∴＝＝，
∵∠CAF＝∠DBA，
∴tan∠CAF＝，
∵MC∥AB，
∴△MCF∽△ABF，
∴＝，
又∵∠DAH＝∠DBA，
∴tan∠DAH＝＝，
∴，
设AF＝（k﹣2）x，则FM＝x，AM＝BD＝（k﹣3）x，
∴AH＝，HF＝，
∴．
19．（1）证明：∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∠BDC＝90°+∠ABD，
∴∠A＝∠BDC﹣∠ABD＝90°﹣∠ABD，
∵∠BDC+∠ADB＝180°，
∴∠ADB＝180°﹣∠BDC＝180°﹣（90°+∠ABD）＝90°﹣∠ABD，
∴∠A＝∠BDA，
∴DB＝AB；
（2）在BC上截CH＝CD，连接DH，

∵∠AFD＝∠ABC，∠AFD＝∠ABD+∠BAE，∠ABC＝∠ABD+∠DBC，
∴∠BAE＝∠DBC，
由（1）知∠BAD＝∠BDA，
∵∠EAC＝∠BAD﹣∠BAE，∠C＝∠BDA﹣∠DBC，
∴∠EAC＝∠C，
∴AE＝CE，
∵BE＝CD，CH＝CD，
∴BE＝CH，
∴BE+EH＝CH+EH，
∴BH＝GE＝AE，
∵AB＝BD，
∴△BDH≌△ABE，
∴BE＝DH，
∵BE＝CD，BE＝CH，
∴DH＝CD＝CH，
∴三角形CDH是等边三角形，
∴∠ACB＝60°；
（3）作AO⊥BC于点O，

由（2）知∠EAC＝∠C，三角形CDH是等边三角形，
∴∠CDH＝∠C＝60°，
∴∠CDH＝∠EAC＝60°，
∴DH∥AE，
∵AE＝CE，
∴三角形ACE是等边三角形，
设AC＝CE＝AE＝x，则BE＝16﹣x，
∵DH∥AE，
∴△BFE∽△BDH，
∴，
∴BF＝＝AB，EF＝HD＝，
∵△ABF的周长等于30，
∴AB+BF+AF＝AB+AB+x﹣＝30，
解得：x＝16﹣，
∵三角形ACE是等边三角形，AO⊥BC
∴Rt△ACO中，OC＝，AO＝，
∴BO＝16﹣，
在Rt△ACO中，AO2+BO2＝AB2，
即+x2+（16﹣）2＝（16﹣）2，
解得：x1＝0（舍去），x2＝，
∴AF＝AE﹣EF＝x﹣＝﹣＝11．
20．解：设广告牌的高度EF为xm，
依题意知：DB＝5m，BG＝2m，DH＝1m，AB＝CD＝1.5m．
∴GD＝DB﹣BG＝3m，
∴FG＝GD+DF＝4m．
∵CD⊥BF，EF⊥BF，
∴CD∥EF．
∴△EFH∽△CDH．
∴＝，即＝．
∴＝．
∴DF＝x﹣1．
由平面镜反射规律可得：∠EGF＝∠AGB．
∵AB⊥BF，
∴∠ABG＝90°＝∠EFG．
∴△EFG∽△ABG．
∴＝，即＝．
∴＝．
∴x＝3．
故广告牌的高度EF为3m．

21．解：延长ED交AB于H，延长MQ交BA的延长线于T．

由题意MT＝2m，MQ＝0.8m，
∴QT＝MT﹣MQ＝2﹣0.8＝1.2（m），
∵四边形BCDH是矩形，
∴DH＝BC＝300（m），
∵QT∥DH，
∴＝＝＝，
∵MT∥DE，
∴＝，
∴＝，
∴EH＝500（m），
∴DE＝500﹣300＝200（m）
22．（1）证明：∵EB＝EC，
∴∠EBC＝∠C，
∵AG⊥BD，BG＝GD，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠ABD＝∠ABE+∠EBC，∠ADB＝∠DAC+∠C，
∴∠ABE＝∠DAC，
即∠ABE＝∠EAF．

（2）证明：∵∠AEF＝∠BEA，∠EAF＝∠ABE，
∴△AEF∽△BEA，
∴＝，
∴AE2＝EF•EB，
∵EB＝EC，
∴AE2＝EF•EC．

（3）解：设BE交AG于J，连接DJ，DE．
∵AG垂直平分线段BD，
∴JB＝JD，
∴∠JBD＝∠JDG，
∵∠JBD＝∠C，
∴∠JDB＝∠C，
∴DJ∥AC，
∴∠AEF＝∠DJF，
∵AF＝DF，∠AFE＝∠DFJ，
∴△AFE≌△DFJ（AAS），
∴EF＝FJ，AE＝DJ，
∵AF＝DF，
∴四边形AJDE是平行四边形，
∴DE∥AG，
∵AG⊥BC，
∴ED⊥BC，
∵EB＝EC，
∴BD＝DC＝，
∴BG＝DG＝，
∵tan∠JDG＝tan∠C＝＝＝，
∴JG＝，
∵∠JGD＝90°，
∴DJ＝＝＝，
∴AE＝DJ＝．

23．（1）证明：∵△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，
∴∠CAB＝∠CBA＝（180°﹣120°）＝30°，
∴∠1+∠2＝30°，
∵∠APB＝150°，
∴∠2+∠3＝30°，
∴∠3＝∠1，
∵∠APB＝∠CPB，
∴△PAB∽△PBC．

（2）证明：过点C作CD⊥AB于D．
∵△ABC中，AC＝BC，
∴BD＝AB，
在Rt△CDB中，∠CBD＝30°，
∴＝cos30°＝，
∴＝，
∴＝，
∵△PAB∽△PBC，
∴＝＝＝，
∴PA＝PB，PB＝PC，
∴PA＝•PC＝3PC．

（3）解：将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BP′，连接PP′，CP′，则△BPP′为等边三角形，
∴∠4＝∠7＝60°，PP′＝PB＝BP′＝PC，
∴∠5＝∠BPC﹣∠4＝150°﹣60°＝90°，
在Rt△PP′C中，∠5＝90°，PP′＝PC，
∴tan∠6＝＝，
∴∠6＝30°，
∴∠6+∠7＝30°+60°＝90°，
∴P′C＝2PC，
∴在Rt△BCP′中，PPC，由（2）中＝，AB＝10，可得BC＝，
∴（2PC）2+（PC）2＝（）2，
∴PC＝，
∴PA＝．

24．解：延长OD，
∵DO⊥BF，
∴∠DOE＝90°，
∵OD＝1m，OE＝1m，
∴∠DEB＝45°，
∵AB⊥BF，
∴∠BAE＝45°，
∴AB＝BE，
设AB＝EB＝xm，
∵AB⊥BF，CO⊥BF，
∴AB∥CO，
∴△ABF∽△COF，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝4．
经检验：x＝4是原方程的解．
答：围墙AB的高度是4m．