高中4.2 直线、圆的位置关系当堂检测题

这是一份高中4.2 直线、圆的位置关系当堂检测题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
直线3x－4y＋6=0与圆(x－2)2＋(y－3)2=4的位置关系是( )
A.相离 B.相切 C.相交且过圆心 D.相交但不过圆心
圆(x-1)2+(y-1)2=8上点到直线x+y-4=0的距离为 SKIPIF 1 < 0 ,则这样的点有（ ）
A.1个 Ｂ.2个 Ｃ.3个 Ｄ.4个
以M(-4,3)为圆心的圆与直线2x+y-5=0相离，那么圆M的半径r的取值范围是（ ）
A.0＜r＜2 Ｂ.0＜r＜ SKIPIF 1 < 0 Ｃ.0＜r＜ SKIPIF 1 < 0 Ｄ.0＜r＜10
直线 SKIPIF 1 < 0 x+y- SKIPIF 1 < 0 =0截圆x2+y2=4所得劣弧所对的圆心角为（ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y=0截得的弦最长的直线的方程是( )
A.3x－y－5=0 B.3x＋y－7=0 C.3x－y－1=0 D.3x＋y－5=0
圆心坐标为(2，－1)的圆在直线x－y－1=0上截得的弦长为2eq \r(2)，那么这个圆的方程为( )
A.(x－2)2＋(y＋1)2=4
B.(x－2)2＋(y＋1)2=2
C.(x－2)2＋(y＋1)2=8
D.(x－2)2＋(y＋1)2=16
圆(x＋1)2＋y2=2的圆心到直线y=x＋3的距离为( )
A.1 B.2 C.eq \r(2) D.2eq \r(2)
已知直线ax＋by＋c=0(a、b、c都是正数)与圆x2＋y2=1相切，则以a、b、c为三边长的三角形是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不存在
若圆心在x轴上，半径为eq \r(5)的圆位于y轴左侧，且与直线x＋2y=0相切，则圆O的方程为( )
A.(x－eq \r(5))2＋y2=5 B.(x＋eq \r(5))2＋y2=5
C.(x－5)2＋y2=5 D.(x＋5)2＋y2=5
过点(0,1)的直线与圆x2＋y2=4相交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
A.2 B.2eq \r(3) C.3 D.2eq \r(5)
已知点A(－2，0)，B(0，2)，点C是圆x2＋y2－2x=0上任意一点，则△ABC面积的最大值是( )
A.6 B.8 C.3－eq \r(2) D.3＋eq \r(2)
直线y=x＋b与曲线x=eq \r(1－y2)有且仅有一个公共点，则实数b的取值范围是( )
A.b=eq \r(2) B.－1＜b≤1或b=－eq \r(2)
C.－1≤b≤1 D.以上都不正确
二、填空题
过点A(2，4)向圆x2＋y2=4所引的切线方程为___________.
圆x2＋y2－2x＋4y－20=0截直线5x－12y＋c=0所得的弦长为8，则c等于________.
已知圆x2－2ax＋y2=0(a＞0)与直线l：x－eq \r(3)y＋3=0相切，则a=________.
过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1=0截得弦长为eq \r(2)，则直线l斜率为____.
三、解答题
求满足下列条件的圆x2＋y2=4的切线方程：
(1)经过点P(eq \r(3)，1)；
(2)斜率为－1；
(3)过点Q(3,0).
已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2=25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4=0(m∈R).
(1)求证：直线l恒过定点；
(2)判断直线l与圆C的位置关系；
(3)当m=0时，求直线l被圆C截得的弦长.
已知点M(1，m)，圆C：x2＋y2=4.
(1)若过点M的圆的切线只有一条，求m的值及切线方程；
(2)若过点M且在两坐标轴上的截距相等的直线被圆截得的弦长为2eq \r(3)，求m的值.
已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y=1相切，且圆心在直线y=－2x上.
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程.
\s 0 答案解析
答案为：C
解析：圆心(2，3)在直线3x－4y＋6=0上，即直线与圆相交且过圆心.
答案为：C
解析：圆心(1,1)到直线x+y-4=0之距d= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ,又知圆半径r= SKIPIF 1 < 0 ,
∴满足条件的点有3个.
答案为：C
解析：圆心M到直线2x+y-5=0之距d= SKIPIF 1 < 0 ,由0 答案为：C
解析：设直线与圆相交于A、B两点,圆心C到AB之距为d= SKIPIF 1 < 0 ,半径r=2,
∴|AB|= SKIPIF 1 < 0 ,∴△ACB为正三角形,∴∠ACB=60°.
答案为：A.
解析：x2＋y2－2x＋4y=0的圆心为(1，－2)，
截得弦最长的直线必过点(2,1)和圆心(1，－2)
∴直线方程为3x－y－5=0，故选A.
答案为：A.
解析：d=eq \f(|2＋1－1|,\r(1＋1))=eq \r(2)，r=eq \r(2＋2)=2，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2=4.
答案为：C.
解析：由圆的标准方程(x＋1)2＋y2=2，知圆心为(－1,0)，故圆心到直线y=x＋3，
即x－y＋3=0的距离d=eq \f(|－1－0＋3|,\r(2))=eq \r(2).
答案为：B.
解析：由题意，得eq \f(|c|,\r(a2＋b2))=1，∴a2＋b2=c2，故选B.
答案为：D
解析：设圆心(a,0)(a＜0)，由题意，得
eq \r(5)=eq \f(|a|,\r(12＋22))，得|a|=5，即a=－5.所以圆O的方程为(x＋5)2＋y2=5，故选D.
答案为：B
解析：当圆心到直线距离最大时，弦长最短，易知当圆心与定点G(0,1)的连线与直线AB
垂直时，圆心到直线AB的距离取得最大值，
即d=|OG|=1，此时弦长最短，即eq \f(|AB|,2)≥eq \r(R2－d2)=eq \r(4－1)⇒|AB|≥2eq \r(3)，故选B.
答案为：D
解析：直线AB的方程是eq \f(x,－2)＋eq \f(y,2)=1，即x－y＋2=0，|AB|=2eq \r(2)，则当△ABC面积取最大值时，边AB上的高即点C到直线AB的距离d取最大值，又圆心M(1，0)，半径r=1，
点M到直线x－y＋2=0的距离是eq \f(3\r(2),2).由圆的几何性质得d的最大值是eq \f(3\r(2),2)＋1，
所以△ABC面积的最大值是eq \f(1,2)×2eq \r(2)×(eq \f(3\r(2),2)＋1)=3＋eq \r(2).
答案为：B
解析：如图，作半圆的切线l1和经过端点A，B的直线l3，l2，由图可知，
当直线y=x＋b为直线l1或位于l2和l3之间(包括l3，不包括l2)时，满足题意.
∵l1与半圆相切，∴b=－eq \r(2)；
当直线y=x＋b位于l2时，b=－1；
当直线y=x＋b位于l3时，b=1.
∴b的取值范围是－1＜b≤1或b=－eq \r(2).
答案为：x=2或3x－4y＋10=0
解析：显然x=2为所求切线之一，另设切线方程为y－4=k(x－2)，
即kx－y＋4－2k=0.又eq \f(|4－2k|,\r(k2＋1))=2，得k=eq \f(3,4)，所以切线方程为3x－4y＋10=0，
故所求切线为x=2，或3x－4y＋10=0.
答案为：10或－68
解析：由题意得圆心C(1，－2)，半径r=5，圆心C到直线5x－12y＋c=0的距离
d=eq \f(|29＋c|,13)，又r2=d2＋42，所以25=eq \f(（29＋c）2,132)＋16，解得c=10或c=－68.
答案为：3
解析：由题意得，圆心(a，0)到直线x－eq \r(3)y＋3=0的距离d=eq \f(|a＋3|,\r(12＋（－\r(3)）2))=a，
又a＞0，得a=3.
答案为：k=1或eq \f(17,7).
解析：圆心C(1,1)，半径r=1，弦长为eq \r(2).
∴C到l的距离d=eq \r(12－\f(\r(2),2)2)=eq \f(\r(2),2).
设l：y＋2=k(x＋1)，即kx－y＋k－2=0.
则eq \f(|k－1＋k－2|,\r(1＋k2))=eq \f(\r(2),2).解之得k=1或eq \f(17,7).
∴所求切线方程为eq \r(3)x＋y－4=0.
(2)设圆的切线方程为y=－x＋b，
代入圆的方程，整理得
2x2－2bx＋b2－4=0，∵直线与圆相切，
∴Δ=(－2b)2－4×2(b2－4)=0.
解得b=±2eq \r(2).
∴所求切线方程为x＋y±2eq \r(2)=0.
也可用几何法d=r求解.
(3)解法一：∵32＋02>4，∴点Q在圆外.
设切线方程为y=k(x－3)，即kx－y－3k=0.
∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，
∴eq \f(|－3k|,\r(1＋k2))=2，∴k=±eq \f(2,5)eq \r(5)，
∴所求切线方程为2x±eq \r(5)y－6=0.
解法二：设切点为M(x0，y0)，则过点M的切线方程为
x0x＋y0y=4，∵点Q(3,0)在切线上，∴x0=eq \f(4,3)①
又M(x0，y0)在圆x2＋y2=4上，∴xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)=4②
由①②构成的方程组可解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝\f(4,3),y0＝\f(2\r(5),3)))，或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝\f(4,3),y0＝－\f(2\r(5),3))).
∴所求切线方程为eq \f(4,3)x＋eq \f(2\r(5),3)y=4或eq \f(4,3)x－eq \f(2\r(5),3)y=4，
即2x＋eq \r(5)y－6=0或2x－eq \r(5)y－6=0.
解：(1)证明：直线l的方程可化为(2x＋y－7)m＋x＋y－4=0.
因为m∈R，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y－7＝0，,x＋y－4＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝1.))
所以直线l恒过定点A(3，1).
(2)解：圆心C(1，2)，|AC|=eq \r(（3－1）2＋（1－2）2)=eq \r(5)<5，
所以点A在圆C内.
从而直线l与圆C相交(无论m为何实数).
(3)解：当m=0时，直线l的方程为x＋y－4=0，
圆心C(1，2)到它的距离为d=eq \f(|1＋2－4|,\r(12＋12))=eq \f(1,\r(2)).
所以此时直线l被圆C截得的弦长为2eq \r(r2－d2)=2eq \r(25－\f(1,2))=7eq \r(2).
解：(1)由于过点M的圆的切线只有一条，故点M在圆C上，
所以1＋m2=4，所以m=±eq \r(3).
所以切线方程为x±eq \r(3)y－4=0.
(2)由于圆C的直径为4>2eq \r(3)，故所求直线不过圆心，即不过原点.
设所求直线的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)=1(a≠0)，即x＋y－a=0，
因为该直线被圆截得的弦长为2eq \r(3)，
所以圆心到直线的距离为1，所以eq \f(|a|,\r(2))=1，所以a=±eq \r(2).
所以所求直线的方程为x＋y±eq \r(2)=0，
所以m=－1±eq \r(2).
解：(1)设圆心的坐标为C(a，－2a)，
则eq \r(a－22＋－2a＋12)=eq \f(|a－2a－1|,\r(2)).
化简，得a2－2a＋1=0，解得a=1.
∴C(1，－2)，半径r=|AC|=eq \r(1－22＋－2＋12)=eq \r(2).
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2=2.
(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，
此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件.
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx，
由题意得eq \f(|k＋2|,\r(1＋k2))=1，解得k=－eq \f(3,4)，
∴直线l的方程为y=－eq \f(3,4)x，即3x＋4y=0.
综上所述，直线l的方程为x=0或3x＋4y=0.