2021-2022年上海市华师大二附中高二上10月月考数学试卷

这是一份2021-2022年上海市华师大二附中高二上10月月考数学试卷，共5页。
1．当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（ ）
A．三点确定一平面
B．不共线三点确定一平面
C．两条相交直线确定一平面
D．两条平行直线确定一平面
2．若直线l不平行于平面a，且l⊄a，则（ ）
A．a内所有直线与l异面
B．a内不存在与l平行的直线
C．a内存在唯一的直线与l平行
D．a内的直线与l都相交
3．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱D1C1的中点．设AM与平面BB1D1D的交点为O，则（ ）
A．三点D1，O，B共线，且OB＝2OD1
B．三点D1，O，B不共线，且OB＝2OD1
C．三点D1，O，B共线，且OB＝OD1
D．三点D1，O，B不共线，且OB＝OD1
4．如图，用斜二测画法作△ABC水平放置的直观图形得△A1B1C1，其中A1B1＝B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，由图形可知在△ABC中，下列四个结论中正确的是（ ）
A．AB＝BC＝ACB．AD⊥BC
C．AC＞AD＞ABD．AC＞AD＞AB＝BC
二．填空题（共10小题）
5．平面α外的两条直线a、b，且a∥α，则a∥b是b∥α的 条件（填充分必要性）．
6．正三棱锥的两个侧面所成二面角α大小的取值范围是 ．
7．三条不同的直线，α、β、γ为三个不同的平面：
①若α⊥β，β⊥γ，则α∥β；
②若a⊥b，b⊥c，则a∥c或a⊥c；
③若a⊂α，b、c⊂β，a⊥b，a⊥c，则α⊥β；
④若a⊥α，b⊂β，a∥b，则α⊥β，上面四个命题中真命题的个数是 ．
8．棱长为1的正四面体ABCD中，对棱AB、CD之间的距离为 ．
9．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱AB、BB1的中点，则异面直线A1E与C1F所成角的余弦值为 ．
10．棱长为a正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，点P是棱AB上一点，且AP＝，过点P，M，N的平面与直线CD交于一点Q，则PQ的长为 ．
11．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA＝a，PB＝PD＝a，则它的5个面中，互相垂直的面有 对．
12．在120°的二面角α﹣l﹣β内有一点P，P在平面α、β内的射影A、B分别落在半平面αβ内，且PA＝3，PB＝4，则P到l的距离为 ．
13．给出下列4个命题：
①过平面外一点，与该平面成θ角的直线一定有无穷多条；
②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行；
③过空间任意一点有且只有一个平面与两条异面直线都平行；
④与确定的两条异面直线所成的角相等的平面有无数个．
其中正确命题的序号有 （请把所有正确的序号都填上）．
14．给出下列四个命题：
①过平面外一点作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条；
②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行；
③对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有唯一一个平面与这两条异面直线都平行；
④对两条异面直线，都存在无穷多个平面与这两条异面直线所成的角相等．
其中正确的命题的序号是 ．（请把所有正确命题的序号都填上）
三．解答题（共4小题）
15．（1）请用文字语言叙述直线与平面平行的判定定理；
（2）把（1）中的定理写成“已知：……，求证……”的形式，并用反证法证明；
（3）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN，求证：MN∥平面AA1B1B．（用（1）中所写定理证明）
16．某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）、凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管、考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：①凳子高度为30cm，②三根细钢管相交处的节点O与凳面三角形ABC重心的连线垂直于凳面和地面．
（1）若凳面是边长为20cm的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45°，确定节点O分细钢管上下两段的比值（精确到0.01）；
（2）若凳面是顶角为120°的等腰三角形，腰长为24cm，节点O分细钢管上下两段之比为2：3、确定三根细钢管的长度（精确到0.1cm）．
17．如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系O﹣xyz的原点，半径为1，且球O分别与x，y，z轴的正半轴交于A，B，C三点．已知球面上一点．
（1）求D，C两点在球O上的球面距离；
（2）求直线CD与平面ABC所成角的大小．
18．在120°的二面角α﹣l﹣β的两个面内分别有点A，B，A∈α，B∈β，A，B到棱l的距离AC，BD分别是2，4，且线段AB＝10．
（1）求C，D间的距离；
（2）求直线AB与平面β所成角的正弦值．