数学必修 第二册第七章 复数本章综合与测试教案设计

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《数系的扩充与复数》全章复习与巩固【学习目标】  1. 了解引进复数的必要性，了解数集的扩充过程；2. 理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念；理解复数相等的充要条件；3. 了解复数的代数表示法及其几何意义；4. 掌握进行复数代数形式的四则运算法则，了解复数代数形式的加法、减法运算的几何意义. 注意在不同数集中运算法则的联系和区别.【知识网络】【要点梳理】 要点一：复数的基本知识1、虚数单位，规定它的平方等于，即.可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.2、形如（）的数叫做复数，记作：（）；当b=0时，是实数；当b≠0时，叫做虚数；当a=0且b≠0时，叫做纯虚数.3、两个复数相等的充要条件：若，则.4、复数的几何意义： 复数复平面内的点 平面向量5、复数的模：设（），则向量的长度叫做复数的模，记作.即.要点诠释：（1）的周期性：如果n∈N，则有：，，，；（2）复数的共轭复数，记为；（3）.要点二：复数的运算设，（），则：要点诠释：（1）设ω＝，则，，，，，(n∈N+)等；（2）复数求解计算时，要灵活利用i、ω的性质，或适当变形，创造条件，从而转化为关于i、ω的计算问题． 比如；；；（3）作复数除法运算时，有如下技巧：．   【典型例题】类型一：复数的概念及运算例1.  化简下列式子：（1）；           （2） ．【解析】  （1）；（2）． 【变式1】i是虚数单位，计算  (    )    A．-l    B．1    C．-i    D．i【答案】 A 【变式2】复数等于  (    )    A．i    B．-i    C．1    D．-1【答案】  D【解析】  ． 【变式3】已知复数，则________·【答案】 -2i例2. 已知，(a∈R)分别对应向量，（O为原点），若向量所对应的复数为纯虚数，求a的值．【解析】  设向量对应的复数为z，∵  ，∴  ．∵  z为纯虚数，∴    即∴  ． 【变式1】设(其中表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是-1，则z2的虚部为________．    【答案】  1    【解析】  ，，    ，由复数相等得． 【变式2】 设a，b为实数，若复数，则(   )A．，    B．a＝3，b＝l    C．＝，    D．a＝1，b＝3【答案】  A【解析】    故选A． 类型二：复数的几何意义例3.  已知复数，，，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．【解析】设复数、、所对应的点分别为A、B、C，正方形的第四个点D对应的复数为(x，y∈R)，∴  对应的复数为，对应的复数为．∵  ，∴  ，即  解得∴  点D对应的复数为． 【变式】已知复平面上的ABCD中，对应的复数为6+8i，对应的复数为-4+6i，求向量对应的复数．【答案】如图所示，ABCD中，设对角线AC、BD的交点为E，则点E为AC、BD的中点，由复数加减法的几何意义可得所以对应的复数为，所以向量对应的复数为． 例4. 复数且，z对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值．【解析】．    由，得．    ①    ∵  复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，∴  ．把代入上式化简得|b|＝1．  ②又∵  z对应的点在第一象限.∴  a＜0，b＜0．由①②得故所求值为，． 【变式1】复数在复平面上对应的点位于(   )    A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限  【答案】 A【解析】 ．∴  复数z在复平面内的对应点为，在第一象限．故选A． 【变式2】若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是(    )    A．E    B．F    C．G    D．H   【答案】  D【解析】  由题中图示可知，∴  ，再结合题中图示知点H表示2-i，故选D．类型三：复数与方程例5.  已知2+ai，b+i是实系数一元二次方程的两根，求p，q.A．p＝-4，q＝5    B．p＝4，q＝5    C．p＝4，q＝-5    D．p＝-4，q＝-5【思路点拨】抓住实系数一元二次方程有虚根时两根互为共轭复数来解题.  【解析】 因为2+ai，b+i)是实系数一元二次方程的两个根，所以2+ai与b+i互为共轭复数，所以a＝-1，b＝2，所以实系数一元二次方程的两个根是2±i，所以p＝-[(2+i)+(2-i)]＝-4，q＝(2+i)(2-i)＝5． 【变式】在复数集中解方程.【答案】，∴，∴原方程的根为. 例6.  已知Z∈C，解方程． 【思路点拨】本题介绍对的熟练应用，来求得.【解析】  ∵  ，把方程变形为，  ①    两边取模得．整理得．解得或．    将其代入①得或．    ∴  z＝-1或z＝-1+3i． 【变式】已知Z∈C，解方程．【答案】令(x，y∈R)，则原方程化为：，∴由复数相等的条件有解得或∴原方程的解为，.