人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念教案及反思

同角三角函数基本关系

【学习目标】

1.借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式: ，掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法；

2．会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。

【要点梳理】

要点一：同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系：

(2)商数关系：

(3)倒数关系：，，

要点诠释：

(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立；

(2)是的简写；

(3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取。

要点二：同角三角函数基本关系式的变形

1．平方关系式的变形：

，

2．商数关系式的变形

。

【典型例题】

类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值

例1．已知tan=－2，求sin，cos的值。

【思路点拨】先利用,求出sin=－2cos，然后结合sin2+cos2=1，求出sin，cos。

【解析】  解法一：∵tan=－2，∴sin=－2cos。  ①

又sin2+cos2=1，    ②

由①②消去sin得(－2cos)2+cos2=1，即。

当为第二象限角时，，代入①得。

当为第四象限角时，，代入①得。

解法二：∵tan=－2＜0，∴为第二或第四象限角。

又由，平方得。

∴，即。

当为第二象限角时，。

。

当为第四象限角时，。

。

【变式1】已知是的一个内角，且，求

【思路点拨】根据可得的范围：再结合同角三角函数的关系式求解.

【解析】为钝角，

由平方整理得

例2．已知cos=m（－1≤m≤1），求sin的值。

【解析】（1）当m=0时，角的终边在y轴上，

①当角的终边在y轴的正半轴上时，sin=1；

②当角的终边在y轴的负半轴上时，sin=－1。

（2）当m=±1时，角的终边在x轴上，此时，sin=0。

（3）当|m|＜1且m≠0时，

∵sin2=1―cos2=1―m2，

∴①当角为第一象限角或第二象限角时，，

②当角为第三象限角或第四象限角时，。

【总结升华】 当角的范围不确定时，要对角的范围进行讨论，切记不要遗漏终边落在坐标轴上的情况。

类型二：利用同角关系求值

例3．已知：求：

（1）的值；（2）的值；

（3）的值；（4）及的值

【思路点拨】同角三角函数基本关系是反映了各种三角函数之间的内在联系，为三角函数式的恒等变形提供了工具与方法。

【答案】（1）（2）（3）0（4）或

【解析】（1）由已知

（2）

（3）

（4）由，解得或

【变式1】已知，求下列各式的值：

（1）；（2）sin3+cos3。

【解析】  因为，

所以，

所以。

（1）

（2）。

例4．已知tan=3，求下列各式的值。

（1）；（2）；（3）。

【思路点拨】由已知可以求出，进而代入得解，但过程繁琐。在关于“齐次”式中可以使用“弦化切”，转化成关于tan的式子，然后利用已知求解.

【解析】（1）原式的分子分母同除以cos（cos≠0）得，

原式。

（2）原式的分子分母同除以cos2（cos2≠0）得，

原式。

（3）用“1”来代换，

原式。

【变式1】（1）已知tan=3，求sin2－3sincos+1的值；

（2）已知，求的值。

【解析】（1）∵tan=3，1=sin2+cos2，

∴原式

      。

（2）由，得，解得：

∴

。

类型三：利用同角关系化简三角函数式

例5．化简：。

【解析】  解法一：原式

                   。

解法二：原式

            。

解法三：原式

            。

【变式1】化简

（1）；

  （2）；

（3）；

（4）

【答案】（1）－1（2）（3）略（4）略

【解析】（1）原式=

（2）原式=

（3）原式=

（4）原式=

         =

         =，

类型四：利用同角关系证明三角恒等式

例6．求证：。

【思路点拨】利用同角三角函数关系式对式子的左边或右边进行化简，使之与式子的另一边相同。

【解析】  证法一：右边

                   =左边。

证法二：左边，

右边，

所以左边=右边，原等式成立。

证法三：左边，

右边，

所以左边=右边，原等式成立。

【变式1】求证：.

【解析】证法一：由题意知，所以.

∴左边=右边.

∴原式成立.

证法二：由题意知，所以.

又∵，

∴.

证法三：由题意知，所以.

，

∴.

【变式2】已知，求证：。

【证明】  ∵，∴，

∵，∴。

∴。