高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算教学设计

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平面向量的数量积 【学习目标】1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；【要点梳理】要点一： 平面向量的数量积1. 平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有.并规定与任何向量的数量积为0.2.一向量在另一向量方向上的投影：叫做向量在方向上的投影.要点诠释：1. 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定.(2)两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.(3)在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出.因为其中有可能为0.2. 投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为.要点二：平面向量数量积的几何意义数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义。图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即。  事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当当时，由于，所以。要点三：向量数量积的性质设与为两个非零向量，是与同向的单位向量.1.2.3.当与同向时，；当与反向时，. 特别的或4.5.要点四：向量数量积的运算律 1.交换律：2.数乘结合律：3.分配律：要点诠释：1.已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bca=c.但是；2.在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线.要点五：向量数量积的坐标表示1.已知两个非零向量，，2.设，则或3.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式).要点六：向量在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件(2)证明垂直问题，常用垂直的充要条件(3)求夹角问题，利用(4)求线段的长度，可以利用或【典型例题】类型一：平面向量数量积的运算例1． （1）已知||=4，||=5，向量与的夹角为，求①·；②(+)2；③2―2；④(2+3)·(3―2)；（2）若向量++=0，且||=3，||=1，||=4，求·+·+·的值。【思路点拨】（1）(+)2=，(2+3)·(3―2)=6||2+5·―6||2 把模和数量积代入可得。（2）(++)2=2+2+c2+2(·+·+·)，把模和数量积代入可得。【答案】（1）10  61  －9  ―4（2）―13【解析】  （1）①。②(+)2=||2+2·+||2=61。③2―2=||2―||2=－9。④(2+3)·(3―2)=6||2+5·―6||2=―4。（2）∵(++)2=2+2+2+2(·+·+·)，∴。【变式1】已知||=5，||=4，〈，〉=，求（+）·.【答案】35【解析】原式=    ==35例2．（1）若||=4，·=6，求在方向上的投影；（2）已知||=6，为单位向量，当它们之间的夹角分别等于60°、90°、120°时，求出在方向上的正投影，并画图说明。【答案】（1）（2）略【解析】  （1）∵·=|| ||cos=6，又||=4，∴4||cos=6，∴。（2）在方向上的投影为||·cos。        如上图所示，当=60°时，在方向上的正投影的数量为||·cos60°=3；当=90°时，在方向上的投影的数量为||·cos90°=0；当=120°时，在方向上的正投影的数量为||·cos120°=－3。 类型二：平面向量模的问题例3．已知||=||=4，向量与的夹角为，求|+|，|―|。 【思路点拨】已知两个向量的模和夹角，把|+|和|―|用向量的模和夹角的来表示，所以先求出和，然后再开方即可。 【答案】4，【解析】  因为2=||2=16，2=||2=16，，所以。同事可求。【变式1】已知，求。【答案】 【解析】，同理，【变式2】已知的夹角为，， ，则 等于(    )       A  5              B. 4                 C. 3                D. 1【解析】， ，解得，故选B. 类型三：向量垂直（或夹角）问题例4．已知、都是非零向量，且+3与7―5垂直，―4与7―2垂直。求与的夹角。 【思路点拨】由题意知，， =0，解得||=||．  【答案】60°【解析】  ∵+3与7―5垂直，∴(+3)·(7－5)=0。∵―4与7―2垂直，∴(―4)·(7―2)=0。于是有由①－②得  2·=2。    ③将③代入①得  2=2，∴||=||。∴。∵0°≤≤180°，∴=60°。【变式1】已知与为两个不共线的单位向量，k为实数，若向+与向量k－垂直，则k=________。   【答案】1【变式2】已知是两个非零向量，同时满足，求的夹角.【解析】法一：将两边平方得， 则， 故的夹角为30°.法二： 数形结合                                   因为，如图作，则，是等边三角形，延长至C，使AC=AB，，与的夹角为，易知大小为30°。 【变式3】已知为非零向量，且，，求证：。【证明】由，得， （1）同理： （2）由（1）、（2）式得：， 例5．（1）已知量、、满足++=0，且||=5，||=7，||=10，求、的夹角的余弦值；（2）已知||=2，||=3，与的夹角为60°，若+与+的夹角为锐角，求实数的取值范围。 【答案】（1）（2）【解析】  （1）由++=0知，+=－，∴|+|=||，(+)2=2，即2+2·+2=2。∴。则。故、的夹角的余弦值为。（2）由题意可得。又(+)·(+)= 2+(2+1) ·+2，而+与+的夹角为锐角，∴2+(2+1) · +2＞0，而2=||2=4，2=||2=9，·=3，∴32+13+3＞0，解得或。但是当=1时，+与+共线，其夹角不为锐角。故的取值范围是。 【变式1】 对于两个非零向量，，求使|+t|的值最小时t的值，并求此时与+t的夹角。【答案】90°【解析】  |+t|2=2+2(2·)t+t22=||2+2(·)t+t2||2      。当时，|+tb|2取得最小值，即|+tb|取得最小值，此时，。又∵≠0，(+t)≠0，∴⊥(+t)。∴与+t的夹角为90°。 类型四：平面向量数量积的坐标表示及运算    例6．已知||=1，，，求：（1）|―|；（2）+与―的夹角。【思路点拨】利用向量坐标运算的公式去解此题。【解析】  （1）|―|2=(―)2=2―2·+2=4―2·，又，故(+)2=4，即2+2·+2=4，即·=0，|+|=2，∴。（2）设+与－的夹角为，则。又∈[0，π]，故夹角。 【变式1】已知向量和，若·=·，试求模为的向量的坐标。 【答案】  【解析】 设=（x，y），则，，由·=·及，得，解得  或  。所以或。  例7．在△ABC中，，，且△ABC的一个内角为直角，求k的值。【思路点拨】△ABC中的哪一个内角为直角并不明确，因此要分类讨论，分类讨论的时候要分类明确，不重不漏。【解析】 （1）当∠A=90°时，，故2×1+3k=0，即。（2）当∠B=90°时，，，故2×(―1)+3(k―3)=0，。（3）当∠C=90°时，。由（2）得。故―1+k(k―3)=0，k2―3k―1=0，。故当或或时，△ABC为直角三角形。 【变式1】已知=（1，1），=（0，―2）当k为何值时，（1）k―与+共线；（2）k―与+的夹角为120°。【答案】（1）－1（2）    【解析】∵=（1，1），=（0，―2），k―=k（1，1）―（0，―2）=（k，k+2）。+=（1，1）+（0，―2）=（1，―1）。（1）∵k－与+共线，∴k+2―(―k)=0。∴k=－1。（2）∵，，(k―)·(+)=(k，k+2)·(1，―1)=k―k―2=―2，而k―与+的夹角为120°，∴，即。化简，整理得k2+2k―2=0，解之得。类型五：平面向量数量积的综合应用例8. 平面内有向量，，，点M为直线OP上的一个动点。（1）求当取最小值时，求的坐标；（2）当点M满足（1）的条件和结论时，求cos∠AMB的值。【解析】 （1）如图，设M（x，y）。则，∵点M在直线OP上，∴向量与共线。又，∴x·1－y·2=0，即x=2y。∴。又，，∴。同理。于是，=4y2―12y+5+y2―8y+7=5y2―20y+12由二次函数的知识，可知当时，有最小值―8，此时。（2）当，即y=2时，有，，，，，∴。 【变式1】如图，点P是以AB为直径的圆O上动点，是点P关于的对称点，。（1）当点P是弧上靠近B的三等分点时，求的值；（2）求的最大值和最小值。【答案】（1）（2）、【解析】（1）以直径所在直线为轴，以为坐标原点建立平面直角坐标系。因为P是弧靠近点B的三等分点，连接OP，则，点P坐标为。又点A坐标是，点B坐标是，所以，所以。（2）设则所以所以            =            =            =当有最小值，当有最大值。