高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行教案设计

直线、平面平行的性质

【学习目标】

1.掌握直线与平面平行的性质定理及其应用；

2.掌握两个平面平行的性质定理及其应用；

3．能综合运用直线与平面、平面与平面平行的判定与性质定理解决相关问题．

【要点梳理】

要点一、直线和平面平行的性质

文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简记为：线面平行则线线平行.

符号语言：若，，，则.

图形语言：

要点诠释：

直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”．可以用符号表示：若a∥，，，则a∥b．这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：（1）直线a和平面平行，即a∥；（2）平面和相交，即；

（3）直线a在平面内，即．三个条件缺一不可，在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内一切直线”的错误．

要点二、平面和平面平行的性质

文字语言：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.

符号语言：若，，，则.

图形语言：

要点诠释：

（1）面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理．

（2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线（否则将导致这两个平面有公共点）．

要点三、平行关系的综合转化

空间中的平行关系有线线平行、线面平行、面面平行．这三种关系不是孤立的，而是互相联系的．它们之间的转化关系如下：

证明平行关系的综合问题需灵活运用三种平行关系的定义、判定定理、性质定理．

有关线面、面面平行的判定与性质，可按下面的口诀去记忆：

空间之中两直线，平行相交和异面．

线线平行同方向，等角定理进空间．

判断线和面平行，面中找条平行线；

已知线和面平行，过线作面找交线．

要证面和面平行，面中找出两交线．

线面平行若成立，面面平行不用看．

已知面与面平行，线面平行是必然．

若与三面都相交，则得两条平行线．

【经典例题】

类型一：直线与平面平行的性质

例1．四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH．求证：AP∥GH．

【解析】如图，连接AC交BD于O，连接MO，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴O是AC的中点，又M是PC的中点，

∴AP∥OM．

根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD．

∵平面PAHG∩平面BDM=GH，

根据直线和平面平行的性质定理，∴PA∥GH．

【变式1】已知直线∥平面，直线∥平面，平面平面=，求证．

证明：经过作两个平面和，与平面和分别相交于直线和，

∵∥平面，，∥平面，

∴∥，∥，∴∥，

又∵平面，平面，∴∥平面，

又平面，平面∩平面=，

∴∥，又∵∥，∴∥．

例2．如图所示，已知异面直线AB、CD都平行于平面，且AB、CD在的两侧，若AC、BD与分别交于M、N两点，求证：．

【解析】如图所示，连接AD交平面于Q，连接MQ、NQ．MQ、NQ分别是平面ACD、平面ABD与的交线．

∵CD∥，AB∥，∴CD∥MQ，AB∥NQ．

于是，，∴．

【变式1】如图所示，在三棱锥P—ABC中，PA=4，BC=6，与PA、BC都平行的截面四边形EFGH的周长为，试确定的取值范围．

【解析】与PA、BC平行的截面四边形EFGH应有二边平行于PA，另二边平行于BC，故它是一个平行四边形，，，同理，，，

四边形EFGH的周长=2（EF+FG）=+==8+4

因为0<PF/PB<1,截面四边形EFGH的周长l应大于小于12，8<l<12.

类型二：平面与平面平行的性质

例3．如图所示，平面∥平面，A，C∈，B,D∈，点E，F分别在线段AB，CD上，且．求证：EF∥．

【解析】（1）当AB，CD共面时，

∵∥，且平面ABDC∩=AC，平面ACDB∩=BD，∴AC∥BD，

∴四边形ABDC是梯形或平行四边形．

由，得EF∥BD，

又∵BD，EF，∴EF∥．

（2）当AB，CD异面时，作AH∥CD交于H，

∵∥，且平面AHDC与平面，的交线分别为AC，HD，

∴AC∥HD．∴四边形AHDC为平行四边形．

作FG∥DH交AH于G，连接EG，于是．

∵，∴．从而EG∥BH，而BH，EG，

∴EG∥．

又FG∥DH，DH，FG，∴FG∥．

∵EG∩FG=G，∴平面EFG∥．

又EF平面EFG，∴EF∥．

【变式1】 已知面∥平面，点A，C∈，点B，D∈，直线AB，CD交于点S，且SA=8，SB=9，CD=34．

（1）若点S在平面，之间，则SC=________；

（2）若点S不在平面，之间，则SC=________．

【答案】（1）16    （2）272

【变式2】 四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，点E在PD上，且PE∶ED=2∶1，问在棱PC上能否找到一点F，使BF∥平面AEC？试说明你的看法．

【解析】如图，当F是PC的中点时，BF∥平面AEC．

理由：取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE．

所以，所以E是MD的中点．

连接BM、BD，设BD∩AC=O，则O为BD的中点，所以BM∥OE．

又BM∩FM=M，OE∩CE=E，BM平面BFM，FM平面BFM，OE平面AEC，CE平面AEC，所以平面BFM∥平面AEC．

又BF平面BFM，所以BF∥平面AEC．

类型三：线面平行的判定与性质的综合应用

例4．如图所示，已知平面∥平面，AB与CD是两条异面直线，且AB，CD．如果E，F，G分别是AC，CB，BD的中点，求证：平面EFG∥∥．

【解析】由已知条件可知EF∥AB，FG∥CD．

∴EF∥，FG与CD可确定一个平面，设BM=∩平面CDGF，由于，故有CD∥BMFG∥BMFG∥．

如果E，F，G三点共线，则有G∈平面ABCBG平面ABCD∈平面ABC，即A，B，C，D共面，与AB，CD是异面直线矛盾．故E，F，G三点不共线，即EF与FG是平面EFG内的两条相交直线．∴平面EFG∥，而，故平面EFG∥∥．

例5.如图，已知正方体中，面对角线、上分别有两点E、F，且，求证：EF∥平面ABCD．

证明：

证法一：过E、F分别作AB、BC的垂线EM、FN分别交AB、BC于M、N，连接MN．

∵⊥平面ABCD，∴⊥AB，⊥BC，

∴EM∥，FN∥，∴EM∥FN，

∵=，=，∴AE=BF，又∠=∠=45°，

∴Rt△AME≌Rt△BNF，∴EM=FN．

∴四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN．

又MN平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．

证法二：过E作EG∥AB交于G，连接GF，

∴，，，

∴，∴FG∥∥BC．

又∵EGFG=G，ABBC=B，∴平面EFG∥平面ABCD．

又EF平面EFG，∴EF∥平面ABCD．

【变式1】 如图所示，已知点P是ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PBC∩平面APD=．

（1）求证：∥BC；

（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．

【解析】方法一：（1）因为BC∥AD，BC平面PAD，AD平面PAD，所以BC∥平面PAD．

又因为平面PBC∩平面PAD=，所以BC∥．

（2）平行．如下图（1），取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE=AM．所以四边形AMNE是平行四边形．

所以MN∥AE．所以MN∥平面PAD．

方法二：（1）因为AD∥BC，AD平面PBC，BC平面PBC，所以AD∥平面PBC．

又因为平面PBC∩平面PAD=，所以∥AD．因为AD∥BC，所以∥BC．

（2）平行．如下图（2），设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，则MQ∥AD，NQ∥PD，而MQ∩NQ=Q，所以平面MNQ∥平面PAD．

又因为MN平面MNQ，所以MN∥平面PAD．

例6．如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内的一点且与这条直线平行的直线必在这个平面内．

已知：直线a∥平面，B∈，B∈b，b∥a，求证：b．

【证明】证法一：如图，假设，过直线a和点B作平面，．

∵a∥，∴．

这样过点B就有两条直线b和b＇同时平行于直线a，与平行公理矛盾，故b必在内．

证法二：过直线a及点B作平面，设．

∵a∥，∴．

这样，b＇与b都是过点B平行于a的直线，而过一点与一直线平行的直线有且仅有一条，∴b与b＇重合，∵，∴．