上海市大同中学2020-2021学年高一上学期10月月考数学试题（解析版）

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2020-2021学年大同中学高一上10月考试卷一､填空题（每题3分，满分36分）1. 已知集合，，则______．【答案】【解析】【分析】直接根据交集的概念运算可得结果.【详解】因为集合，，所以.故答案：.2. 已知全集，，如果，则实数___________.【答案】【解析】【分析】根据补集的定义，即得解【详解】由题意，，，由补集的定义，故答案为：23. 不等式的解集是___________.【答案】##【解析】【分析】由题知，解不等式即可得答案.【详解】解：因为，所以，解得.所以不等式的解集为或 故答案为：或4. 已知一元二次方程的两个实根分别为，，且，则实数_________【答案】【解析】【分析】利用根的判定式求出参数的取值范围，再利用韦达定理计算可得；【详解】解：因为一元二次方程的两个实根分别为，，所以，解得或所以又因为，所以，即，解得或（舍去）故答案为：【点睛】本题考查根与系数的关系的应用，属于基础题.5. 若集合中有且仅有一个元素，则k的值为___________.【答案】0或1【解析】【分析】转化为求方程有且仅有一个解的条件，分k=0和k≠0，利用一次方程和二次方程的解的个数的判定方法求解.【详解】当k=0时，方程为2x+1=0,有且只有一解，符合题意；当k≠0时，方程有且仅有一个解等价于,解得k=1,故答案为：0或1.6. 已知集合，，且，则实数___________.【答案】或##3或2##2，3##3，2【解析】【分析】解方程求出集合，根据可得，根据判别式可得，讨论中只有元素和中只有个元素列方程即可求解.【详解】，因为，所以.对于方程，因为，故，当时，，可得，当时，，此时不存在，当时，可得，解得，满足综上所述，或.7. 已知命题,若命题是假命题，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】根据命题否定为真，结合二次函数图像列不等式，解得结果【详解】因为命题假命题，所以为真所以【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立，考查基本分析求解能力，属基础题.8. 用描述法表示图中的阴影部分的点（含边界）的坐标组成的集合___________.【答案】【解析】【分析】先由图象得到点的范围，再用描述法表示.【详解】由图可知：阴影部分在第三象限和x，y轴上，且，所以用集合表示为，故答案为：9. 已知或，或，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】是的必要条件，即，分，两种情况讨论分析，即得解【详解】设或，或若是的必要条件，则（1）当时，即，此时，成立；（2）当时，即，若，此时，无解.综上：故答案为：10. 已知关于的方程有两个实数根，且一根大于1，一根小于1，则实数的取值范围为__________【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程根的分布求解，令，则有，解不等式可得所求范围．【详解】令，∵方程的一个实数根大于1，另一个实数根小于1，∴，即，解得，∴实数的取值范围为．故答案为．【点睛】本题考查根据方程根的情况求参数的取值范围，解题时根据方程根的分布将问题转化为不等式求解，体现了转化和数形结合的思想方法在解题中的应用．11. 已知集合，集合，若，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】分析】由题意，若，则，求解即可【详解】由题意，集合，集合若则，解得故实数的取值范围为故答案：12. 若一元二次不等式组的解集为，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】结合二次函数的性质，分，两种情况讨论求解即可.【详解】当时，开口向上，最小值为，并且不等式解集恰好为，根据韦达定理得，，代入解得；当时，开口向下，最大值为，并且不等式解集恰好为，根据韦达定理得，代入解得综上所述，故答案为：二､选择题（每题4分，满分16分）13. “”是“”的（        ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先利用分式不等式的解法将解得或，再利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】因为，所以 ，所以，即，解得或，所以 “”是“”的必要不充分条件.故选：B14. 已知，则下列四个命题正确的个数是（   　 ）①若，则；②若，则；③若，则；④若，，，，则，.A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性质，逐一分析选项，得到正确结论.【详解】①当时，，两边同时除以，得到，正确；②，那么，即，正确；③ ， ，正确；④令 同样能满足 ，不正确.共有3个正确.故选C.【点睛】本题考查不等式比较大小，一般不等式比较大小的方法：1.做差法，2.利用不等式的性质，3.利用函数单调性比较大小，4.特殊值比较大小.15. 关于的不等式的解集为或，则关于的不等式，以下结论正确的是（    ）A. 当时，解集为 B. 当时，解集为C. 当时，解集为或 D. 以上都不正确【答案】C【解析】【分析】由题意，为方程的两个根，可得，，再代入不等式可得，分，，三种情况讨论，即可判断【详解】由题意，为方程的两个根代入方程解得：，于是关于的不等式，即为令，对应的二次函数开口向上当时，解集为或当时，解集为当时，解集为或故选：C16. 若､分别为集合､的元素个数，定义，若，且.设实数所有可能构成集合，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由题设可得或，分类讨论研究集合T中方程解的情况，即可确定实数所有可能，进而可得.【详解】由题意，，，及方程的解.由，，∴或；当时，只能为，则；当时，分三种情况讨论：或是方程的其中一个解，方程还有另外一解，把､代入验证，不符合题意；当方程有两个相等的实数根时，即，解得，符合题意.综上所述，､､.故选：C三､解答题（本大题共5小题，满分48分）17. 解不等式组【答案】【解析】【分析】分类讨论去绝对值解一元一次不等式和一元二次不等式，即可求解．【详解】等价于或，解得或，不等式组的解为．【点睛】本题考查绝对值不等式以及一元二次不等式的不等式组的解法，属于基础题．18. 某公司为生产某种产品添置了一套价值元的设备，而每生产一个这种产品所需要的原材料和劳动力等成本合计元，已知该产品的年销售收入（元）与年产量（台）的关系是.（1）把该产品的年利润(元)表示为年产量（台）的函数；（2）当年产量为多少台时，该产品的年利润最大?最大年利润为多少元?（注:利润=销售收入-总成本）【答案】(1) ；（2）【解析】【分析】（1）根据利润等于销售收入减去成本，分段计算利润即可求解.（2）根据（1）中所求利润关于产量的函数，求该函数的最大值即可.【详解】（1）当时，当时，故该产品的利润与产量之间的函数关系为：（2）当，解得当时，；当，该函数为单调减函数， 即综上所述当时，利润最大，最大利润为60000元.【点睛】本题考查分段函数模型建立和应用，属基础题.19. 关于的不等式（且）.（1）若此不等式的解集为，求的值；（2）当时，该不等式恒成立，求的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题设可得，结合已知解集即可求的值；（2）由题设在上恒成立，讨论参数k，结合一次函数的性质求k的范围.【详解】（1）不等式整理为，又，∴，于是，即，解得.（2）令在上恒成立：当时，，成立；当时，，即，解得；当时，，即，解得；综上，20. 设关于的不等式和（其中）的解集分别为和.（1）若，求的取值范围；（2）是否存在实数，使，如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）由题知，再根据题意得或，解不等式即可得答案；（2）由，即可得不存在这样的实数，使，【详解】解：（1）因为，所以不等式的解集为或，故，因为，，所以或，解得所以的取值范围（2）不存在，因为对于任意的实数，，，所以，所以始终不能成立，所以不存在这样的的值.21. 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”.（1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；（2）设､､､均为正数，点是点的“上位点”，判断是否存在点满足既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，若存在，写出一个点坐标，并证明；若不存在，请说明理由；（3）设正整数满足以下条件：对集合，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值.【答案】（1），；（2）存在，点，证明见解析；（3）最小值为.【解析】【分析】(1)按照题目中的定义，写出答案即可；（2）根据不等式的性质用作差法证明即可；（3）由题意得，再结合（2）的结论，利用作差可求得答案.【详解】（1），所以为的上位点，，所以为的下位点；（2）存在，当点时，满足既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，由题意可知，点是点的“上位点”，所以，又则 , 即所以 即所以点  是点 的“上位点”·同理可得，所以 则点 P ( a ＋ c , b + d ) 又是点 ( a , b ) 的 “下位点”.所以点既是点的 “上位点”， 又是点的 “下位点”.（3）若正整数满足：在时恒成立，由（2）可知，，时满足条件，若，由于，则不成立，故的最小值为.