备战2022高考数学圆锥曲线专题27：抛物线的定点问题20页（含解析）

这是一份备战2022高考数学圆锥曲线专题27：抛物线的定点问题20页（含解析），共20页。试卷主要包含了已知点，，动点满足，设抛物线的焦点为，已知直线，设抛物线等内容，欢迎下载使用。
专题27：抛物线的定点问题1．已知抛物线的焦点为，过点且垂直于轴的直线与交于，两点，(点为坐标原点)的面积为.（1）求抛物线的方程；（2）设不经过原点的直线与抛物线交于､两点，设直线､的倾斜角分别为和，证明：当时，直线恒过定点.2．已知点，，动点满足．记点的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）设为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别是，．证明：直线过定点．3．设抛物线的焦点为，已知直线：，圆：.（1）设直线与圆的交点分别为，，求当取得最小值时，直线的方程；（2）若抛物线过圆的圆心，直线，过同一定点且与抛物线相交于，和，点，，设是的中点，是的中点，证明：直线恒过定点.4．已知抛物线的焦点是椭圆的一个顶点.（1）求抛物线的方程；（2）若点，、为抛物线上的不同两点，且，问：直线是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.5．在平面直角坐标系中，已知直线被抛物线截得的弦长为，直线与抛物线相交于点，，点，且直线，的斜率之和为4.（1）求抛物线的方程；（2）求证：直线过定点，并求出定点坐标.6．已知抛物线的焦点为，是上一点，且.（1）求抛物线的方程；（2）设点是上异于点的一点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线交抛物线于点，证明：直线过定点，并求出该定点坐标.7．在平面直角坐标系中，为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为为的中点.（1）证明轴；（2）直线是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.8．已知点，，为直线上的两个动点，且，动点满足，（其中为坐标原点）.（1）求动点的轨迹的方程；（2）若直线与轨迹相交于两不同点、，如果，证明直线必过一定点，并求出该定点的坐标.9．平面上动点M到定点的距离比M到直线的距离小1．（1）求动点M满足的轨迹方程C﹔（2）若A，B是（1）中方程C表示的曲线上的两点，且（O为坐标原点）．试问直线是否经过定点，并说明理由．10．设抛物线：（）的焦点为，点是抛物线上一点，且．（1）求抛物线的方程；（2）设直线与抛物线交于，两点，若，求证：线段的垂直平分线过定点．11．已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且.（1）求抛物线的方程；（2）已知斜率存在的直线与抛物线交于，两点，若直线，的倾斜角互补，则直线是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由.12．在直角坐标系xOy中，已知一动圆经过点，且在y轴上截得的弦长为6，设动圆圆心的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点作相互垂直的两条直线，，直线与曲线C相交于A，B两点，直线与曲线C相交于E，F两点，线段AB，EF的中点分别为M、N，求证：直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标.   
参考答案1．（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）根据焦点，求得点，的坐标，然后由求解；（2）易知直线的斜率存在，记为，设直线，与联立， 由，，结合，由    求解.【解析】（1）因为焦点，所以点，的坐标分别为，.所以，故.故抛物线的方程为.（2）由题设，，易知直线的斜率存在，记为，则设直线，与联立得，得，，则，，，.又知，，，，解得，所以直线，恒过定点.【点评】 定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．2．（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）把已知条件用坐标表示，并化简即得的方程；（2）设，，，利用导数得出切线的方程，由在切线上，从而可得直线的方程，由直线方程可得定点坐标．【解析】（1）设，则，，，，所以，可以化为，化简得．所以，的方程为．（2）由题设可设，，，由题意知切线，的斜率都存在，由，得，则，所以，直线的方程为，即，①因为在上，所以，即，②将②代入①得，所以直线的方程为同理可得直线的方程为．因为在直线上，所以，又在直线上，所以，所以直线的方程为，故直线过定点．【点评】 本题考查直接法求动点轨迹方程，考查抛物线中的直线过定点问题，解题方法是设出切线坐标，由导数的几何意义写出切线方程，再由在切线上，根据直线方程的意义得出直线方程，然后得定点坐标．3．（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）先判断直线：过定点，由垂径定理表示出，当时，当最大时，最小，求出PQ斜率m，得到直线方程；（2）联立方程组表示出点M、N，进而表示出直线MN的方程，利用点斜式方程说明直线过定点.【解析】 （1）由题意得直线：过定点，由得.因为，所以点在圆内.设圆心到直线的距离为，，当最大时，最小，此时，所以，此时直线的方程为.（2）证明：因为抛物线过圆的圆心，所以，解得，所以抛物线的方程为.由直线的方程为，可得直线：，且过定点，由可得直线：，联立，消整理得.设点，，则，所以，则，即点，同理得点，当时，直线的斜率，则直线的方程为，即，所以直线的方程为，即直线恒过定点；当时，，，直线的方程为，也过定点.综上，直线恒过定点.【点评】证明直线过定点，通常有两类：（1）直线方程整理为斜截式y=kx+b，过定点(0,b)；（2）直线方程整理为点斜式y - yo=k(x- x0)，过定点(x0,y0) ．4．（1）；（2）过定点.【分析】（1）根据已知条件求出的值，可得出抛物线的方程；（2）设直线的方程，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由得出，代入韦达定理可得出、所满足的关系式，由此可得出直线所过定点的坐标.【解析】（1）把椭圆的方程化为标准方程是，椭圆的左、右顶点分别为、，依题意，解得，所以抛物线的方程为；（2）若直线与轴垂直，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.设直线的方程为，与抛物线方程联立并化简得.则，可得，设、，则，.因为，，同理可得，所以，，所以，，显然且，所以，，所以，，所以，直线的方程为，即，因此，直线过定点.【点评】 求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.5．（1）；（2）直线过定点，定点坐标为，证明见解析.【分析】（1）联立直线方程和抛物线方程，求出交点的坐标后利用弦长公式可求的值，从而可求抛物线的方程.（2）设直线的方程为，联立直线方程和抛物线方程，消去后利用韦达定理化简斜率之和，从而可得，故可求定点坐标.我们也可以设，，用坐标表示斜率之和，再用该两点的坐标表示直线，化简后可得直线过定点.【解析】（1）由解得，，因为直线被抛物线截得的弦长为，所以，，解得，所以抛物线的方程为.（2）法一：  设直线的方程为，，，由得，所以，，因为点，且直线，的斜率之和为4，所以，而，，化简得，所以，即，所以直线的方程为，所以直线过定点，定点坐标为.法二： 设，，因为点，且直线，的斜率之和为4，所以，即，①当时，直线的方程为即，所以直线过定点，定点坐标为；②当时，，所以，不满足题意.所以直线过定点，定点坐标为.【点评】直线与抛物线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题，也可以设出交点坐标，用交点坐标表示目标代数式，从而解决定点、定值、最值问题.6．（1）；（2）证明见解析，定点为.【分析】（1）根据抛物线的性质即可得到，，解得即可；（2）设，，，．由题意，可设直线的方程为，由根与系数的关系．得，，再根据，，三点共线，化简整理可得．即可求出直线过定点．【解析】（1） 根据题意知，，①因为，所以．②． 联立①②解的，． 所以的方程为． （2）证明：设，，，．由题意，可设直线的方程为，代入，得．由根与系数的关系．得，．③由轴及点在直线上，得，，则由，，三点共线，得， 整理，得．将③代入上式并整理，得． 由点的任意性，得，所以．即直线恒过定点．【点评】 证明直线过定点，一般有两种方法.（1）特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.（2）分离参数法：一般可以根据需要选定参数，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式，（一般地，为关于的二元一次关系式）由上述原理可得方程组，从而求得该定点.7．（1）证明见解析；（2）直线恒过定点．【分析】（1）设切点，，求出导数，由此可得切线斜率，得切线方程，同时设，代入切线方程并整理，同理得方程，从而可得是方程的两根，利用韦达定理得，求出点横坐标可证得结论；（2）利用（1）再求得点纵坐标，由两点坐标求得直线的斜率，然后得出直线方程后可得定点坐标．【解析】（1）设切点，，，∴切线的斜率为，切线，设，则有，化简得，同理可的∴，是方程的两根，∴，，，∴轴.（2）∵，∴..，∴直线，即，∴直线过定点.【点评】本题考查直线与抛物线相交问题，考查导数的几何意义，方法是设切点，，设动点坐标，把点坐标代入两切线方程得出是一元二次方程的根，利用韦达定理得出，这样可得中点坐标，由中点坐标写出直线方程可得定点坐标．是设而不求思想的运用．8．（1）；（2）证明见解析，定点为.【分析】（1）设点，，，由可得出，由，可得出，，代入化间可得出动点的轨迹的方程；（2）设直线的方程为，设点、，联立直线与曲线的方程，列出韦达定理，由可求得的值，可得出直线的方程，进而可得出直线所过定点的坐标.【解析】（1）设、、，则，，，，，.由，得，且点、均不在轴上，故，且，.由，得，即.由，得，即.所以，所以动点的轨迹的方程为：；（2）若直线的斜率为零时，则直线与曲线至多只有一个公共点，不合乎题意.可设直线的方程为.由，得.设、，则，.，，解得，所以，直线的方程为，即直线恒过定点.【点评】 直线过定点：根据题中条件确定直线方程中的与、所满足的等量关系或等式，然后再代入直线方程，即可确定直线所过定点的坐标9．（1）；（2）直线经过定点，证明见解析.【分析】（1）利用抛物线的定义可得动点M满足的轨迹方程C﹔（2）设直线的方程为：，则直线的方程为：，联立直线与抛物线方程解出交点坐标，进而可得直线的方程，可得直线经过的定点坐标．【解析】（1）由题意易得：点M到定点的距离等于点M到直线的距离由抛物线定义可得：动点M满足的轨迹方程C为．（2）设直线的方程为：，则直线的方程为：．联立方程可得，同理可得：．∴直线的方程为即．特别的，当或时，点A与点B的横坐标都是4．综上可知，直线经过定点．【点评】 本题考查抛物线的定义的应用，考查直线与抛物线的位置关系，解决本题的关键点是设出直线和的方程，分别与抛物线联立解出交点坐标，即可写出直线的方程，进而得出定点坐标，考查了学生计算能力，属于中档题．10．（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由条件可得，解出即可；（2）当直线的斜率存在时，设，，联立直线与抛物线的方程联立消元，然后韦达定理可得，由可得，然后表示出线段的垂直平分线方程可得答案.【解析】（1）由抛物线的焦半径公式可得，解得即抛物线的方程为（2）当直线的斜率存在时，设，由可得所以，，即因为，所以，所以所以线段的中点坐标为所以线段的垂直平分线方程为，即，所以过定点当直线的斜率不存在时也满足综上：线段的垂直平分线过定点【点评】 定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意.11．（1）；（2）过定点，定点为.【分析】(1)根据抛物线的定义可知,求出后可得抛物线方程.(2) 设直线的方程为，设，，由条件可得，化简即得，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理代入可得，从而得出答案.【解析】（1）根据抛物线的定义，，抛物线的方程为，（2）设直线的方程为，设，，直线与抛物线的方程联立得，，,则，，又，即，，，即，整理得：，所以直线的方程为，即直线经过定点.【点评】关键点睛：本题考查求抛物线的方程和直线与抛物线的位置关系，考查直线过定点问题，解答本题的关键是由，得到，然后由方程联立韦达定理代入，属于中档题.12．（1）；（2）证明见解析，.【分析】（1）设圆心，然后根据条件建立方程求解即可；（2）设直线的方程为，然后算出，，然后表示出直线的方程即可.【解析】（1）设圆心，由题意得，即所以曲线C的方程为（2）由题意可知，直线的斜率均存在，设直线的方程为，，联立方程组得，所以，因为点M是线段AB的中点，所以同理，将换成得，当，即时所以直线MN的方程为即，所以直线MN恒过定点当时，直线MN的方程为，也过点所以直线MN恒过定点【点评】 定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意.