人教版新课标A必修5第二章 数列综合与测试课时练习

这是一份人教版新课标A必修5第二章 数列综合与测试课时练习，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年高中数学必修5《解三角形应用举例》精选练习一、选择题1.如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向进行海上巡逻，当航行半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若船C位于A的北偏东30°方向上，则缉私艇所在的B处与船C的距离是(　　)A.5(＋)km         B.5(－)kmC.10(－)km         D.10(＋)km2.如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km).AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，且∠B与∠D互补，则AC的长为(　　)A.7 km         B.8 km        C.9 km         D.6 km3.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是(　　)A.50 m         B.100 m      C.120 m         D.150 m4.已知在△ABC中，D是AC边上的点，且AB=AD，BD=AD，BC=2AD，则sin C的值为(　　)A.        B.         C.        D.  5.为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积是(　 　)A. km2      B. km2        C. km2      D. km26.如图所示为起重机装置示意图．支杆BC=10 m，吊杆AC=15 m，吊索AB=5 m，起吊的货物与岸的距离AD为(　　)A．30 m           B. m           C．15 m           D．45 m7.如图，一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处．C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东60°，那么B，C两点间的距离是(　　)A．10海里       B．10海里       C．20海里        D．20海里8.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于(　　)A．240(－1)m           B．180(－1)mC．120(－1)m           D．30(＋1)m9.如图所示，一座建筑物AB的高为(30－10)m，在该建筑物的正东方向有一座通信塔CD.在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为(　 　)A.30 m         B.60 m        C.30 m       D.40 m10.如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于(　　)A.5         B.15           C.5         D.1511.在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，则A的取值范围是(　　)A.        B.     C.        D.12.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin C－cos C=1－cos ，若△ABC的面积S=(a＋b)sin C=，则△ABC的周长为(　　)A.2＋5        B.＋5      C.2＋3        D.＋3二、填空题13.如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠BDA=60°，∠BCD=135°，则BC的长为________.14.如图，在四边形ABCD中，△ABD，△BCD分别是以AD和BD为底的等腰三角形，其中AD=1，BC=4，∠ADB=∠CDB，则BD=________，AC=________.15.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分.  16.如图，在四边形ABCD中，△ABD，△BCD分别是以AD和BD为底的等腰三角形，其中AD=1，BC=4，∠ADB=∠CDB，则BD=________，AC=________.三、解答题17.在某海域A处正东方向相距80海里的B处有一艘客轮遇险，在原地等待救援.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距40海里的C处的救援船，救援船立即朝北偏东θ角的方向沿直线CB前往B处救援.(1)若救援船的航行速度为60海里/小时，求救援船到达客轮遇险位置的时间；(2)求tan θ的值.      18.如图所示，在△ABC中，C=，·=48，点D在BC边上，且AD=5，cos∠ADB=.(1)求AC，CD的长；(2)求cos∠BAD的值.        19.在某海域A处正东方向相距80海里的B处有一艘客轮遇险，在原地等待救援．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距40海里的C处的救援船，救援船立即朝北偏东θ角的方向沿直线CB前往B处救援．(1)若救援船的航行速度为60海里/小时，求救援船到达客轮遇险位置的时间；(2)求tan θ的值．         20.如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，满足AD⊥AC，cos∠BAC=－，AB=3，BD=．(1)求AD的长；(2)求△ABC的面积．            21.如下图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5 km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD(精确到1 m)．     22.我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面C和D处，已知CD=6 km，∠ACD=45°，∠ADC=75°，目标出现于地面点B处时，测得∠BCD=30°，∠BDC=15°(如图所示)，求我炮兵阵地到目标的距离．      23.如图所示，港口B在港口O正东方向120海里处，小岛C在港口O北偏东60°方向，且在港口B北偏西30°方向上．一艘科学家考察船从港口O出发，沿北偏东30°的OA方向以20海里/时的速度行驶，一艘快艇从港口B出发，以60海里/时的速度驶向小岛C，在C岛装运补给物资后给考察船送去．现两船同时出发，补给物资的装船时间为1小时，则快艇驶离港口B后，最少要经过多少小时才能和考察船相遇？
0.答案解析1.答案为：C；解析：由题意知∠BAC=60°－30°=30°，∠CBA=30°＋45°=75°，所以∠ACB=180°－30°－75°=75°，故AC=AB，因为AB=40×=20，所以AC=AB=20.在△ABC中，由余弦定理得，BC2=AC2＋AB2－2AC·ABcos∠CAB=400＋400－2×20×20cos 30°=400(2－)，故BC===10(－).2.答案为：A；解析：在△ACD中，由余弦定理得：cos D==.在△ABC中，由余弦定理得：cos B==.因为∠B＋∠D=180°，所以cos B＋cos D=0，即＋=0，解得AC=7.3.答案为：A；解析：作出示意图如图所示，设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A=60°，AC=h，AB=100，在Rt△BCD中，BC=h，根据余弦定理得，(h)2=h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000=0，即(h－50)(h＋100)=0，即h=50，故水柱的高度是50 m.4.答案为：A；解析：设AB=AD=2a，则BD=a，则BC=4a，所以cos∠ADB===，所以cos∠BDC==－，整理得CD2＋3aCD－10a2=0，解得CD=2a或者CD=－5a(舍去).故cos C===，而C∈，故sin C=.故选A.5.答案为：D.解析：连接AC，根据余弦定理可得AC= km，故△ABC为直角三角形.且∠ACB=90°，∠BAC=30°，故△ADC为等腰三角形，设AD=DC=x km，根据余弦定理得x2＋x2＋x2=3，即x2==3×(2－)，所以所求的面积为×1×＋×3×(2－)×==(km2).6.答案为：B；解析：在△ABC中，cos ∠ABC==，∠ABC∈(0°，180°)，所以sin∠ABC= =，所以在Rt△ABD中，AD=AB·sin∠ABC=5×= (m)．7.答案为：A；解析：由题目条件，知AB=20海里，∠CAB=30°，∠ABC=105°，所以∠ACB=45°.由正弦定理，得=，所以BC=10海里，故选A.8.答案为：C；解析：∵tan 15°=tan(60°－45°)==2－，∴BC=60tan 60°－60tan 15°=120(－1)(m)，故选C.9.答案为：B；解析：在Rt△ABM中，AM====20(m).过点A作AN⊥CD于点N，如图所示.易知∠MAN=∠AMB=15°，所以∠MAC=30°＋15°=45°.又∠AMC=180°－15°－60°=105°，所以∠ACM=30°.在△AMC中，由正弦定理得=，解得MC=40(m).在Rt△CMD中，CD=40×sin60°=60(m)，故通信塔CD的高为60 m.10.答案为：D；解析：在△BCD中，∠CBD=180°－15°－30°=135°.由正弦定理得=，所以BC=15.在Rt△ABC中，AB=BCtan∠ACB=15×=15.11.答案为：C；解析：由正弦定理及sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C可得a2≤b2＋c2－bc，即b2＋c2－a2≥bc，由余弦定理可得cos A=≥=，又0<A<π，所以0<A≤.故A的取值范围是.故选C.12.答案为：D；解析：由sin C－cos C=1－cos ⇒2sin cos －=1－cos ⇒cos 2cos －2sin －1=0，∵cos ≠0，∴sin －cos =－，两边平方得sin C=，由sin －cos =－可得sin <cos ，∴0<<，即0<C<，由sin C=得cos C=.又S=absin C=(a＋b)sin C=，∴a＋b=ab=4，∴a=b=2，再根据余弦定理可得c2=a2＋b2－2abcos C=8－2，解得c=－1，故△ABC的周长为＋3，故选D.13.答案为：8解析：在△ABD中，设BD=x，则BA2=BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，即142=x2＋102－2·10x·cos 60°，整理得x2－10x－96=0，解得x1=16，x2=－6(舍去).在△BCD中，由正弦定理：=，所以BC=·sin 30°=8.14.答案为：2，2.解析：设∠ADB=∠CDB=θ，在△ABD内，BD=；在△CBD内，BD=8cos θ.故=8 cos θ，所以cos θ=，BD=2，cos 2θ=2cos2θ－1=－.在△ACD中，由余弦定理可得AC2=AD2＋CD2－2AD·CDcos 2θ=24，AC=2.15.答案为：.解析：由已知得∠ACB=45°，∠B=60°，由正弦定理得=，所以AC===10，所以海轮航行的速度为=(海里/分).16.答案为：2，2；解析：设∠ADB=∠CDB=θ，在△ABD内，BD=；在△CBD内，BD=8cos θ.故=8 cos θ，所以cos θ=，BD=2，cos 2θ=2cos2θ－1=－.在△ACD中，由余弦定理可得AC2=AD2＋CD2－2AD·CDcos 2θ=24，AC=2.17.解：(1)在题图中的△ABC中，AB=80，AC=40，∠BAC=120°，由余弦定理可知：BC2=AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°，即BC2=802＋402－2·80·40·(- )=11 200，故BC=40，故救援船到达客轮遇险位置所需时间为=小时.(2)在△ABC中，由正弦定理可得=⇒sin∠ACB=sin∠BAC=，显然∠ACB为锐角，故cos∠ACB=，tan∠ACB=，而θ=∠ACB＋30°.故tan θ=tan(∠ACB＋30°)==.18.解：(1)在△ABD中，∵cos∠ADB=，∴sin∠ADB=.∴sin∠CAD=sin(∠ADB－∠ACD)=sin∠ADBcos－cos∠ADBsin=×－×=.在△ADC中，由正弦定理得==，即==，解得AC=8，CD=.(2)∵·=48，∴8·CB·=48，解得CB=6，∴BD=CB－CD=5.在△ABC中，AB==2.在△ABD中，cos∠BAD==.19.解：(1)在题图中的△ABC中，AB=80，AC=40，∠BAC=120°，由余弦定理可知：BC2=AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°，即BC2=802＋402－2·80·40·=11 200，故BC=40，故救援船到达客轮遇险位置所需时间为=小时．(2)在△ABC中，由正弦定理可得=⇒sin∠ACB=sin∠BAC=，显然∠ACB为锐角，故cos∠ACB=，tan∠ACB=，而θ=∠ACB＋30°.故tan θ=tan(∠ACB＋30°)==.20.解：(1)因为AD⊥AC，cos∠BAC=－，且∠BAC∈(0，π)，所以sin∠BAC=．又sin∠BAC=sin＋∠BAD=cos∠BAD=，在△ABD中，BD2=AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，即AD2－8AD＋15=0，解得AD=5或AD=3，由于AB>AD，所以AD=3．(2)在△ABD中，=，又由cos∠BAD=，得sin∠BAD=，所以sin∠ADB=，则sin∠ADC=sin(π－∠ADB)=sin∠ADB=．因为∠ADB=∠DAC＋∠C=＋∠C，所以cosC=．在Rt△ADC中，cosC=，则tanC===，所以AC=3．则△ABC的面积S=AB·AC·sin∠BAC=×3×3×=6．21.解：在△ABC中，∠A=15°，∠C=25°－15°=10°，根据正弦定理，=，BC==≈7.452 4(km)．CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan 8°≈1 047(m)．22.解：在△ACD中，∠CAD=180°－∠ACD－∠ADC=60°，∠ACD=45°，根据正弦定理，有AD==CD，同理：在△BCD中，∠CBD=180°－∠BCD－∠BDC=135°，∠BCD=30°，根据正弦定理，有BD==CD，在△ABD中，∠ABD=∠ADC＋∠BDC=90°，根据勾股定理，有AB==CD=CD=(km)，所以我炮兵阵地到目标的距离为 km.23.解：设快艇驶离港口B后，经过x小时，在OA上的点D处与考察船相遇．如图所示，连接CD，则快艇沿线段BC，CD航行．在△OBC中，由题意易得∠BOC=30°，∠CBO=60°，因为BO=120，所以BC=60，OC=60.故快艇从港口B到小岛C需要1小时，所以x>1.在△OCD中，由题意易得∠COD=30°，OD=20x，CD=60(x－2)．由余弦定理，得CD2=OD2＋OC2－2OD·OCcos∠COD，所以602(x－2)2=(20x)2＋(60)2－2×20x×60×cos 30°.解得x=3或x=，因为x>1，所以x=3.所以快艇驶离港口B后，至少要经过3小时才能和考察船相遇．