人教版新课标A选修1-12.2双曲线习题

2021年高中数学选修《椭圆综合》同步精选

一、选择题

1.若直线y=x＋2与椭圆＋=1有两个公共点，则m的取值范围是(　　)

A. (－∞，0)∪(1，＋∞)      B. (1,3)∪(3，＋∞)

C. (－∞，－3)∪(－3,0)      D. (1,3)

2.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|=|OF|且|PF|=6，则椭圆C的方程为(　　)

A.＋=1        B.＋=1     C.＋=1        D.＋=1

3.如图所示，A、B、C分别为椭圆＋=1(a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC=90°，

则该椭圆的离心率为(　　)

A.         B.1－       C.－1         D.

4.已知P是椭圆＋=1(a>b>0)上的一动点，且P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为－，则椭圆的离心率为(　　)

A.         B.         C.         D.

5.已知椭圆＋=1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，

直线AB交y轴于点P.若=2，则椭圆的离心率是(　　)

A.          B.       C.          D.

6.设椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，

∠PF1F2=30°，则C的离心率为(　　)

A.        B.           C.        D.

7.已知点F1，F2分别为椭圆C：＋=1的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且∠F1PF2=60°，则|PF1|·|PF2|=(　 　)

A.4         B.6        C.8         D.12

8.已知椭圆＋=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1内切圆的半径为(　  　)

A.         B.1         C.           D.

二、填空题

9.若直线y=2x＋b与椭圆＋y2=1无公共点，则b的取值范围为________.

10.过椭圆＋=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为________.

11.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋=1(a>b>0)的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是________．

12.已知椭圆＋=1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5=0，弦的中点坐标是

M(－4,1)，则椭圆的离心率是        .

三、解答题

13.已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)经过点(，1)，且离心率为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设M，N是椭圆上的点，直线OM与ON(O为坐标原点)的斜率之积为－.

若动点P满足=＋2，求点P的轨迹方程.

14.分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．

(1)与椭圆＋=1有相同的离心率且经过点(2，－)；

(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5，3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．

15.已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，且椭圆C过点P(1,).

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若与直线OP(O为坐标原点)平行的直线交椭圆C于A，B两点，当OA⊥OB时，

求△AOB的面积.

16.已知点A(0，－2)，椭圆E：＋=1(a＞b＞0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.

(1)求E的方程；

(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.

0.答案解析

1.答案为：B

解析：本题考查直线与椭圆的位置关系.由消去y，

整理得(3＋m)x2＋4mx＋m=0.若直线与椭圆有两个公共点，

则解得

由＋=1表示椭圆知，m>0且m≠3.综上可知，m的取值范围是m>1且m≠3，故选B.

2.答案为：C；

解析：由题意可得c=5，设右焦点为F′，连接PF′，由|OP|=|OF|=|OF′|知，

∠PFF′=∠FPO，∠OF′P=∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P=∠FPO＋∠OPF′，

∴∠FPO＋∠OPF′=90°，即PF⊥PF′.

在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|===8，

由椭圆定义，得|PF|＋|PF′|=2a=6＋8=14，从而a=7，得a2=49，

于是b2=a2－c2=72－52=24，所以椭圆C的方程为＋=1，故选C.

3.答案为：A

解析：由(a＋c)2=a2＋2b2＋c2，∵b2=a2－c2，∴c2＋ac－a2=0，

∵e=，∴e2＋e－1=0，∴e=.

4.答案为：B.

解析：设P(x0，y0)，则·=－，化简得＋=1，

又P在椭圆上，所以＋=1，所以a2=2b2，故e=.

5.答案为：D；

解析：∵=2，∴||=2||.

又∵PO∥BF，∴==，即=，∴e==.

6.答案为：D

解析：在Rt△PF2F1中，令|PF2|=1，因为∠PF1F2=30°，所以|PF1|=2，|F1F2|=.

故e===.故选D.

7.答案为：A.

解析：由|PF1|＋|PF2|=4，

|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°=|F1F2|2，得3|PF1|·|PF2|=12，

所以|PF1|·|PF2|=4，故选A.

8.答案为：D；

解析：不妨设A点在B点上方，

由题意知，F2(1,0)，将F2的横坐标代入椭圆方程＋=1中，

可得A点纵坐标为，故|AB|=3，

所以内切圆半径r===(其中S为△ABF1的面积，C为△ABF1的周长)，故选D.

9.答案为：(－∞，－)∪(，＋∞).

解析：由得＋(2x＋b)2=1.

整理得17x2＋16bx＋4b2－4=0.Δ=(16b)2－4×17(4b2－4)<0，

解得b>或b<－.

10.答案为：.

解析：本题主要考查椭圆的离心率.由题意，△PF1F2为直角三角形，且∠F1PF2=60°，

所以|PF2|=2|PF1|.设|PF1|=x，则|PF2|=2x，|F1F2|=x，

又|F1F2|=2c，所以x=.即|PF1|=，|PF2|=.

由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|=2a，所以＋=2a，即e==.

11.答案为：；

解析：由已知条件易得B，C，F(c，0)，

∴=c＋a，－，=c－a，－，由∠BFC=90°，可得·=0，

所以＋2=0，c2－a2＋b2=0，

即4c2－3a2＋(a2－c2)=0，亦即3c2=2a2，所以=，则e==．

12.答案为：.

解析：设直线x－y＋5=0与椭圆＋=1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，

因为AB的中点M(－4,1)，所以x1＋x2=－8，y1＋y2=2.易知直线AB的斜率k==1.

由两式相减得，＋=0，

所以=－·，所以－=，于是椭圆的离心率e===.

13.解：(1)因为e=，所以=，

又椭圆C经过点(，1)，所以＋=1，

解得a2=4，b2=2，

所以椭圆C的方程为＋=1.

(2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由=＋2得x=x1＋2x2，y=y1＋2y2，

因为点M，N在椭圆＋=1上，

所以x＋2y=4，x＋2y=4，

故x2＋2y2=(x＋4x1x2＋4x)＋2(y＋4y1y2＋4y)

=(x＋2y)＋4(x＋2y)＋4(x1x2＋2y1y2)

=20＋4(x1x2＋2y1y2).

设kOM，kON分别为直线OM与ON的斜率，由题意知，

kOM·kON==－，因此x1x2＋2y1y2=0，

所以x2＋2y2=20，

故点P的轨迹方程为＋=1.

14.解：

(1)由题意，设所求椭圆的方程为＋=t1或＋=t2(t1，t2＞0)，

因为椭圆过点(2，－)，所以t1=＋=2，或t2=＋=.

故所求椭圆的标准方程为＋=1或＋=1.

(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为＋=1(a＞b＞0)或＋=1(a＞b＞0)，

由已知条件得解得a=4，c=2，所以b2=12.

故椭圆方程为＋=1或＋=1.

15.解：(1)设椭圆C的方程为＋=1(a>b>0)，

由题意可得解得

故椭圆C的方程为＋y2=1.

(2)直线OP的方程为y=x，设直线AB的方程为y=x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2).

将直线AB的方程代入椭圆C的方程并整理得x2＋mx＋m2－1=0，

由Δ=3m2－4(m2－1)>0，得m2<4，

由OA⊥OB，得·=0，·=x1x2＋y1y2

=x1x2＋x2＋mx1＋m=x1x2＋m(x1＋x2)＋m2

=(m2－1)＋m·(－m)＋m2=m2－=0，得m2=.

又|AB|==·，

O到直线AB的距离d==.

所以S△AOB=|AB|·d=×××=.

16.解：(1)设F(c,0)，由条件知，=，得c=.

又=，所以a=2，b2=a2－c2=1.故E的方程为＋y2=1.

(2)当l⊥x轴时不合题意，

故设l：y=kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2).

将y=kx－2代入＋y2=1得(1＋4k2)x2－16kx＋12=0.

当Δ=16(4k2－3)＞0，即k2＞时，x1,2=.

从而|PQ|=|x1－x2|=.

又点O到直线PQ的距离d=，

所以△OPQ的面积S△OPQ=d·|PQ|=.

设=t，则t＞0，S△OPQ==.

因为t＋≥4，当且仅当t=2，即k=±时等号成立，且满足Δ＞0，

所以，当△OPQ的面积最大时，l的方程为y=x－2或y=－x－2.