江苏省苏州市姑苏区振华中学2021-2022学年九年级上学期10月月考数学【试卷+答案】

这是一份江苏省苏州市姑苏区振华中学2021-2022学年九年级上学期10月月考数学【试卷+答案】，共18页。
A.1，3，- 1B.1， - 3， - 1C. - 1， - 3， - 1D.1，3，1
2．x2﹣6x＝1，左边配成一个完全平方式得（ ）
A．（x﹣3）2＝10B．（x﹣3）2＝9C．（x﹣6）2＝8D．（x﹣6）2＝10
3．一元二次方程x2 - 4x + 5 = 0的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
4．抛物线y = 3(x – 1)2 + 1的顶点坐标是（ ）
A.（ - 1， - 1）B.（ - 1，1）C.（1，1）D.（1， - 1）
5．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝2x2的图象向上平移5个单位，所得图象的解析式为（ ）
A．y＝2x2﹣5B．y＝2x2+5C．y＝2（x﹣5）2D．y＝2（x+5）2
6．如表给出了二次函数y＝x2+2x﹣10中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣10＝0的一个近似解为（ ）
A．2.2B．2.3C．2.4D．2.5
7．某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（ ）
A．100（1+x）2＝280 B．100（1+x）+100（1+x）2＝280
C．100（1﹣x）2＝280 D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝280
8．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝ax+2b（ab≠0）的图象大致如图（ ）
A． B．C． D．
9．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标A（﹣1，3），与x轴的一个交点B（﹣4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a﹣b＝0；
②abc＜0；
③抛物线与x轴的另一个交点坐标是（3，0）；
④方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个相等的实数根；
⑤当﹣4＜x＜﹣1时，则y2＜y1．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③⑤C．①④⑤D．②③④
10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD+PC的最小值是（ ）
A．4 B．2+2C．2D．
二．填空题
11．一元二次方程x2＝4的解是 ．
12．关于x的方程（m - 2） + （2 m + 1）x - m = 0是一元二次方程，则m的值为 ．
13．设α、β是方程x2+x﹣2011＝0的两个实数根，则α2+2α+β的值为 ．
14．点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 ．
15．若二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x＝﹣1，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是 ．
16．已知抛物线y＝2x2﹣4x+5，将该抛物线沿x轴翻折后的新抛物线的解析式为 ．
17．抛物线y =- x2 + bx + c经过点A（4，0）、B（1，0）两点，点C为抛物线与y轴的交点，点D是直线AC上方的抛物线上一点，则DCA面积的最大值是 _________ .
18．在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个完美点（，），且当0≤x≤m时，函数y＝ax2+4x+c﹣（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是_______ .
三．解答题
19．解方程:（1）x2 + 3x - 1 = 0（2）x2 - 5x + 6 = 0
（3）x（x + 3） = 7（x + 3）（4）（x+1）2 = 3（x + 1） + 10
20．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3过点A（1，0）和B（2，﹣1）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
（3）当0≤x≤6时，试求二次函数y的取值范围.
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，5）．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）连接AC、BC，求△ABC的面积．
22．已知x2+（a+3）x+a+1＝0是关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x12+x22＝10，求实数a的值．
23．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，AB＝2，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）根据图象，直接写出不等式x2+bx+c＞0的解集：
（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为：
24．某商店进了一批服装，每件成本50元，如果按每件60元出售，可销售800件，如果每件提价5元出售，其销量将减少100件．
（1）求售价为70元时的销量及销售利润；
（2）如果商店销售这批服装想获利12000元，那么这批服装的定价是多少元？
25．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8）．动点M、N分别从O、B同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，已知动点运动了t秒．
（1）当t＝2秒时，则点N的坐标 ；（直接写出答案）
（2）当△APM的面积为时，求t的值；
（3）是否存在t的值，使以P、A、M为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求t的值；若不存在，请说明理由．
26．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A，交y轴于点B，已知经过点A，B的直线的表达式为y＝x+3．
（1）求抛物线的函数表达式及其顶点C的坐标；
（2）如图①，点P（m，0）是线段AO上的一个动点，其中﹣3＜m＜0，作直线DP⊥x轴，交直线AB于D，交抛物线于E，作EF∥x轴，交直线AB于点F，四边形DEFG为矩形．设矩形DEFG的周长为L，写出L与m的函数关系式，并求m为何值时周长L最大；
（3）如图②，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使点A，B，Q构成的三角形是以AB为腰的等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【分析】先把方程化为一般式，然后确定a、b、c的值．
【解答】解：方程化为一般式为x2+3x﹣1＝0，
所以a＝1，b＝3，c＝﹣1．
故选：B．
2．【分析】给方程左右两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，即可得到正确的选项．
【解答】解：x2﹣6x＝1，
方程左右两边都加上9得：x2﹣6x+9＝10，即（x﹣3）2＝10．
故选：A．
3．【分析】把a＝1，b＝﹣4，c＝﹣5代入判别式Δ＝b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断根的情况．
【解答】解：原方程化为x2﹣4x﹣5＝0，
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣5，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣5）＝36＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
4．【分析】直接由抛物线解析式可求得答案．
【解答】解：∵y＝3（x﹣1）2+1，
∴抛物线顶点坐标为（1，1），
故选：C．
5．【分析】根据函数图象平移规律，可得答案．
【解答】解：将二次函数y＝2x2的图象向上平移5个单位，所得图象的解析式为将二次函数y＝2x2+5，
故选：B．
6．【分析】根据函数值，可得一元二次方程的近似根．
【解答】解：如图：
x＝2.3，y＝﹣0.11，x＝2.4，y＝0.56，x2+2x﹣10＝0的一个近似根是2.3．
故选：B．
7．【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设二、三月份每月的平均增长率为x，根据“计划二、三月份共生产280台”，即可列出方程．
【解答】解：设二、三月份每月的平均增长率为x，
则二月份生产机器为：100（1+x），
三月份生产机器为：100（1+x）2；
又知二、三月份共生产280台；
所以，可列方程：100（1+x）+100（1+x）2＝280．
故选：B．
8．【分析】根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；
C、由抛物线可知a＞0，b＜0，由直线可知a＞0，b＞0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项错误．
故选：B．
9．【分析】根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，于是可对②进行判断；根据抛物线的对称性对③进行判断；根据顶点坐标对④进行判断；根据函数图象得当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断．
【解答】解：∵抛物线的顶点坐标A（﹣1，3），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴2a﹣b＝0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b＝2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，所以②错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣4，0）
而抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），所以③错误；
∵抛物线的顶点坐标A（﹣1，3），
∴x＝﹣1时，二次函数有最大值，
∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，所以④正确；
∵抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n（m≠0）交于A（﹣1，3），B点（﹣4，0）
∴当﹣4＜x＜﹣1时，y2＜y1，所以⑤正确．
故选：C．
10．【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据PD+PC＝（PD+PC）＝（DP+PJ），求出DP+PJ的最小值即可解决问题．
【解答】解：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．
∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵D（0，1），
∴OD＝1，BD＝4，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
∴DH＝BD•sin45°＝2，
∵PJ⊥CB，
∴∠PJC＝90°，
∴PJ＝PC，
∴PD+PC＝（PD+PC）＝（DP+PJ），
∵DP+PJ≥DH，
∴DP+PJ≥2，
∴DP+PJ的最小值为2，
∴PD+PC的最小值为4．
故选：A．
二．填空题
11．【分析】利用直接开平方法，将方程两边直接开平方即可．
【解答】解；x2＝4，
两边直接开平方得：
x＝±2，
∴x1＝2，x2＝﹣2，
故答案为：x1＝2，x2＝﹣2．
12．【分析】根据一元二次方程的定义，列出关于m的一元二次方程和一元一次不等式，解之即可．
【解答】解：根据题意得：
m2﹣2＝2，
解得：m1＝2，m2＝﹣2，
m﹣2≠0，
解得：m≠2，
即m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
13．【分析】根据根与系数的关系以及一元二次方程的解可得出α+β＝﹣1、α2+α＝2017，将其代入α2+2α+β＝α2+α+α+β中即可求出结论．
【解答】解：∵α、β是方程x2+x﹣2017＝0的两个实数根，
∴α+β＝﹣1，α2+α＝2017，
∴α2+2α+β＝α2+α+α+β＝2017﹣1＝2016．
故答案为：2016．
14．【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x＝1，图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，可判断y1＝y2＞y3．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+c，
∴对称轴为x＝1，
P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∵3＜5，
∴y2＞y3，
根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，
故y1＝y2＞y3，
故答案为y1＝y2＞y3．
15．【分析】直接利用二次函数对称性得出图象与x轴的另一个交点，再画出图象，得出y＞0成立的x的取值范围．
【解答】解：如图所示：∵图象经过点（2，0），且其对称轴为x＝﹣1，
∴图象与x轴的另一个交点为：（﹣4，0），
则使函数值y＞0成立的x的取值范围是：﹣4＜x＜2．
故答案为：﹣4＜x＜2．
16．【分析】图象沿x轴的翻折后，顶点为（2，5），a＝﹣2即可求解．
【解答】解：抛物线y＝2x2﹣4x+5＝2（x﹣1）2+3，其顶点坐标是（1，3），将该抛物线沿x轴翻折后的新抛物线的顶点坐标是（1，﹣3），抛物线开口方向与原抛物线方向相反，所以新抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣3．
故答案是：y＝﹣2（x﹣1）2﹣3．
18．【分析】根据完美点的概念令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，由题意，△＝32﹣4ac＝0，即4ac＝9，方程的根为＝，从而求得a＝﹣1，c＝﹣，所以函数y＝ax2+4x+c﹣＝﹣x2+4x﹣3，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据y的取值，即可确定x的取值范围．
【解答】解：令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，
由题意，△＝32﹣4ac＝0，即4ac＝9，
又方程的根为＝，
解得a＝﹣1，c＝﹣，
故函数y＝ax2+4x+c﹣＝﹣x2+4x﹣3，
如图，该函数图象顶点为（2，1），与y轴交点为（0，﹣3），由对称性，该函数图象也经过点（4，﹣3）．
由于函数图象在对称轴x＝2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，
∴2≤m≤4．
三．解答题
19．
20．【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）利用配方将抛物线的一般式化成顶点式即可确定顶点和对称轴．
【解答】解：（1）把点A（1，0）和B（2，﹣1）代入y＝ax2+bx+3中，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴该抛物线的顶点为（2，﹣1），
对称轴为直线x＝2．
21．【分析】（1）由条件直接设出抛物线的顶点式y＝a（x﹣1）2+5，把C点的坐标代入解析式就可以求出a值，从而求出解析式．
（2）连接AC、BC，利用解析式求出A、B的坐标，从而求出AB的值，由三角形的面积公式就可以求出△ABC的面积．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+5，由题意，得
4＝a+5，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+5，
（2）连接AC、BC，如图．
∵抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+5，
∴y＝0时，则0＝﹣（x﹣1）2+5，
∴x1＝+1，x2＝﹣+1，
∴A（﹣+1，0），B（+1，0），
∴AB＝2．
∴S△ABC＝＝4．
22．【分析】（1）先计算判别式，再进行配方得到Δ＝（a+1）2+4，然后根据非负数的性质得到Δ＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣（a+3），x1x2＝a+1，再利用完全平方公式由x12+x22＝10得（x1+x2）2﹣2x1x2＝10，则（a+3）2﹣2（a+1）＝10，然后解关于a的方程即可．
【解答】（1）证明：Δ＝（a+3）2﹣4（a+1）
＝a2+6a+9﹣4a﹣4
＝a2+2a+5
＝（a+1）2+4，
∵（a+1）2≥0，
∴（a+1）2+4＞0，即Δ＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：根据题意得x1+x2＝﹣（a+3），x1x2＝a+1，
∵x12+x22＝10，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝10，
∴（a+3）2﹣2（a+1）＝10，
整理得a2+4a﹣3＝0，解得a1＝﹣2+，a2＝﹣2﹣，
即a的值为﹣2+或﹣2﹣．
23．【分析】（1）根据抛物线对称轴的定义易求A（1，0），B（3，0）．代入抛物线的解析式列方程组，解出即可求b、c的值；
（2）由图象得：即y＞0时，x＜1或x＞3；
（3）如图，点D是抛物线的顶点，所以根据抛物线解析式利用顶点坐标公式即可求得点D的坐标．
【解答】解：（1）如图，∵AB＝2，对称轴为直线x＝2．
∴点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，0）．
把A、B两点的坐标代入得：，解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3；
（2）由图象得：不等式x2+bx+c＞0，即y＞0时，x＜1或x＞3；
故答案为：x＜1或x＞3；
（3）y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点坐标为（2，﹣1），
当E、D点在x轴的上方，即DE∥AB，AE＝AB＝BD＝DE＝2，此时不合题意，
如图，根据“菱形ADBE的对角线互相垂直平分，抛物线的对称性”得到点D是抛物线y＝x2﹣4x+3的顶点坐标，即（2，﹣1），
故答案是：（2，﹣1）．
24．【分析】（1）用70﹣60的差除以5再乘以100 就可以求得减少的销量，用销量乘以每件的利润就可以求出总利润；
（2）设这批服装的定价为x元，运用（1）的方法表示出销量就可以表示出总利润从而建立方程求出其值．
【解答】解：（1）销量为：800﹣（70﹣60）÷5×100
＝800﹣200，
＝600；
销售利润为：600×（70﹣50），
＝12000
（2）这批服装的定价为x元，则每件利润为（x﹣50）元，销量为（800﹣×100）件，由题意，得
（x﹣50）（800﹣×100）＝12000，
解得：
x1＝70，x2＝80，
∴这批服装的定价是70元或80元．
25．【分析】（1）由A、B的坐标分别为（6，0），（6，8）可以求出OA＝6，AB＝8，BC＝6，由矩形的性质来求点N的坐标；
（2）根据三角形的面积公式可以得出S△MPA＝AM•EP建立方程求出其解即可；
（3）先假设以P、A、M为顶点的三角形与△AOC相似，再根据相似三角形的性质进行计算，若能求出t，则存在；否则不存在．
【解答】解：（1）如图，∵平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8），
∴OC＝AB＝8，OA＝BC＝6，BC∥AO．
又点N的运动速度是每秒1个单位，
∴当t＝2时，CN＝6﹣2＝4，
则N（4，8）．
故答案是：（4，8）．
（2）如图，延长NP交OA于点E，
∵NP⊥BC，
∴NP⊥OA．
∵tan∠OAC＝tan∠EAP，
∴＝，即＝，
∴PE＝AE．
∵AM＝6﹣t，PE＝AE＝AN＝t，
∴（6﹣t）•t＝，
∴t1＝1；t2＝5，
综上所述，当△APM的面积为时，t的值是1秒或5秒；
（3）存在．理由如下：
在△ACB中，PN∥AB，
则 ＝，
即＝，
解得AP＝t，
又∵AM＝6﹣t，
则有：①△AMP∽△AOC时，＝，即 ＝，解得t＝3秒；
②△APM∽△AOC时，＝，即＝，解得t＝秒，
综上所述，当t＝3秒或t＝秒时，以P、A、M为顶点的三角形与△AOC相似．
26．【分析】（1）根据直线y＝x+3求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得解析式，最后转化成顶点式即可；
（2）根据P的坐标求得D、E的坐标，然后根据E的坐标求得F的坐标，依次求得DE、EF的长，即可求得矩形的周长L与m的解析式，然后转化成顶点式即可；
（3）先根据A、B的坐标求得AB的长，然后依据题意应用勾股定理即可求得Q的纵坐标，进而求得Q的坐标；
【解答】解：（1）由经过点A，B的直线的表达式为y＝x+3．可知A（﹣3，0），B（0，3），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A，交y轴于点B，
∴，
解得：b＝﹣2，c＝3，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∵顶点C（﹣1，4）；
（2）如图①，∵直线DP⊥x轴，点P（m，0），
∴D（m，m+3），E（m，﹣m2﹣2m+3），F（﹣m2﹣2m，﹣m2﹣2m+3），
∴DE＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，EF＝﹣m2﹣2m﹣m＝﹣m2﹣3m，
∴L＝2DE+2EF＝2（﹣m2﹣3m）+2（﹣m2﹣3m）＝﹣4m2﹣12m，
即L＝﹣4m2﹣12m；
∵L＝﹣4m2﹣12m＝﹣4（m+）2+9，
∴当m＝﹣时，L有最大值；
（3）存在；
理由：如图②，∵A（﹣3，0），B（0，3），
∴AB＝＝＝3，
∵Q在直线x＝﹣1上，
∴设Q（﹣1，n），
∵点A，B，Q构成的三角形是以AB为腰的等腰三角形，
①以A为圆心，AB为半径画圆弧，与抛物线对成轴交于点Q1、Q2，如图②．
∵AQ＝AB＝3，
∴22+n2＝，
∴n＝，或n＝﹣，
所以Q1（﹣1，），Q2（﹣1，﹣）
②以B为圆心，AB为半径画圆弧，与抛物线对成轴交于点Q3、Q4，如图②．
∵BQ＝AB＝3，
∴12+（3﹣n）2＝
∴n＝3+，或n＝3﹣，
所以Q3（﹣1，3+），Q4（﹣1，3﹣）
综上，Q点的坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）．
x
…
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
…
y
…
﹣1.39
﹣0.76
﹣0.11
0.56
1.25
…