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2018-2019学年河南省驻马店市泌阳县八年级（上）期中数学试卷
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这是一份2018-2019学年河南省驻马店市泌阳县八年级（上）期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）四个数0，1，，中，无理数的是（ ）
A．B．1C．D．0
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣x2）3＝﹣x5B．x2+x3＝x5C．x3•x4＝x7D．2x3﹣x3＝1
3．（3分）数轴上表示1﹣的点到原点的距离是（ ）
A．1﹣B．﹣1C．1+D．
4．（3分）若（x﹣1）2＝（x+7）（x﹣7），则的平方根是（ ）
A．5B．±5C．D．±
5．（3分）如图所示，将四张全等的长方形硬纸片围成一个正方形，根据图形阴影部分面积的关系，可以直观地得到一个关于a、b的恒等式为（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4abD．a2+ab＝a（a+b）
6．（3分）举反例说明“x＞﹣5，则x2＞25”是假命题，下列正确的是（ ）
A．4＞﹣5，而42＜25B．6＞﹣5，则62＞25
C．7＞﹣5，则72＞25D．8＞﹣5，则82＞25
7．（3分）小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x□﹣4y2（“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
8．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，点D在AC上，BC＝BD，DE∥BC交AB于点E，则图中等腰三角形共有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
9．（3分）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，从①AB＝AE，②BC＝ED，③∠B＝∠E，④∠C＝∠D．这四个条件中再选一个使△ABC≌△AED，符合条件的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．（3分）任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）＝．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有F（18）＝＝．给出下列关于F（n）的说法：（1）F（2）＝；（2）F（24）＝；（3）F（27）＝3；（4）若n是一个完全平方数，则F（n）＝1．其中正确说法的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（每小题3分，共21分）
11．（3分）已知2m＝4n﹣1，27n＝3m﹣1，则n﹣m＝ ．
12．（3分）计算：已知：a+b＝3，ab＝1，则a2+b2＝ ．
13．（3分）若x2+kx+81是完全平方式，则k的值应是 ．
14．（3分）等腰三角形的周长是50cm，一条边长是12cm，则另两边长是 ．
15．（3分）规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]＝0，[3.14]＝3．按此规定，则[+]的值为 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别在BC，AC，AB上的点，且BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝α，则∠A的度数是 度．（用含α的代数式表示）
17．（3分）定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（2+i）+（3﹣5i）＝（2+3）+（1﹣5）i＝5﹣4i；
（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣i+2×i﹣i2＝2+（﹣1+2）i+1＝3+i；
根据以上信息，下列各式：
①i3＝1；②i4＝1；③（1+i）×（3﹣4i）＝﹣1﹣i；④i+i2+i3+i4+…+i2019＝﹣1，其中正确的是 （填上所有正确答案的序号）．
三、解答题（共69分）
18．（16分）计算：
（1）++；
（2）|1﹣|+|﹣|+|2﹣|；
（3）（3x﹣2y）（y﹣3x）﹣（2x﹣y）（3x+y）；
（4）2（2x﹣1）（2x+1）﹣5x（﹣x+3y）﹣（x﹣2y）2．
19．（8分）分解因式：
（1）a2b﹣b3；
（2）﹣（x2+2）2+6（x2+2）﹣9
20．（7分）已知：a+b＝4
（1）求代数式（a+1）（b+1）﹣ab值；
（2）若代数式a2﹣2ab+b2+2a+2b的值等于17，求a﹣b的值．
21．（8分）先观察下列等式，再回答下列问题：
①； ②
③
（1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证；
（2）请你按照上面各等式反映的规律，用含n的等式表示（n为正整数）．
22．（8分）如图，线段AC交BD于O，点E，F在线段AC上，△DFO≌△BEO，且AF＝CE，连接AB、CD，求证：AB＝CD．
23．（10分）发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证（1）（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？
（2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．
延伸任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．
24．（12分）如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．
（1）求证：BE＝AD；
（2）用含α的式子表示∠AMB的度数（直接写出结果）；
（3）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．
2018-2019学年河南省驻马店市泌阳县八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）四个数0，1，，中，无理数的是（ ）
A．B．1C．D．0
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：0，1是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
无理数有，共1个．
故选：B．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣x2）3＝﹣x5B．x2+x3＝x5C．x3•x4＝x7D．2x3﹣x3＝1
【分析】分别根据幂的乘方、同类项概念、同底数幂相乘及合并同类项法则逐一计算即可判断．
【解答】解：A、（﹣x2）3＝﹣x6，此选项错误；
B、x2、x3不是同类项，不能合并，此选项错误；
C、x3•x4＝x7，此选项正确；
D、2x3﹣x3＝x3，此选项错误；
故选：C．
3．（3分）数轴上表示1﹣的点到原点的距离是（ ）
A．1﹣B．﹣1C．1+D．
【分析】根据绝对值的定义即可得出答案．
【解答】解：∵在数轴上，一个数的绝对值指的是这个数到原点的距离，
∴表示1﹣的点到原点的距离为|1﹣|＝，
故选：B．
4．（3分）若（x﹣1）2＝（x+7）（x﹣7），则的平方根是（ ）
A．5B．±5C．D．±
【分析】先利用完全平方公式与平方差公式把已知条件展开，求出x的值，然后再求出的值，最后求平方根即可．
【解答】解：∵（x﹣1）2＝（x+7）（x﹣7），
∴x2﹣2x+1＝x2﹣49，
解得x＝25，
∴＝＝5，
∴的平方根是±．
故选：D．
5．（3分）如图所示，将四张全等的长方形硬纸片围成一个正方形，根据图形阴影部分面积的关系，可以直观地得到一个关于a、b的恒等式为（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4abD．a2+ab＝a（a+b）
【分析】用两种方法正确的表示出阴影部分的面积，再根据图形阴影部分面积的关系，即可直观地得到一个关于a、b的恒等式．
【解答】解：方法一阴影部分的面积为：（a﹣b）2，
方法二阴影部分的面积为：（a+b）2﹣4ab，
所以根据图形阴影部分面积的关系，可以直观地得到一个关于a、b的恒等式为（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．
故选：C．
6．（3分）举反例说明“x＞﹣5，则x2＞25”是假命题，下列正确的是（ ）
A．4＞﹣5，而42＜25B．6＞﹣5，则62＞25
C．7＞﹣5，则72＞25D．8＞﹣5，则82＞25
【分析】要说明一个命题是假命题可以举个反例来说明，且反例要求符合原命题的条件，但结论却与原命题不一致．
【解答】解：当4＞﹣5，而42＜25，
则“x＞﹣5，则x2＞25”是假命题，
故选：A．
7．（3分）小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x□﹣4y2（“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
【分析】能利用平方差公式分解因式，说明漏掉的是平方项的指数，只能是偶数，又只知道该数为不大于10的正整数，则该指数可能是2、4、6、8、10五个数．
【解答】解：该指数可能是2、4、6、8、10五个数．
故选：D．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，点D在AC上，BC＝BD，DE∥BC交AB于点E，则图中等腰三角形共有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】由在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°°，BD平分∠ABC，DE∥BC，可求得∠ABD＝∠EDB＝∠DBC＝∠A＝36°，∠BDC＝∠ABC＝∠C＝72°，∠AED＝∠ADE，即可得△ABC，△ABD，△EBD，△BCD，△AED是等腰三角形．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，
∴∠ABC＝∠C＝＝72°，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠DBC＝36°，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC＝36°，
∴∠ABD＝∠EDB＝∠A，
∴AD＝BD，EB＝ED，
即△ABD和△EBD是等腰三角形，
∵∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
即△BCD是等腰三角形，
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC，∠ADE＝∠C，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AE＝AD，
即△AED是等腰三角形．
∴图中共有5个等腰三角形．
故选：C．
9．（3分）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，从①AB＝AE，②BC＝ED，③∠B＝∠E，④∠C＝∠D．这四个条件中再选一个使△ABC≌△AED，符合条件的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由∠1＝∠2，可得∠BAC＝∠EAD，又由于AC＝AD，根据三角形全等的判定方法，可加一角或已知角的另一边．
【解答】解：已知∠1＝∠2，AC＝AD，由∠1＝∠2可知∠BAC＝∠EAD，
加①AB＝AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；
加③∠B＝∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；
加④∠C＝∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED；
加②BC＝ED只是具备SSA，不能判定三角形全等，
其中能使△ABC≌△AED的条件有：①③④．
故选：C．
10．（3分）任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）＝．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有F（18）＝＝．给出下列关于F（n）的说法：（1）F（2）＝；（2）F（24）＝；（3）F（27）＝3；（4）若n是一个完全平方数，则F（n）＝1．其中正确说法的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】把2，24，27，n分解为两个正整数的积的形式，找到相差最少的两个数，让较小的数除以较大的数，看结果是否与所给结果相同．
【解答】解：∵2＝1×2，
∴F（2）＝是正确的；
∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，这几种分解中4和6的差的绝对值最小，
∴F（24）＝＝，故（2）是错误的；
∵27＝1×27＝3×9，其中3和9的绝对值较小，又3＜9，
∴F（27）＝，故（3）是错误的；
∵n是一个完全平方数，
∴n能分解成两个相等的数，则F（n）＝1，故（4）是正确的．
∴正确的有（1），（4）．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共21分）
11．（3分）已知2m＝4n﹣1，27n＝3m﹣1，则n﹣m＝ 5 ．
【分析】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形进而得出m，n的值即可．
【解答】解：∵2m＝4n﹣1，27n＝3m﹣1，
∴2m＝22n﹣2，33n＝3m﹣1，
故，
解得：，
故n﹣m＝5．
故答案为：5．
12．（3分）计算：已知：a+b＝3，ab＝1，则a2+b2＝ 7 ．
【分析】将所求式子利用完全平方公式变形后，把a+b与ab的值代入即可求出值．
【解答】解：∵a+b＝3，ab＝1，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2＝9﹣2＝7．
故答案为：7
13．（3分）若x2+kx+81是完全平方式，则k的值应是 ±18 ．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【解答】解：∵x2+kx+81是完全平方式，
∴k＝±18．
故答案为：±18．
14．（3分）等腰三角形的周长是50cm，一条边长是12cm，则另两边长是 19cm、19cm ．
【分析】题中只给出了三角形的周长和一边长，没有指出它是底边还是腰，所以应该分两种情况进行分析．
【解答】解：该三角形是等腰三角形，当底边长为12cm时，其它两条边为（50﹣12）÷2＝19（cm），
即三边长分别为12cm、19cm、19cm，能组成三角形．
当腰长为12cm时，底边长为50﹣2×12＝26（cm），
即三边长分别为12cm，12cm，26cm，不能组成三角形．
综上，另两边长是19cm、19cm．
故答案为：19cm、19cm．
15．（3分）规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]＝0，[3.14]＝3．按此规定，则[+]的值为 3 ．
【分析】估算出+的取值范围可以得到答案．
【解答】解：∵3＜+＜4，
∴[+]的值为3．
故答案为：3．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别在BC，AC，AB上的点，且BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝α，则∠A的度数是 180°﹣2α 度．（用含α的代数式表示）
【分析】根据已知条件可推出BDF≌△CDE，从而可知∠EDC＝∠FDB，则∠EDF＝∠B．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BDF和△CED中，
，
∴△BDF≌△CDE（SAS）
∴∠EDC＝∠DFB
∴∠EDF＝∠B＝（180°﹣∠A）÷2＝90°﹣∠A，
∵∠FDE＝α，
∴∠A＝180°﹣2α，
故答案为：180°﹣2α
17．（3分）定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（2+i）+（3﹣5i）＝（2+3）+（1﹣5）i＝5﹣4i；
（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣i+2×i﹣i2＝2+（﹣1+2）i+1＝3+i；
根据以上信息，下列各式：
①i3＝1；②i4＝1；③（1+i）×（3﹣4i）＝﹣1﹣i；④i+i2+i3+i4+…+i2019＝﹣1，其中正确的是 ②④ （填上所有正确答案的序号）．
【分析】①将i3表示成i2•i即可；②将i4表示成i2•i2即可；③利用多项式乘以多项式的法则计算即可；④利用式子的规律即依次每四项的和为0进行计算即可．
【解答】解：①∵i3＝i2•i，i2＝﹣1，
∴i3＝﹣i．
∴①不正确；
②∵i4＝i2•i2，i2＝﹣1，
∴i4＝1×1＝1．
∴②正确；
③∵（1+i）×（3﹣4i）＝3﹣4i+3i﹣4i2＝7﹣i，
∴③不正确；
④∵i+i2+i3+i4＝i﹣1﹣i＝1＝0，
∴i5+i6+i7+i8＝i4（i+i2+i3+i4）＝0．
∴i+i2+i3+i4+…+i2019＝i2017+i2018+i2019＝i2016（i+i2+i3）＝i﹣1+i＝﹣1，
∴④正确．
综上，正确的是：②④．
故答案为：②④．
三、解答题（共69分）
18．（16分）计算：
（1）++；
（2）|1﹣|+|﹣|+|2﹣|；
（3）（3x﹣2y）（y﹣3x）﹣（2x﹣y）（3x+y）；
（4）2（2x﹣1）（2x+1）﹣5x（﹣x+3y）﹣（x﹣2y）2．
【分析】（1）先计算算术平方根、立方根，再计算加减即可；
（2）先根据绝对值的性质去绝对值符号，再计算加减即可；
（3）先计算多项式乘多项式，再去括号、合并同类项即可；
（4）先利用平方差公式和完全平方公式及单项式乘多项式法则计算，再去括号、合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝0.5+0.5+2
＝3；
（2）原式＝﹣1+﹣+2﹣
＝1；
（3）原式＝3xy﹣9x2﹣2y2+6xy﹣（6x2+2xy﹣3xy﹣y2）
＝3xy﹣9x2﹣2y2+6xy﹣6x2﹣2xy+3xy+y2
＝10xy﹣15x2﹣y2；
（4）原式＝2（4x2﹣1）+5x2﹣15xy﹣（x2﹣4xy+4y2）
＝8x2﹣2+5x2﹣15xy﹣x2+4xy﹣4y2
＝12x2﹣11xy﹣4y2﹣2．
19．（8分）分解因式：
（1）a2b﹣b3；
（2）﹣（x2+2）2+6（x2+2）﹣9
【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式整理后，利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝b（a2﹣b2）＝b（a+b）（a﹣b）；
（2）原式＝﹣[（x2+2）2﹣6（x2+2）+9]＝﹣（x2﹣1）2＝﹣（x+1）2（x﹣1）2．
20．（7分）已知：a+b＝4
（1）求代数式（a+1）（b+1）﹣ab值；
（2）若代数式a2﹣2ab+b2+2a+2b的值等于17，求a﹣b的值．
【分析】（1）将原式展开、合并同类项化简得a+b+1，再代入计算可得；
（2）由原式＝（a﹣b）2+2（a+b）可得（a﹣b）2+2×4＝17，据此进一步计算可得．
【解答】解：（1）原式＝ab+a+b+1﹣ab＝a+b+1，
当a+b＝4时，原式＝4+1＝5；
（2）∵a2﹣2ab+b2+2a+2b＝（a﹣b）2+2（a+b），
∴（a﹣b）2+2×4＝17，
∴（a﹣b）2＝9，
则a﹣b＝3或﹣3．
21．（8分）先观察下列等式，再回答下列问题：
①； ②
③
（1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证；
（2）请你按照上面各等式反映的规律，用含n的等式表示（n为正整数）．
【分析】（1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母就是n+1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．所以由此可计算给的式子；
（2）根据（1）找的规律写出表示这个规律的式子．
【解答】解：（1），
验证：
＝
＝
＝
＝，
∵，
∴；
（2）
＝
＝（n为整数）
22．（8分）如图，线段AC交BD于O，点E，F在线段AC上，△DFO≌△BEO，且AF＝CE，连接AB、CD，求证：AB＝CD．
【分析】先由△BEO≌△DFO，即可得出OF＝OE，DO＝BO，进而得到AO＝CO，再证明△ABO≌△CDO，即可得到AB＝CD．
【解答】证明：∵△BEO≌△DFO，
∴OF＝OE，DO＝BO，
又∵AF＝CE，
∴AO＝CO，
在△ABO和△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（SAS），
∴AB＝CD．
23．（10分）发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证（1）（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？
（2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．
延伸任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．
【分析】验证（1）计算（﹣1）2+02+12+22+32的结果，再将结果除以5即可；
（2）用含n的代数式分别表示出其余的4个整数，再将它们的平方相加，化简得出它们的平方和，再证明是5的倍数；
延伸：设三个连续整数的中间一个为n，用含n的代数式分别表示出其余的2个整数，再将它们相加，化简得出三个连续整数的平方和，再除以3得到余数．
【解答】解：发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证（1）（﹣1）2+02+12+22+32＝1+0+1+4+9＝15，15÷5＝3，
即（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的3倍；
（2）设五个连续整数的中间一个为n，则其余的4个整数分别是n﹣2，n﹣1，n+1，n+2，
它们的平方和为：（n﹣2）2+（n﹣1）2+n2+（n+1）2+（n+2）2
＝n2﹣4n+4+n2﹣2n+1+n2+n2+2n+1+n2+4n+4
＝5n2+10，
∵5n2+10＝5（n2+2），
又n是整数，
∴n2+2是整数，
∴五个连续整数的平方和是5的倍数；
延伸设三个连续整数的中间一个为n，则其余的2个整数是n﹣1，n+1，
它们的平方和为：（n﹣1）2+n2+（n+1）2
＝n2﹣2n+1+n2+n2+2n+1
＝3n2+2，
∵n是整数，
∴n2是整数，
∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2．
24．（12分）如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．
（1）求证：BE＝AD；
（2）用含α的式子表示∠AMB的度数（直接写出结果）；
（3）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．
【分析】（1）由CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，利用SAS即可判定△ACD≌△BCE；
（2）根据△ACD≌△BCE，得出∠CAD＝∠CBE，再根据∠AFC＝∠BFH，即可得到∠AMB＝∠ACB＝α；
（3）先根据SAS判定△ACP≌△BCQ，再根据全等三角形的性质，得出CP＝CQ，∠ACP＝∠BCQ，最后根据∠ACB＝90°即可得到∠PCQ＝90°，进而得到△PCQ为等腰直角三角形．
【解答】解：（1）如图1，∵∠ACB＝∠DCE＝α，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD；
（2）如图1，∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵△ABC中，∠BAC+∠ABC＝180°﹣α，
∴∠BAM+∠ABM＝180°﹣α，
∴△ABM中，∠AMB＝180°﹣（180°﹣α）＝α；
（3）△CPQ为等腰直角三角形．
证明：如图2，由（1）可得，BE＝AD，
∵AD，BE的中点分别为点P、Q，
∴AP＝BQ，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAP＝∠CBQ，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴CP＝CQ，且∠ACP＝∠BCQ，
又∵∠ACP+∠PCB＝90°，
∴∠BCQ+∠PCB＝90°，
∴∠PCQ＝90°，
∴△CPQ为等腰直角三角形．
1．（3分）四个数0，1，，中，无理数的是（ ）
A．B．1C．D．0
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣x2）3＝﹣x5B．x2+x3＝x5C．x3•x4＝x7D．2x3﹣x3＝1
3．（3分）数轴上表示1﹣的点到原点的距离是（ ）
A．1﹣B．﹣1C．1+D．
4．（3分）若（x﹣1）2＝（x+7）（x﹣7），则的平方根是（ ）
A．5B．±5C．D．±
5．（3分）如图所示，将四张全等的长方形硬纸片围成一个正方形，根据图形阴影部分面积的关系，可以直观地得到一个关于a、b的恒等式为（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4abD．a2+ab＝a（a+b）
6．（3分）举反例说明“x＞﹣5，则x2＞25”是假命题，下列正确的是（ ）
A．4＞﹣5，而42＜25B．6＞﹣5，则62＞25
C．7＞﹣5，则72＞25D．8＞﹣5，则82＞25
7．（3分）小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x□﹣4y2（“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
8．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，点D在AC上，BC＝BD，DE∥BC交AB于点E，则图中等腰三角形共有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
9．（3分）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，从①AB＝AE，②BC＝ED，③∠B＝∠E，④∠C＝∠D．这四个条件中再选一个使△ABC≌△AED，符合条件的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．（3分）任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）＝．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有F（18）＝＝．给出下列关于F（n）的说法：（1）F（2）＝；（2）F（24）＝；（3）F（27）＝3；（4）若n是一个完全平方数，则F（n）＝1．其中正确说法的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（每小题3分，共21分）
11．（3分）已知2m＝4n﹣1，27n＝3m﹣1，则n﹣m＝ ．
12．（3分）计算：已知：a+b＝3，ab＝1，则a2+b2＝ ．
13．（3分）若x2+kx+81是完全平方式，则k的值应是 ．
14．（3分）等腰三角形的周长是50cm，一条边长是12cm，则另两边长是 ．
15．（3分）规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]＝0，[3.14]＝3．按此规定，则[+]的值为 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别在BC，AC，AB上的点，且BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝α，则∠A的度数是 度．（用含α的代数式表示）
17．（3分）定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（2+i）+（3﹣5i）＝（2+3）+（1﹣5）i＝5﹣4i；
（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣i+2×i﹣i2＝2+（﹣1+2）i+1＝3+i；
根据以上信息，下列各式：
①i3＝1；②i4＝1；③（1+i）×（3﹣4i）＝﹣1﹣i；④i+i2+i3+i4+…+i2019＝﹣1，其中正确的是 （填上所有正确答案的序号）．
三、解答题（共69分）
18．（16分）计算：
（1）++；
（2）|1﹣|+|﹣|+|2﹣|；
（3）（3x﹣2y）（y﹣3x）﹣（2x﹣y）（3x+y）；
（4）2（2x﹣1）（2x+1）﹣5x（﹣x+3y）﹣（x﹣2y）2．
19．（8分）分解因式：
（1）a2b﹣b3；
（2）﹣（x2+2）2+6（x2+2）﹣9
20．（7分）已知：a+b＝4
（1）求代数式（a+1）（b+1）﹣ab值；
（2）若代数式a2﹣2ab+b2+2a+2b的值等于17，求a﹣b的值．
21．（8分）先观察下列等式，再回答下列问题：
①； ②
③
（1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证；
（2）请你按照上面各等式反映的规律，用含n的等式表示（n为正整数）．
22．（8分）如图，线段AC交BD于O，点E，F在线段AC上，△DFO≌△BEO，且AF＝CE，连接AB、CD，求证：AB＝CD．
23．（10分）发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证（1）（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？
（2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．
延伸任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．
24．（12分）如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．
（1）求证：BE＝AD；
（2）用含α的式子表示∠AMB的度数（直接写出结果）；
（3）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．
2018-2019学年河南省驻马店市泌阳县八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）四个数0，1，，中，无理数的是（ ）
A．B．1C．D．0
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：0，1是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
无理数有，共1个．
故选：B．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣x2）3＝﹣x5B．x2+x3＝x5C．x3•x4＝x7D．2x3﹣x3＝1
【分析】分别根据幂的乘方、同类项概念、同底数幂相乘及合并同类项法则逐一计算即可判断．
【解答】解：A、（﹣x2）3＝﹣x6，此选项错误；
B、x2、x3不是同类项，不能合并，此选项错误；
C、x3•x4＝x7，此选项正确；
D、2x3﹣x3＝x3，此选项错误；
故选：C．
3．（3分）数轴上表示1﹣的点到原点的距离是（ ）
A．1﹣B．﹣1C．1+D．
【分析】根据绝对值的定义即可得出答案．
【解答】解：∵在数轴上，一个数的绝对值指的是这个数到原点的距离，
∴表示1﹣的点到原点的距离为|1﹣|＝，
故选：B．
4．（3分）若（x﹣1）2＝（x+7）（x﹣7），则的平方根是（ ）
A．5B．±5C．D．±
【分析】先利用完全平方公式与平方差公式把已知条件展开，求出x的值，然后再求出的值，最后求平方根即可．
【解答】解：∵（x﹣1）2＝（x+7）（x﹣7），
∴x2﹣2x+1＝x2﹣49，
解得x＝25，
∴＝＝5，
∴的平方根是±．
故选：D．
5．（3分）如图所示，将四张全等的长方形硬纸片围成一个正方形，根据图形阴影部分面积的关系，可以直观地得到一个关于a、b的恒等式为（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4abD．a2+ab＝a（a+b）
【分析】用两种方法正确的表示出阴影部分的面积，再根据图形阴影部分面积的关系，即可直观地得到一个关于a、b的恒等式．
【解答】解：方法一阴影部分的面积为：（a﹣b）2，
方法二阴影部分的面积为：（a+b）2﹣4ab，
所以根据图形阴影部分面积的关系，可以直观地得到一个关于a、b的恒等式为（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．
故选：C．
6．（3分）举反例说明“x＞﹣5，则x2＞25”是假命题，下列正确的是（ ）
A．4＞﹣5，而42＜25B．6＞﹣5，则62＞25
C．7＞﹣5，则72＞25D．8＞﹣5，则82＞25
【分析】要说明一个命题是假命题可以举个反例来说明，且反例要求符合原命题的条件，但结论却与原命题不一致．
【解答】解：当4＞﹣5，而42＜25，
则“x＞﹣5，则x2＞25”是假命题，
故选：A．
7．（3分）小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x□﹣4y2（“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
【分析】能利用平方差公式分解因式，说明漏掉的是平方项的指数，只能是偶数，又只知道该数为不大于10的正整数，则该指数可能是2、4、6、8、10五个数．
【解答】解：该指数可能是2、4、6、8、10五个数．
故选：D．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，点D在AC上，BC＝BD，DE∥BC交AB于点E，则图中等腰三角形共有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】由在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°°，BD平分∠ABC，DE∥BC，可求得∠ABD＝∠EDB＝∠DBC＝∠A＝36°，∠BDC＝∠ABC＝∠C＝72°，∠AED＝∠ADE，即可得△ABC，△ABD，△EBD，△BCD，△AED是等腰三角形．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，
∴∠ABC＝∠C＝＝72°，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠DBC＝36°，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC＝36°，
∴∠ABD＝∠EDB＝∠A，
∴AD＝BD，EB＝ED，
即△ABD和△EBD是等腰三角形，
∵∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
即△BCD是等腰三角形，
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC，∠ADE＝∠C，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AE＝AD，
即△AED是等腰三角形．
∴图中共有5个等腰三角形．
故选：C．
9．（3分）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，从①AB＝AE，②BC＝ED，③∠B＝∠E，④∠C＝∠D．这四个条件中再选一个使△ABC≌△AED，符合条件的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由∠1＝∠2，可得∠BAC＝∠EAD，又由于AC＝AD，根据三角形全等的判定方法，可加一角或已知角的另一边．
【解答】解：已知∠1＝∠2，AC＝AD，由∠1＝∠2可知∠BAC＝∠EAD，
加①AB＝AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；
加③∠B＝∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；
加④∠C＝∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED；
加②BC＝ED只是具备SSA，不能判定三角形全等，
其中能使△ABC≌△AED的条件有：①③④．
故选：C．
10．（3分）任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）＝．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有F（18）＝＝．给出下列关于F（n）的说法：（1）F（2）＝；（2）F（24）＝；（3）F（27）＝3；（4）若n是一个完全平方数，则F（n）＝1．其中正确说法的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】把2，24，27，n分解为两个正整数的积的形式，找到相差最少的两个数，让较小的数除以较大的数，看结果是否与所给结果相同．
【解答】解：∵2＝1×2，
∴F（2）＝是正确的；
∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，这几种分解中4和6的差的绝对值最小，
∴F（24）＝＝，故（2）是错误的；
∵27＝1×27＝3×9，其中3和9的绝对值较小，又3＜9，
∴F（27）＝，故（3）是错误的；
∵n是一个完全平方数，
∴n能分解成两个相等的数，则F（n）＝1，故（4）是正确的．
∴正确的有（1），（4）．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共21分）
11．（3分）已知2m＝4n﹣1，27n＝3m﹣1，则n﹣m＝ 5 ．
【分析】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形进而得出m，n的值即可．
【解答】解：∵2m＝4n﹣1，27n＝3m﹣1，
∴2m＝22n﹣2，33n＝3m﹣1，
故，
解得：，
故n﹣m＝5．
故答案为：5．
12．（3分）计算：已知：a+b＝3，ab＝1，则a2+b2＝ 7 ．
【分析】将所求式子利用完全平方公式变形后，把a+b与ab的值代入即可求出值．
【解答】解：∵a+b＝3，ab＝1，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2＝9﹣2＝7．
故答案为：7
13．（3分）若x2+kx+81是完全平方式，则k的值应是 ±18 ．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【解答】解：∵x2+kx+81是完全平方式，
∴k＝±18．
故答案为：±18．
14．（3分）等腰三角形的周长是50cm，一条边长是12cm，则另两边长是 19cm、19cm ．
【分析】题中只给出了三角形的周长和一边长，没有指出它是底边还是腰，所以应该分两种情况进行分析．
【解答】解：该三角形是等腰三角形，当底边长为12cm时，其它两条边为（50﹣12）÷2＝19（cm），
即三边长分别为12cm、19cm、19cm，能组成三角形．
当腰长为12cm时，底边长为50﹣2×12＝26（cm），
即三边长分别为12cm，12cm，26cm，不能组成三角形．
综上，另两边长是19cm、19cm．
故答案为：19cm、19cm．
15．（3分）规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]＝0，[3.14]＝3．按此规定，则[+]的值为 3 ．
【分析】估算出+的取值范围可以得到答案．
【解答】解：∵3＜+＜4，
∴[+]的值为3．
故答案为：3．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别在BC，AC，AB上的点，且BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝α，则∠A的度数是 180°﹣2α 度．（用含α的代数式表示）
【分析】根据已知条件可推出BDF≌△CDE，从而可知∠EDC＝∠FDB，则∠EDF＝∠B．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BDF和△CED中，
，
∴△BDF≌△CDE（SAS）
∴∠EDC＝∠DFB
∴∠EDF＝∠B＝（180°﹣∠A）÷2＝90°﹣∠A，
∵∠FDE＝α，
∴∠A＝180°﹣2α，
故答案为：180°﹣2α
17．（3分）定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（2+i）+（3﹣5i）＝（2+3）+（1﹣5）i＝5﹣4i；
（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣i+2×i﹣i2＝2+（﹣1+2）i+1＝3+i；
根据以上信息，下列各式：
①i3＝1；②i4＝1；③（1+i）×（3﹣4i）＝﹣1﹣i；④i+i2+i3+i4+…+i2019＝﹣1，其中正确的是 ②④ （填上所有正确答案的序号）．
【分析】①将i3表示成i2•i即可；②将i4表示成i2•i2即可；③利用多项式乘以多项式的法则计算即可；④利用式子的规律即依次每四项的和为0进行计算即可．
【解答】解：①∵i3＝i2•i，i2＝﹣1，
∴i3＝﹣i．
∴①不正确；
②∵i4＝i2•i2，i2＝﹣1，
∴i4＝1×1＝1．
∴②正确；
③∵（1+i）×（3﹣4i）＝3﹣4i+3i﹣4i2＝7﹣i，
∴③不正确；
④∵i+i2+i3+i4＝i﹣1﹣i＝1＝0，
∴i5+i6+i7+i8＝i4（i+i2+i3+i4）＝0．
∴i+i2+i3+i4+…+i2019＝i2017+i2018+i2019＝i2016（i+i2+i3）＝i﹣1+i＝﹣1，
∴④正确．
综上，正确的是：②④．
故答案为：②④．
三、解答题（共69分）
18．（16分）计算：
（1）++；
（2）|1﹣|+|﹣|+|2﹣|；
（3）（3x﹣2y）（y﹣3x）﹣（2x﹣y）（3x+y）；
（4）2（2x﹣1）（2x+1）﹣5x（﹣x+3y）﹣（x﹣2y）2．
【分析】（1）先计算算术平方根、立方根，再计算加减即可；
（2）先根据绝对值的性质去绝对值符号，再计算加减即可；
（3）先计算多项式乘多项式，再去括号、合并同类项即可；
（4）先利用平方差公式和完全平方公式及单项式乘多项式法则计算，再去括号、合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝0.5+0.5+2
＝3；
（2）原式＝﹣1+﹣+2﹣
＝1；
（3）原式＝3xy﹣9x2﹣2y2+6xy﹣（6x2+2xy﹣3xy﹣y2）
＝3xy﹣9x2﹣2y2+6xy﹣6x2﹣2xy+3xy+y2
＝10xy﹣15x2﹣y2；
（4）原式＝2（4x2﹣1）+5x2﹣15xy﹣（x2﹣4xy+4y2）
＝8x2﹣2+5x2﹣15xy﹣x2+4xy﹣4y2
＝12x2﹣11xy﹣4y2﹣2．
19．（8分）分解因式：
（1）a2b﹣b3；
（2）﹣（x2+2）2+6（x2+2）﹣9
【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式整理后，利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝b（a2﹣b2）＝b（a+b）（a﹣b）；
（2）原式＝﹣[（x2+2）2﹣6（x2+2）+9]＝﹣（x2﹣1）2＝﹣（x+1）2（x﹣1）2．
20．（7分）已知：a+b＝4
（1）求代数式（a+1）（b+1）﹣ab值；
（2）若代数式a2﹣2ab+b2+2a+2b的值等于17，求a﹣b的值．
【分析】（1）将原式展开、合并同类项化简得a+b+1，再代入计算可得；
（2）由原式＝（a﹣b）2+2（a+b）可得（a﹣b）2+2×4＝17，据此进一步计算可得．
【解答】解：（1）原式＝ab+a+b+1﹣ab＝a+b+1，
当a+b＝4时，原式＝4+1＝5；
（2）∵a2﹣2ab+b2+2a+2b＝（a﹣b）2+2（a+b），
∴（a﹣b）2+2×4＝17，
∴（a﹣b）2＝9，
则a﹣b＝3或﹣3．
21．（8分）先观察下列等式，再回答下列问题：
①； ②
③
（1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证；
（2）请你按照上面各等式反映的规律，用含n的等式表示（n为正整数）．
【分析】（1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母就是n+1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．所以由此可计算给的式子；
（2）根据（1）找的规律写出表示这个规律的式子．
【解答】解：（1），
验证：
＝
＝
＝
＝，
∵，
∴；
（2）
＝
＝（n为整数）
22．（8分）如图，线段AC交BD于O，点E，F在线段AC上，△DFO≌△BEO，且AF＝CE，连接AB、CD，求证：AB＝CD．
【分析】先由△BEO≌△DFO，即可得出OF＝OE，DO＝BO，进而得到AO＝CO，再证明△ABO≌△CDO，即可得到AB＝CD．
【解答】证明：∵△BEO≌△DFO，
∴OF＝OE，DO＝BO，
又∵AF＝CE，
∴AO＝CO，
在△ABO和△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（SAS），
∴AB＝CD．
23．（10分）发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证（1）（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？
（2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．
延伸任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．
【分析】验证（1）计算（﹣1）2+02+12+22+32的结果，再将结果除以5即可；
（2）用含n的代数式分别表示出其余的4个整数，再将它们的平方相加，化简得出它们的平方和，再证明是5的倍数；
延伸：设三个连续整数的中间一个为n，用含n的代数式分别表示出其余的2个整数，再将它们相加，化简得出三个连续整数的平方和，再除以3得到余数．
【解答】解：发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证（1）（﹣1）2+02+12+22+32＝1+0+1+4+9＝15，15÷5＝3，
即（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的3倍；
（2）设五个连续整数的中间一个为n，则其余的4个整数分别是n﹣2，n﹣1，n+1，n+2，
它们的平方和为：（n﹣2）2+（n﹣1）2+n2+（n+1）2+（n+2）2
＝n2﹣4n+4+n2﹣2n+1+n2+n2+2n+1+n2+4n+4
＝5n2+10，
∵5n2+10＝5（n2+2），
又n是整数，
∴n2+2是整数，
∴五个连续整数的平方和是5的倍数；
延伸设三个连续整数的中间一个为n，则其余的2个整数是n﹣1，n+1，
它们的平方和为：（n﹣1）2+n2+（n+1）2
＝n2﹣2n+1+n2+n2+2n+1
＝3n2+2，
∵n是整数，
∴n2是整数，
∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2．
24．（12分）如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．
（1）求证：BE＝AD；
（2）用含α的式子表示∠AMB的度数（直接写出结果）；
（3）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．
【分析】（1）由CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，利用SAS即可判定△ACD≌△BCE；
（2）根据△ACD≌△BCE，得出∠CAD＝∠CBE，再根据∠AFC＝∠BFH，即可得到∠AMB＝∠ACB＝α；
（3）先根据SAS判定△ACP≌△BCQ，再根据全等三角形的性质，得出CP＝CQ，∠ACP＝∠BCQ，最后根据∠ACB＝90°即可得到∠PCQ＝90°，进而得到△PCQ为等腰直角三角形．
【解答】解：（1）如图1，∵∠ACB＝∠DCE＝α，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD；
（2）如图1，∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵△ABC中，∠BAC+∠ABC＝180°﹣α，
∴∠BAM+∠ABM＝180°﹣α，
∴△ABM中，∠AMB＝180°﹣（180°﹣α）＝α；
（3）△CPQ为等腰直角三角形．
证明：如图2，由（1）可得，BE＝AD，
∵AD，BE的中点分别为点P、Q，
∴AP＝BQ，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAP＝∠CBQ，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴CP＝CQ，且∠ACP＝∠BCQ，
又∵∠ACP+∠PCB＝90°，
∴∠BCQ+∠PCB＝90°，
∴∠PCQ＝90°，
∴△CPQ为等腰直角三角形．
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