高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.2 排列与组合学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.2 排列与组合学案设计，共9页。学案主要包含了排列的概念，排列数等内容，欢迎下载使用。


常见考法
考点一 排列的概念
【例1】（2021年广东汕头）（1）下列问题是排列问题的是( )
A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？
B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？
C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？
D．从1,2,3,4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？
（2）从3个不同的数字中取出2个：①相加；②相减；③相乘；④相除；⑤一个为被开方数，一个为根指数．则上述问题为排列问题的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】（1）B（2）B
【解析】（1）排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有B中的问题是与顺序相关的，其他问题都与顺序无关，所以选B.
（2）排列与顺序有关，故②④⑤是排列．
【一隅三反】
1.（2020年广东河源）判断下列问题是否为排列问题．
(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？
(2)从集合M＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1?
(3)从1,3,5,7,9中任取3个数字，有多少种方法？若这3个数字组成没有重复的三位数，又有多少种方法？
【答案】见解析
【解析】(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题．
(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小关系一定；在双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1中，不管a>b还是a(3)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．从5个数中取3个数，与顺序无关；若这3个数组成不同的三位数，则与顺序有关．
2.（2021年河北）下列问题是排列问题的是 ( )
A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？
B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？
C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？
D．从1,2,3,4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种？
【答案】 B
【解析】 排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有B中的问题是与顺序有关的，其他问题都与顺序无关．故选B.
考点二 排列数
【例2】（1）（2020·江苏省前黄高级中学）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．5B．6C．7D．8
（2）（2020·永昌县第四中学）若 SKIPIF 1 < 0 ，则m的值为 ( )
A．5B．3C．6D．7
（3）（2021·山西省长治市第二中学校高）不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】（1）A（2）A（2）C
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ,化解得 SKIPIF 1 < 0 解得：m= SKIPIF 1 < 0 （舍）或m=5故选：A
（2）根据题意，若 SKIPIF 1 < 0 ，则有m（m﹣1）（m﹣2）（m﹣3）（m﹣4）=2×m（m﹣1）（m﹣2），
即（m﹣3）（m﹣4）=2，解可得：m=5故答案为A
（3）由 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
由题可知， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即原不等式的解集为： SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
【方法总结】
要注意 SKIPIF 1 < 0 中隐含了3个条件：① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 的运算结果为正整数
2.形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （即 SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 的应用．
【一隅三反】
1．（2020·全国高二单元测试）对于满足 SKIPIF 1 < 0 的正整数n， SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】根据排列数定义，要确定元素总数和选取个数，元素总数为 SKIPIF 1 < 0 ，
选取个数为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .故选：C．
2．（2020·宁夏育才中学）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．5B．7C．10D．14
【答案】B
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故选： SKIPIF 1 < 0 .
3．（2020·山东莱州一中）给出下列四个关系式：
① SKIPIF 1 < 0 ② SKIPIF 1 < 0 ③ SKIPIF 1 < 0 ④ SKIPIF 1 < 0
其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】①因为 SKIPIF 1 < 0 ，故正确.
② SKIPIF 1 < 0 ，故正确.
③ SKIPIF 1 < 0 ，正确.
④因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故不正确.
故选：C
4．（1）解不等式 SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1）x＝8；（2）详见解析.
【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，解之得 SKIPIF 1 < 0 ，①
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，②由①②及 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 .
（2 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
考点三 排队问题
【例3】（2021·全国高二练习）有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，女生必须站在一起；
(4)全体排成一排，男生互不相邻；
(5)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；
(6)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.
【答案】（1）2520；（2）5040；（3）576；（4）1440；（5）3600；（6）3720.
【解析】（1）从7人中选5人排列，共有 SKIPIF 1 < 0 （种 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）分两步完成，先选3人站前排，有 SKIPIF 1 < 0 种方法，余下4人站后排，有 SKIPIF 1 < 0 种方法，按照分步乘法计数原理计算可得一共有 SKIPIF 1 < 0 （种 SKIPIF 1 < 0 .
（3）捆绑法，将女生看成一个整体，进行全排列，有 SKIPIF 1 < 0 种，再与3名男生进行全排列有 SKIPIF 1 < 0 种，共有 SKIPIF 1 < 0 （种 SKIPIF 1 < 0 ．
（4）插空法，先排女生，再在空位中插入男生，故有 SKIPIF 1 < 0 （种 SKIPIF 1 < 0 ．
（5）先排甲，有5种方法，其余6人有 SKIPIF 1 < 0 种排列方法，共有 SKIPIF 1 < 0 (种).
（6） 7名学生全排列，有 SKIPIF 1 < 0 种方法，其中甲在最左边时，有 SKIPIF 1 < 0 种方法，乙在最右边时，有 SKIPIF 1 < 0 种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有 SKIPIF 1 < 0 种方法，故共有
SKIPIF 1 < 0 (种).
【方法总结】
排列常用方法
1.简单问题直接法：直接利用两个计数原理，直接进行排列组合解答.
2.特殊元素(特殊位置)优先法：优先考虑一些特殊的元素和位置.
3.相邻问题捆绑法：先把相邻元素捆绑在一起，再进行排列.
4.不相邻问题插空法：先把没有位置要求的元素排列好，再排不相邻的元素.
5.定序问题缩倍法（等概率问题缩倍法）先把所有的元素安排好，再缩小一定的倍数.
6.至少问题间接法：一般先考虑全部的排法，再排除不满足题意的排法.
【一隅三反】
1．（2020·湖北高二期末）甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．若老师站在正中间，则不同站法的种数有（ ）
A．12种B．18种C．24种D．60种
【答案】C
【解析】根据题意，若老师站在正中间，则站法只有1种，将甲、乙、丙、丁全排列，安排在两边4个位置，有 SKIPIF 1 < 0 种情况，由分步乘法计数原理知共有 SKIPIF 1 < 0 种，故选：C.
2．（2020·山东淄博·高二期末）参加完某项活动的6名成员合影留念，前排和后排各3人，不同排法的种数为（ ）
A．360B．720C．2160D．4320
【答案】B
【解析】分两步完成：
第一步：从6人中选3人排前排： SKIPIF 1 < 0 种不同排法；
第二步：剩下的3人排后排： SKIPIF 1 < 0 种不同排法，
再按照分步乘法计数原理： SKIPIF 1 < 0 种不同排法，
故选：B.
3．（2020·湖北沙市中学高二月考）某单位有8个连在一起的车位，现有4辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为（ ）
A．240B．360C．480D．720
【答案】C
【解析】解法一：给8个车位编号：1，2，3，4，5，6，7，8，
当1，2，3号车位停放3辆车时，有 SKIPIF 1 < 0 种停放方法；
当2，3，4号车位停放3辆车时，有 SKIPIF 1 < 0 种停放方法；
当3，4，5号车位停放3辆车时，有 SKIPIF 1 < 0 种停放方法；
当4，5，6号车位停放3辆车时，有 SKIPIF 1 < 0 种停放方法；
当5，6，7号车位停放3辆车时，有 SKIPIF 1 < 0 种停放方法；
当6，7，8号车位停放3辆车时，有 SKIPIF 1 < 0 种停放方法；
所以不同的停放方法的种数为 SKIPIF 1 < 0 种.
解法二：先定四个车位，其中三个车位连在一起捆绑，
三个车位和另一个被四个空车位间隔开，四个空车位就1种排法，
造成5个空格，排入三个捆绑车位和一个车位有 SKIPIF 1 < 0 种方法，
再把4辆车停入四个车位有 SKIPIF 1 < 0 种方法，
根据乘法原理共有 SKIPIF 1 < 0 种停车方法.
故选：C.
考点四 数字问题
【例4】（2021·天津静海一中）现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字.
（1）可以组成多少个无重复数字的三位数？
（2）组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第几个数？
（3）可以组成多少个无重复数字的四位偶数？
【答案】（1）648；（2）156；（3）2296；
【解析】（1）由题意，无重复的三位数共有 SKIPIF 1 < 0 个；
（2）当百位为1时，共有 SKIPIF 1 < 0 个数；
当百位为2时，共有 SKIPIF 1 < 0 个数；
当百位为3时，共有 SKIPIF 1 < 0 个数，
所以315是第 SKIPIF 1 < 0 个数；
（3）无重复的四位偶数，所以个位必须为0,2,4,6,8，千位上不能为0，
当个位上为0时，共有 SKIPIF 1 < 0 个数；
当个位上是2,4,6,8中的一个时，共有 SKIPIF 1 < 0 个数，
所以无重复的四位偶数共有 SKIPIF 1 < 0 个数；
【一隅三反】
1．（2020·浙江省东阳中学）由0，1，2，3，4，5共6个不同数字组成的6位数，要求0不能在个位数，奇数恰好有2个相邻，则组成这样不同的6位数的个数是（ ）
A．144B．216C．288D．432
【答案】B
【解析】先从3个奇数中选出2个捆绑内部全排共有 SKIPIF 1 < 0 种排法，
再把捆绑的2个奇数看成一个整体，
因为这个整体与剩下的一个奇数不相邻，将2个非0偶数全排有 SKIPIF 1 < 0 种选法，
奇数插空全排有 SKIPIF 1 < 0 种选法，
最后把0插空，0不能在两端，有3种排法，
可组成这样不同的6位的个数为 SKIPIF 1 < 0 种排法，
故选：B
2．（2020·福建省福州外国语学校用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有
A．144个B．120个C．96个D．72个
【答案】B
【解析】根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；
分两种情况讨论：
①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有3×24=72个，
②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有2×24=48个，
共有72+48=120个．
故选B
3．（2021·湖北车城高中）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数.
（1）可组成多少个不同的四位数？
（2）可组成多少个不同的四位偶数？
【答案】（1）300；（2）156.
【解析】（1）根据题意分步完成任务：
第一步：排千位数字，从1，2，3，4，5这5个数字中选1个来排，有 SKIPIF 1 < 0 种不同排法；
第二步：排百位、十位、个位数字，从排了千位数字后剩下的5个数字中选3个来排列，有 SKIPIF 1 < 0 种不同排法；
所以组成不同的四位数有 SKIPIF 1 < 0 种，
（2）根据题意分类完成任务：
第一类：个位数字为0，则从1，2，3，4，5这5个数字中选3个来排在千位、百位、十位，有 SKIPIF 1 < 0 种不同排法；
第二类：个位数字为2或4，则0不能排在千位，有 SKIPIF 1 < 0 种不同排法；
所以组成不同的四位偶数有 SKIPIF 1 < 0 种.