人教A版 (2019)选择性必修 第三册8.2 一元线性回归模型及其应用导学案

8.2  一元线性回归模型及其应用（精讲）

考点一 样本中心解小题

【例1】（2021·江西赣州市）某产品在某零售摊位上的零售价（元）与每天的销售量（个）统计如下表：

据上表可得回归直线方程为，则上表中的的值为（    ）

A．38 B．39 C．40 D．41

【答案】D

【解析】由题意，，

所以，解得．故选：D．

【一隅三反】

1．（2021·江西景德镇市·景德镇一中）随机变量与的数据如表中所列，其中缺少了一个数值，已知关于的线性回归方程为，则缺少的数值为（    ）

A．6 B．6.6 C．7.5 D．8

【答案】A

【解析】设缺少的数值为，由于回归方程为过样本中心点，

且，代入，所以，解得.

故选：A.

2．（2021·河南信阳市）根据如下样本数据：

得到的回归方程为，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【解析】由图表中的数据可得，变量随着的增大而减小，则，

，，

又回归方程经过点，可得，故选：B．

3．（2021·安徽六安市·六安一中）蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率（每分钟鸣叫的次数）与气温（单位：）存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了关于的线性回归方程.

则当蟋蟀每分钟鸣叫次时，该地当时的气温预报值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由表格中的数据可得，，

由于回归直线过样本中心点，可得，解得.

所以，回归直线方程为.在回归直线方程中，令，可得.故选：D.

考点二 一元线性方程

【例2】（2021·兴义市第二高级中学）在2010年春节期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：

通过分析，发现销售量y对商品的价格x具有线性相关关系，求

（1）销售量y对商品的价格x的回归直线方程；

（2）若使销售量为12，则价格应定为多少.

附：在回归直线中，

【答案】（1）                    （2） 8.75

【解析】（1）由题意知，，

，，

线性回归方程是；

（2）令，可得，

预测销售量为12件时的售价是8.75元．

【一隅三反】

1．（2020·河南开封市）配速是马拉松运动中常使用的一个概念，是速度的一种，是指每公里所需要的时间，相比配速，把心率控制在一个合理水平是安全理性跑马拉松的一个重要策略.图1是一个马拉松跑者的心率（单位：次/分钟）和配速（单位：分钟/公里）的散点图，图2是一次马拉松比赛（全程约42公里）前3000名跑者成绩（单位：分钟）的频率分布直方图.

（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，求与的线性回归方程；

（2）该跑者如果参加本次比赛，将心率控制在160左右跑完全程，估计他跑完全程花费的时间，并估计他能获得的名次.

参考公式：线性回归方程中，，

参考数据：.

【答案】（1）；（2）210分钟，192名．

【解析】（1）由散点图中数据和参考数据得，，

，

，

所以与的线性回归方程为.

（2）将代入回归方程得，

所以该跑者跑完马拉松全程所花的时间为分钟.

从马拉松比赛的频率分布直方图可知成绩好于210分钟的累积频率为

，有的跑者成绩超过该跑者，

则该跑者在本次比赛获得的名次大约是名.

2．（2020·云南红河哈尼族彝族自治州）随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，特别是每年的“双十一”，天猫的交易额数目惊人.2020年天猫公司的工作人员为了迎接天猫“双十一”年度购物狂欢节，加班加点做了大量准备活动，截止2020年11月11日24时，2020年的天猫“双十一”交易额定格在3700多亿元，天猫总公司所有员工对于新的战绩皆大欢喜，同时又对2021年充满了憧憬，因此公司工作人员反思从2014年至2020年每年“双十一”总交易额(取近似值)，进行分析统计如下表：

（1）通过分析，发现可用线性回归模型拟合总交易额y与年份代码t的关系，请用相关系数加以说明；

（2）利用最小二乘法建立y关于t的回归方程(系数精确到0.1)，预测2021年天猫“双十一”的总交易额.

参考数据：，，；

参考公式：相关系数；

回归方程中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.

【答案】（1）答案见解析；（2）回归方程为，预测2021年天猫“双十一”的总交易额约为38百亿.

【解析】（1），，

，

所以

因为总交易额y与年份代码t的相关系数近似为0.98，

说明总交易额y与年份代码t的线性相关性很强，

从而可用线性回归模型拟合总交易额y与年份代码t的关系.

（2）因为，，

所以，

，

所以y关于t的回归方程为

又将2021年对应的代入回归方程得：.

所以预测2021年天猫“双十一”的总交易额约为38百亿.

3．（2021·湖北省武昌实验中学高二期末）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示．

（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；

（2）求y关于x的回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？

附：相关系数公式．

参考数据：，．

回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

【答案】（1）0.95；答案见解析；（2）；610千克.

【解析】（1）由已知数据可得，，

所以，

，

，

所以相关系数．

因为，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系．

（2），，

所以回归方程为．

当时，，

即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为610千克．

考点三 非一元线性方程

【例3】（2020·全国高二课时练习）在一次抽样调查中测得个样本点，得到下表及散点图．

（1）根据散点图判断与哪一个适宜作为关于的回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果试建立与的回归方程；（计算结果保留整数）

（3）在（2）的条件下，设且，试求的最小值．

参考公式：回归方程中，，.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】（1）由题中散点图可以判断，适宜作为关于的回归方程；

（2）令，则，原数据变为

由表可知与近似具有线性相关关系，计算得，

，

，

所以，，则．

所以关于的回归方程是．

（3）由（2）得，，

任取、，且，即，

可得，

因为，则，，所以，，

所以，函数在区间上单调递增，则.

【一隅三反】

1．（2020·江苏省如皋中学高二月考）某种新产品投放市场一段时间后，经过调研获得了时间x（天数）与销售单价y（元）的一组数据，且做了一定的数据处理（如表），并作出了散点图（如图）.

表中.

（1）根据散点图判断，与哪一个更适合作价格y关于时间x的回归方程类型？（不必说明理由）

（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程.

（3）若该产品的日销售量（件）与时间x的函数关系为，求该产品投放市场第几天的销售额最高？最高为多少元？

附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为.

【答案】（1）更适合作价格y关于时间x的回归方程；（2）；（3）第10天，最高销售额为2420元；

【解析】（1）根据散点图知更适合作价格y关于时间x的回归方程类型；

（2）令，则，

而，

，即有；

（3）由题意结合（2）知：

日销售额为，

∴，

若，令，

∴时，，即天，元,

所以该产品投放市场第10天的销售额最高，最高销售额为2420元.

2．（2021·江苏苏州市）我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划.某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金.现该企业为了了解年研发资金投入额（单位：亿元）对年盈利额（单位：亿元）的影响，研究了“十二五”和“十三五”规划发展期间近10年年研发资金投入额和年盈利额的数据.通过对比分析，建立了两个函数模型：①，②，其中，，，均为常数，为自然对数的底数．令，，经计算得如下数据：

（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好?

（2）（ⅰ）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程;（系数精确到0.01）

（ⅱ）若希望2021年盈利额为250亿元，请预测2021年的研发资金投入额为多少亿元？（结果精确到0.01）

附：①相关系数，回归直线中：，

②参考数据：，．

【答案】（1）模型的拟合程度更好；（2）（ⅰ）；（ⅱ）27.56.

【解析】（1）设和的相关系数为，和的相关系数为，由题意，

，

，

则，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好．

（2）（ⅰ）先建立关于的线性回归方程，

由，得，即，

，

，

所以关于的线性回归方程为，

所以，则．

（ⅱ）2021年盈利额（亿元），

所以，则，

因为，

所以．

所以2021年的研发资金投入量约为27.56亿元．