2021学年第六章 计数原理6.2 排列与组合学案设计

6.2.3　组　合

新知探究

　在某次团代会上，某班级需要从5名候选人中选择3人担任代表，问共有多少种选择方案？ 这样的问题就是本节课要重点研究的问题．

问题　如何解决上述情境中的问题？

提示　从5名候选人中选取3人担任代表，共有10种不同的选择方法．

1．组合的概念

一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

2．排列与组合之间的联系与区别

从排列与组合的定义可以知道，两者都是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，这个是共同点，但排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的，而两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的．

拓展深化

[微判断]

1．从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的组合有6个．(×)

提示　从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的组合有{a，b}，{a，c}，{b，c}3个．

2．从1，3，5，7中任取两个数相乘可得6个积．(√)

3．1，2，3与3，2，1是同一个组合．(√)

[微训练]

1．下列问题属于组合问题的是________．

①由1，2，3，4构成的双元素集合；②由1，2，3构成的两位数的方法；③由1，2，3组成无重复数字的两位数的方法．

答案　①

2．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间距离均不相等，则车票票价的种数是____(假设票价只与距离有关)．

答案　3

[微思考]

两个相同的排列有什么特点？两个相同的组合呢？

提示　两个相同的排列需元素相同且元素排列顺序相同．两个相同的组合只要元素相同，不看元素顺序如何.

题型一　 组合概念的理解

【例1】　(多空题)给出下列问题：

(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？

(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？

(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？

(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？

在上述问题中，____是组合问题，______是排列问题．

解析　(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．

(2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题．

(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题．

(4)3人参加某项相同活动，没有顺序，是组合问题．

答案　(1)(4)　(2)(3)

规律方法　区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．

【训练1】　判断下列问题是排列问题还是组合问题．

(1)集合{0，1，2，3，4}的含三个元素的子集的个数是多少？

(2)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一个，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？

解　(1)由于集合中的元素是不讲次序的，一个含三个元素的集合就是一个从0，1，2，3，4中取出3个数组成的集合．这是一个组合问题．

(2)选正、副班长时要考虑次序，所以是排列问题；选代表参加会议是不用考虑次序的，所以是组合问题．

题型二　简单的组合问题

【例2】　(多空题)有5名教师，其中3名男教师，2名女教师．

(1)现要从中选2名去参加会议，有__________种不同的选法；

(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有________种不同的选法；

(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有__________种不同的选法．

解析　(1)从5名教师中选2名去参加会议的选法种数，通过列举法可得共有10种不同的方法．

(2)可把问题分两类情况：

第1类，选出的2名是男教师，有3种方法；

第2类，选出的2名是女教师，有1种方法．

根据分类加法计数原理，共有3＋1＝4(种)不同选法．

(3)从3名男教师中选2名的选法有3种，从2名女教师中选2名的选法有1种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法3×1＝3(种)．

答案　(1)10　(2)4　(3)3

规律方法　(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．

(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用．

在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．

【训练2】　一个口袋内装有大小相同的4个白球和1个黑球．

(1)从口袋内取出的3个小球，共有多少种取法？

(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？

(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

解　(1)从口袋内的5个球中取出3个球，取法种数是10.

(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是需要从4个白球中取出2个，取法种数是6.

(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从4个白球中取出3个球，取法种数是4.

题型三　双重元素的组合问题

【例3】　某中学要从4名男生和3名女生中选4人参加公益活动，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有(　　)

A．25种   B．35种 

C．820种   D．840种

解析　分3类完成：男生甲参加，女生乙不参加，只需在其余5人中选3人，有10种选法；男生甲不参加，女生乙参加，只需在其余5人中选3人，有10种选法；两人都不参加，只需在其余5人中选4人，有5种选法．所以共有10＋10＋5＝25(种)不同的选派方案．

答案　A

规律方法　本题用到两个计数原理解题，两个原理的区别在于：前者每次得到的是最后结果，后者每次得到的是中间结果，即每次仅完成整件事情的一部分，当且仅当几个步骤全部做完后，整件事情才算完成．

【训练3】　某校开设A类选修课3门，B类选修课5门，一位同学要从中选3门．若要求两类课程中各至少选1门，则不同的选法共有(　　)

A．15种   B．30种  C．45种   D．90种

解析　分两类，A类选修课选1门，B选修课选2门，或者A类选修课选2门，B类选修课选1门，因此，共有3×10＋3×5＝45(种)选法．

答案　C

一、素养落地

1．通过本节课的学习，进一步提升数学抽象素养及逻辑推理素养．

2．排列与组合的联系与区别

(1)联系：二者都是从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素．

(2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序．

二、素养训练

1．(多选题)给出下列问题：

①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？

②有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法？

③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？

其中是组合问题的是(　　)

A.①   B．② 

C．③   D．没有

解析　①与顺序有关，是排列问题，②③均与顺序无关，是组合问题，故选BC.

答案　BC

2．在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各数位之和为偶数的共有(　　)

A．36个   B．24个 

C．18个   D．6个

解析　若各位数字之和为偶数，则只能两奇一偶，故在三个奇数中选二个共有3种选法，在两个偶数中选一个有2种选法，然后对三个数字全排列，共有3×2×A＝36(个)．

答案　A

3．某班级要从4名男生、2名女生中派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为(　　)

A．14   B．24 

C．28   D．48

解析　可分类完成．第1类，选派1名女生、3名男生，有2×4＝8(种)选派方案；

第2类，选派2名女生、2名男生，有1×6＝6(种)选派方案．

故共有8＋6＝14(种)不同的选派方案．

答案　A

4．有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成1个医疗小组，则不同的选法共有______种．

解析　从4名男医生中选2人，有6种选法．从3名女医生中选1人，有3种选法．由分步乘法计数原理知，所求选法种数为6×3＝18.

答案　18

5．(多空题)五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成__________条线段；如果是有向线段，共有__________条．

解析　从五个点中任取两个点恰好连成一条线段，这两个点没有顺序，所以是组合问题，连成的线段共有10(条)．再考虑有向线段的问题，这时两个点的先后排列次序不同则对应不同的有向线段，所以是排列问题，排列数是A＝20.所以有向线段共有20条．

答案　10　20

基础达标

一、选择题

1．以下四个问题，属于组合问题的是(　　)

A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列

B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌

C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星

D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地

解析　只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星与顺序无关，是组合问题．

答案　C

2．从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有(　　)

A．60种   B．36种 

C．10种   D．6种

解析　甲必须参加，因此只要从除甲之外的4人中选2人即可，有6(种)不同的选法．

答案　D

3．从4名女生和2名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，若按性别比例分层随机抽样，则不同的抽取方法数为(　　)

A．24   B．12 

C．56   D．28

解析　由分层随机抽样知，应从4名女生中抽取2名，从2名男生中抽取1名，所以按照分步乘法计数原理知，抽取2名女生和1名男生的方法数为6×2＝12.

答案　B

4．有5名男医生、4名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有(　　)

A．40种   B．50种 

C．60种   D．150种

解析　由题意知，选2名男医生、1名女医生的方法有10×4＝40(种)．

答案　A

5．用0，1，2，3，4，5六个数字，可以组成有重复数字的四位数的个数为(　　)

A．720   B．780 

C．760   D．790

解析　所有四位数的个数为5×6×6×6＝1 080(个)，没有重复数字的四位数有5A＝300(个)，所以有重复数字的四位数的个数为1 080－300＝780.

答案　B

二、填空题

6．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖、2名二等奖、3名三等奖，则可能的决赛结果共有__________种．

解析　根据题意，一等奖有6种选法，二等奖由剩余的5名选手中选2人，共有10种选法，其余的为三等奖，根据分步乘法计数原理所有可能的决赛结果有6×10＝60(种)．

答案　60

7．从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法有__________种．

解析　根据结果分类：第一类，两台甲型机，有6×5＝30(种)；第二类，两台乙型机，有4×10＝40(种)．根据分类加法计数原理，共有30＋40＝70(种)不同的取法．

答案　70

8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6的六个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的取法有__________种．

解析　从编号为1，2，3，4，5，6的六个球中任意取出两个球的方法有15(种)．

当两个球编号均为奇数时，得到的编号之积才为奇数，故取出的两个球的编号之积为奇数的方法有3(种)，

所以取出的两个球的编号之积为偶数的方法有15－3＝12(种)．

答案　12

三、解答题

9．袋中装有大小相同标号不同的白球4个，黑球5个，从中任取3个球．

(1)取出的3球中有2个白球，1个黑球的结果有几个？

(2)取出的3球中至少有2个白球的结果有几个？

解　(1)从4个白球中取2个，有6种方法，从5个黑球中取1个，有5种方法，故取出的3球中有2个白球、1个黑球的结果有6×5＝30(种)．

(2)取出的3球中至少有2个白球，有2白1黑及三白两种情况，故有6×5＋4＝34(种)不同的结果．

10．从5名男生和4名女生中选出3名学生参加一次会议，要求至少有1名女生参加，有多少种选法？

解　问题可以分成三类．

第一类，从5名男生中选出2名男生，从4名女生中选出1名女生，有10×4＝40(种)选法；

第二类，从5名男生中选出1名男生，从4名女生中选出2名女生，有5×6＝30(种)选法；

第三类，从4名女生中选出3名女生，有4种选法．

根据分类加法计数原理，共有40＋30＋4＝74(种)选法．

能力提升

11．现有6个白球，4个黑球，任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是(　　)

A．115   B．90 

C．210   D．385

解析　依题意根据取法可分为三类：两个黑球两个白球，有6×15＝90(种)；三个黑球一个白球，有4×6＝24(种)；四个黑球无白球，有1种．根据分类加法计数原理可得，至少有两个黑球的取法种数是90＋24＋1＝115，故选A.

答案　A

12．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)．现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？

解　可以分三类．

第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有6×3＝18(种)选法；

第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有4×3＝12(种)选法；

第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有4×3＝12(种)选法．

根据分类加法计数原理，一共有18＋12＋12＝42(种)不同的选法．

创新猜想

13．(多选题)下列问题是组合问题的是(　　)

A．把5本不同的书分给5个学生，每人一本

B．从7本不同的书中取出5本给某个同学

C．10个人相互写一封信，共写了几封信

D．10个人互相通一次电话，共通了几次电话

解析　A由于书不同，每人每次拿到的也不同，有顺序之分，故它是排列问题；B从7本不同的书中，取出5本给某个同学，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题；C因为两人互写一封信与写信人与收信人的顺序有关，故它是排列问题；D因为互通电话一次没有顺序之分，故它是组合问题．

答案　BD

14．(多空题)从1，2，3，6，9中任取两个不同的数相乘，则不同的乘积结果有________种，乘积为偶数的取法有________种．

解析　从五个不同的数中任取两个数共有10种不同的取法，不同的乘积结果有1×2＝2，1×3＝3，1×6＝2×3＝6，1×9＝9，2×6＝12，2×9＝3×6＝18，3×9＝27，6×9＝54，所以不同的乘积结果有8种，其中乘积为偶数的有(1，2)，(1，6)，(2，3)，(2，6)，(2，9)，(3，6)，(6，9)共7种取法．

答案　8　7