高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.2 离散型随机变量及其分布列第二课时导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.2 离散型随机变量及其分布列第二课时导学案，共15页。


在迎奥运会射击比赛训练中，统计某运动员的射击结果可知，该运动员射击所中环数均在7环(含7环)以上，已知该运动员射击一次命中7环的概率为0.1，射击一次命中7环、8环、9环、10环的概率依次成等差数列．
问题 你能知道该运动员射击命中环数的概率分布情况吗？
提示 通过学习本节课的离散型随机变量的分布列及其性质，我们可以很快解决此类问题．
1．离散型随机变量的分布列
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和
(1)离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为 x1，x2，…，xn ，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称为分布列．
(2)可以用表格来表示X的分布列，如下表
还可以用图形表示，如下图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列，称为X的概率分布图．
2．离散型随机变量的分布列的性质
(1)pi≥0，i＝1，2，…，n；
(2) p1＋p2＋…＋pn＝1.
3．两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，eq \(A,\s\up6(－))表示“失败”，定义X＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，A发生，,0，\(A,\s\up6(－))发生.))如果P(A)＝p，则P(eq \(A,\s\up6(－)))＝1－p，那么X的分布列如表所示
我们称X服从两点分布或0－1分布．
拓展深化
[微判断]
1．在离散型随机变量分布列中随机变量的每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．(×)
提示 概率必须满足pi≥0才行．
2．在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．(×)
提示 在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和．
3．在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.(√)
[微训练]
1．设离散型随机变量X的概率分布列如下表：
则p的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,6)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4)
解析 由分布列的性质，知eq \f(1,6)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,6)＋p＝1，故p＝eq \f(1,3).
答案 C
2．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝eq \f(1,2k)，k＝1，2，…，则P(2＜X≤4)＝__________．
解析 P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq \f(1,23)＋eq \f(1,24)＝eq \f(3,16).
答案 eq \f(3,16)
[微思考]
1．抛掷一枚骰子，朝上的一面所得点数X有哪些值？取每个值的概率是多少？
提示 X的取值有1，2，3，4，5，6，
则P(X＝1)＝eq \f(1,6)，P(X＝2)＝eq \f(1,6)，P(X＝3)＝eq \f(1,6)，P(X＝4)＝eq \f(1,6)，P(X＝5)＝eq \f(1,6)，P(X＝6)＝eq \f(1,6).
2．离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的吗？
提示 是．离散型随机变量的各个可能值表示的事件不会同时发生，是彼此互斥的.
题型一 求离散型随机变量的分布列
【例1】 为检测某产品的质量，现抽取5件产品，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：毫克)，测量数据如下：
如果产品中的微量元素x，y满足x≥177且y≥79时，该产品为优等品．
现从上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数X的分布列．
解 5件抽测品中有2件优等品，则X的可能取值为0，1，2.
P(X＝0)＝eq \f(Ceq \\al(2,3),Ceq \\al(2,5))＝0.3，
P(X＝1)＝eq \f(Ceq \\al(1,3)·Ceq \\al(1,2),Ceq \\al(2,5))＝0.6，
P(X＝2)＝eq \f(Ceq \\al(2,2),Ceq \\al(2,5))＝0.1.
∴优等品数X的分布列为
规律方法 求离散型随机变量分布列的步骤
(1)首先确定随机变量X的取值；
(2)求出每个取值对应的概率；
(3)列表对应，即为分布列．
【训练1】 某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人．现从中抽1人，其血型为随机变量X，求X的分布列．
解 将O，A，B，AB四种血型分别编号为1，2，3，4，则X的可能取值为1，2，3，4.
P(X＝1)＝eq \f(Ceq \\al(1,10),Ceq \\al(1,45))＝eq \f(2,9)，P(X＝2)＝eq \f(Ceq \\al(1,12),Ceq \\al(1,45))＝eq \f(4,15)，
P(X＝3)＝eq \f(Ceq \\al(1,8),Ceq \\al(1,45))＝eq \f(8,45)，P(X＝4)＝eq \f(Ceq \\al(1,15),Ceq \\al(1,45))＝eq \f(1,3).
故其分布列为
题型二 分布列的性质及其应用
【例2】 设离散型随机变量X的分布列为
求：(1)2X＋1的分布列；
(2)|X－1|的分布列．
解 由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，
∴m＝0.3.
首先列表为
从而由上表得两个分布列为
(1)2X＋1的分布列
(2)|X－1|的分布列
规律方法 离散型随机变量的分布列的性质的应用
(1)通过性质建立关系，求得参数的取值或范围，进一步求出概率，得出分布列．
(2)求对立事件的概率或判断某概率是否成立．
【训练2】 (1)已知离散型随机变量X的分布列为
则k的值为( )
A.eq \f(1,2) B．1 C．2 D．3
解析 由eq \f(k,n)＋eq \f(k,n)＋…＋eq \f(k,n)＝1，得eq \f(nk,n)＝1，即k＝1.
答案 B
(2)设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝eq \f(k,2i)(i＝1，2，3)，则P(X≥2)＝__________．
解析 由已知得随机变量X的分布列为
∴eq \f(k,2)＋eq \f(k,4)＋eq \f(k,8)＝1，∴k＝eq \f(8,7).
∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq \f(k,4)＋eq \f(k,8)＝eq \f(2,7)＋eq \f(1,7)＝eq \f(3,7).
答案 eq \f(3,7)
题型三 两点分布
【例3】 袋中有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记X＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0，两球全红，,1，两球非全红，))求随机变量X的分布列．
解 由题意知，X服从两点分布，P(X＝0)＝eq \f(Ceq \\al(2,6),Ceq \\al(2,11))＝eq \f(3,11)，所以P(X＝1)＝1－eq \f(3,11)＝eq \f(8,11).
所以随机变量X的分布列为
规律方法 两点分布的4个特点
(1)两点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的；
(2)两点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0；
(3)由互斥事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))；
(4)在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，就可以利用两点分布来研究它．
【训练3】 已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的分布列．
解 由题意知，X服从两点分布，P(X＝0)＝eq \f(Ceq \\al(2,199),Ceq \\al(2,200))＝eq \f(99,100)，
所以P(X＝1)＝1－eq \f(99,100)＝eq \f(1,100).
所以随机变量X的分布列为
一、素养落地
1．通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养．
2．离散型随机变量的分布列，不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到取每一个值时的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况．
3．一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
二、素养训练
1．已知随机变量X的分布列如下：
则P(X＝10)等于( )
A.eq \f(2,39) B.eq \f(2,310)
C.eq \f(1,39) D.eq \f(1,310)
解析 P(X＝10)＝1－eq \f(2,3)－…－eq \f(2,39)＝eq \f(1,39).
答案 C
2．已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
解析 ∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
由分布列的性质得a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝eq \f(1,3).
∴P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1)
＝1－P(X＝0)＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).
答案 D
3．已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)：
则下列计算结果错误的是( )
A．a＝0.1 B．P(X≥2)＝0.7
C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3
解析 易得a＝0.1，P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.7，P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.3，P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.3，故C错误．
答案 C
4．设X是一个离散型随机变量，其分布列为
则P(X≤0)＝__________．
解析 由分布列的性质，得1－2q≥0，q2≥0，
eq \f(1,2)＋(1－2q)＋q2＝1，
所以q＝1－eq \f(\r(2),2)，q＝1＋eq \f(\r(2),2)(舍去)．
P(X≤0)＝P(X＝－1)＋P(X＝0)
＝eq \f(1,2)＋1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(2),2)))＝eq \r(2)－eq \f(1,2).
答案 eq \r(2)－eq \f(1,2)
5．若离散型随机变量X的分布列为：
试求出离散型随机变量X的分布列．
解 由已知可得9c2－c＋3－8c＝1，
∴9c2－9c＋2＝0，∴c＝eq \f(1,3)或eq \f(2,3).
检验：当c＝eq \f(1,3)时，9c2－c＝9×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)＞0，3－8c＝3－eq \f(8,3)＝eq \f(1,3)＞0；
当c＝eq \f(2,3)时，9c2－c＝9×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)－eq \f(2,3)＞1，3－8c＝3－eq \f(16,3)＜0(不适合，舍去)．
故c＝eq \f(1,3).
故所求分布列为
基础达标
一、选择题
1．设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么( )
A．n＝3 B．n＝4
C．n＝10 D．n＝9
解析 由题意知P(X<4)＝3P(X＝1)＝0.3，
∴P(X＝1)＝0.1，又nP(X＝1)＝1，∴n＝10.
答案 C
2．若随机变量X的分布列如下：
则当P(XA．(－∞，1] B．[1，2]
C．(1，2] D．[1，2)
解析 由分布列知，
P(X＝－2)＋P(X＝－1)＋P(X＝0)＋P(X＝1)
＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8，
∴P(X<2)＝0.8，故1答案 C
3．某射手射击所得环数X的分布列为
则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为( )
A．0.28 B．0.88
C．0.79 D．0.51
解析 P(X>7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.
答案 C
4．下列表中能成为随机变量X的分布列的是( )
解析 选项A、D不满足分布列的概率和为1，选项B不满足分布列的概率为非负数．
答案 C
5．若离散型随机变量X的分布列如表所示，则a的值为( )
A.eq \f(1,3) B．－2
C.eq \f(1,3)或－2 D.eq \f(1,2)
解析 由分布列的性质，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a－1＋3a2＋a＝1，,0≤4a－1≤1，,0≤3a2＋a≤1，))
解得a＝eq \f(1,3).
答案 A
二、填空题
6．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量X，则Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)≤X≤\f(5,3)))＝________．
解析 设二级品有k个，则一级品有2k个，三级品有eq \f(k,2)个，总数为eq \f(7,2)k个．∴X的分布列为
∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)≤X≤\f(5,3)))＝P(X＝1)＝eq \f(4,7).
答案 eq \f(4,7)
7．由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下：
根据该表可知X取奇数值时的概率是__________．
解析 由离散型随机变量的分布列的性质，可求得P(X＝3)＝0.25，P(X＝5)＝0.15，故X取奇数值时的概率为P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6.
答案 0.6
8．一批产品分为四级，其中一级产品是二级产品的两倍，三级产品是二级产品的一半，四级产品与三级产品相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量X，则P(X＞1)＝__________．
解析 依题意，P(X＝1)＝2P(X＝2)，P(X＝3)＝eq \f(1,2)P(X＝2)，P(X＝3)＝P(X＝4)，由分布列性质得
P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝1，
则4P(X＝2)＝1，
即P(X＝2)＝eq \f(1,4)，P(X＝3)＝P(X＝4)＝eq \f(1,8).
∴P(X＞1)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq \f(1,2).
答案 eq \f(1,2)
三、解答题
9．将一枚骰子掷两次，第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数的差为X，求X的分布列．
解 第一次掷出的点数与第二次掷出的点数的差X的可能取值为－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，
则P(X＝－5)＝eq \f(1,36)，
P(X＝－4)＝eq \f(2,36)＝eq \f(1,18)，
…，
P(X＝5)＝eq \f(1,36).
故X的分布列为
10.设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.
(1)设“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举事件A包含的基本事件；
(2)设X＝m2，求X的分布列．
解 (1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，
即S＝{x|－2≤x≤3}．
由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，
所以事件A包含的基本事件为
(－2，2)，(2，－2)，(－1，1)，(1，－1)，(0，0)．
(2)由于m的所有不同取值为－2，－1，0，1，2，3，
所以X＝m2的所有不同取值为0，1，4，9，且有
P(X＝0)＝eq \f(1,6)，
P(X＝1)＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)，
P(X＝4)＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)，
P(X＝9)＝eq \f(1,6).
故X的分布列为
能力提升
11．已知随机变量X只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是( )
A．[0，eq \f(1,3)] B．[－eq \f(1,3)，eq \f(1,3)]
C．[－3，3] D．[0，1]
解析 设随机变量X取x1，x2，x3的概率分别为a－d，a，a＋d，则由分布列的性质得
(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，故a＝eq \f(1,3)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－d≥0，,\f(1,3)＋d≥0，))解得－eq \f(1,3)≤d≤eq \f(1,3).
答案 B
12．设随机变量X的分布列为P(X＝eq \f(k,5))＝ak(k＝1，2，3，4，5)．
(1)求常数a的值；
(2)求Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X≥\f(3,5)))；
(3)求Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)＜X＜\f(7,10))).
解 由题意，所给分布列为
(1)由分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得
a＝eq \f(1,15).
(2)Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X≥\f(3,5)))＝Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝\f(3,5)))＋Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝\f(4,5)))＋Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝\f(5,5)))
＝eq \f(3,15)＋eq \f(4,15)＋eq \f(5,15)＝eq \f(4,5)，
或Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X≥\f(3,5)))＝1－Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X≤\f(2,5)))＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,15)＋\f(2,15)))＝eq \f(4,5).
(3)∵eq \f(1,10)＜X＜eq \f(7,10)，∴X＝eq \f(1,5)，eq \f(2,5)，eq \f(3,5).
∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)＜X＜\f(7,10)))＝Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝\f(1,5)))＋Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝\f(2,5)))＋
Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝\f(3,5)))＝eq \f(1,15)＋eq \f(2,15)＋eq \f(3,15)＝eq \f(2,5).
创新猜想
13．(多选题)下列问题中的随机变量服从两点分布的是( )
A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X
B．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X
C．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，取出白球,0，取出红球))
D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X
解析 只有A中随机变量X的取值有6个，不服从两点分布．
答案 BCD
14．(多空题)随机变量Y的分布列如下：
则x＝__________，P(Y≤3)＝__________．
解析 由分布列的性质得
0．2＋x＋0.35＋0.1＋0.1＋0.2＝1，解得x＝0.05.
故P(Y≤3)＝P(Y＝1)＋P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝0.2＋0.05＋0.35＝0.6.
答案 0.05 0.6课标要求
素养要求
1.通过具体实例，理解离散型随机变量的分布列.
2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质.
通过研究离散型随机变量的分布列及其性质，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养.
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
X
0
1
P
1－p
p
X
1
2
3
4
P
eq \f(1,6)
eq \f(1,3)
eq \f(1,6)
p
编号
1
2
3
4
5
x
169
178
166
177
180
y
75
80
77
70
81
X
0
1
2
P
0.3
0.6
0.1
X
1
2
3
4
P
eq \f(2,9)
eq \f(4,15)
eq \f(8,45)
eq \f(1,3)
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
X
0
1
2
3
4
2X＋1
1
3
5
7
9
|X－1|
1
0
1
2
3
2X＋1
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
|X－1|
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.3
0.3
X
1
2
3
…
n
P
eq \f(k,n)
eq \f(k,n)
eq \f(k,n)
…
eq \f(k,n)
X
1
2
3
P
eq \f(k,2)
eq \f(k,4)
eq \f(k,8)
X
0
1
P
eq \f(3,11)
eq \f(8,11)
X
0
1
P
eq \f(99,100)
eq \f(1,100)
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P
eq \f(2,3)
eq \f(2,32)
eq \f(2,33)
eq \f(2,34)
eq \f(2,35)
eq \f(2,36)
eq \f(2,37)
eq \f(2,38)
eq \f(2,39)
m
X
－1
0
1
P
a
b
c
X
0
1
2
3
4
P
0.1
0.2
0.4
0.2
a
X
－1
0
1
P
eq \f(1,2)
1－2q
q2
X
0
1
P
9c2－c
3－8c
X
0
1
P
eq \f(2,3)
eq \f(1,3)
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
X
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
X
－1
1
P
4a－1
3a2＋a
X
1
2
3
P
eq \f(4,7)
eq \f(2,7)
eq \f(1,7)
X
1
2
3
4
5
6
P
0.20
0.10
0.□5
0.10
0.1□
0.20
X
－5
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
5
P
eq \f(1,36)
eq \f(1,18)
eq \f(1,12)
eq \f(1,9)
eq \f(5,36)
eq \f(1,6)
eq \f(5,36)
eq \f(1,9)
eq \f(1,12)
eq \f(1,18)
eq \f(1,36)
X
0
1
4
9
P
eq \f(1,6)
eq \f(1,3)
eq \f(1,3)
eq \f(1,6)
X
eq \f(1,5)
eq \f(2,5)
eq \f(3,5)
eq \f(4,5)
eq \f(5,5)
P
a
2a
3a
4a
5a
Y
1
2
3
4
5
6
P
0.2
x
0.35
0.1
0.1
0.2