高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.4 二项分布与超几何分布导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.4 二项分布与超几何分布导学案，共12页。

2020年春节前一场新型冠状病毒肺炎像场风一样，席卷了全国，中国湖北成为重灾区，为了更好地支援湖北抗击疫情，某医院派出16名护士，4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去黄冈支援，设X表示其中内科医生的人数．
问题 X的可能取值有哪些，你能求出当X＝2时对应的概率吗？这里的X的概率分布有怎样的规律？
提示 X的可能取值为0，1，2，3，其中P(X＝2)＝ eq \f(Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,16),Ceq \\al(3,20))，X的概率分布符合超几何分布，这就是这节课我们要重点研究的问题．
1．超几何分布
超几何分布模型是一种不放回抽样
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
P(X＝k)＝eq \f(Ceq \\al(k,M)Ceq \\al(n－k,N－M),Ceq \\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.
其中n，N，M∈N* ，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
2．超几何分布的期望
E(X)＝eq \f(nM,N)＝np(p为N件产品的次品率)．
拓展深化
[微判断]
1．超几何分布的总体里只有两类物品．(√)
2．超几何分布的模型是不放回抽样．(√)
3．超几何分布与二项分布的期望值都为np.(√)
[微训练]
1．设袋中有80个红球、20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为( )
A.eq \f(Ceq \\al(4,80)Ceq \\al(6,10),Ceq \\al(10,100)) B.eq \f(Ceq \\al(6,80)Ceq \\al(4,10),Ceq \\al(10,100))
C.eq \f(Ceq \\al(4,80)Ceq \\al(6,20),Ceq \\al(10,100)) D.eq \f(Ceq \\al(6,80)Ceq \\al(4,20),Ceq \\al(10,100))
解析 取出的红球个数服从参数为N＝100，M＝80，n＝10的超几何分布．由超几何分布的概率公式，知从中取出的10个球中恰有6个红球的概率为eq \f(Ceq \\al(6,80)Ceq \\al(4,20),Ceq \\al(10,100)).
答案 D
2．在含有5名男生的100名学生中，任选3人，求恰有2名男生的概率表达式为______．
解析 由超几何分布的概率公式得所求概率表达式为eq \f(Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(1,95),Ceq \\al(3,100)).
答案 eq \f(Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(1,95),Ceq \\al(3,100))
[微思考]
超几何分布模型在形式上有怎样的特点？
提示 在形式上适合超几何分布的模型常由较明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”等．
题型一 利用超几何分布的公式求概率
【例1】 在元旦晚会上，数学老师设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率(结果保留两位小数)．
解 设摸出红球的个数为X，则X服从超几何分布，其中N＝30，M＝10，n＝5，于是中奖的概率为
P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)
＝eq \f(Ceq \\al(3,10)Ceq \\al(5－3,20),Ceq \\al(5,10＋20))＋eq \f(Ceq \\al(4,10)Ceq \\al(5－4,20),Ceq \\al(5,10＋20))＋eq \f(Ceq \\al(5,10)Ceq \\al(5－5,20),Ceq \\al(5,10＋20))
＝eq \f(120×190＋210×20＋252,Ceq \\al(5,30))＝eq \f(27 252,142 506)≈0.19.
规律方法 超几何分布是一种常见的随机变量的分布，所求概率分布问题由明显的两部分组成，或可转化为明显的两部分.
【训练1】 某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为( )
A.eq \f(8,15) B.eq \f(7,15)
C.eq \f(4,15) D.eq \f(1,15)
解析 由题意可得所求概率为eq \f(Ceq \\al(1,7)Ceq \\al(1,3),Ceq \\al(2,10))＋eq \f(Ceq \\al(0,7)Ceq \\al(2,3),Ceq \\al(2,10))＝eq \f(8,15).
答案 A
题型二 超几何分布的分布列
【例2】 某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．
解 (1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人．
代表队中的学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为eq \f(Ceq \\al(3,3)Ceq \\al(3,4),Ceq \\al(3,6)Ceq \\al(3,6))＝eq \f(1,100).
因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为
1－eq \f(1,100)＝eq \f(99,100).
(2)根据题意，知X的所有可能取值为1，2，3.
P(X＝1)＝eq \f(Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(3,3),Ceq \\al(4,6))＝eq \f(1,5)，
P(X＝2)＝eq \f(Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(2,3),Ceq \\al(4,6))＝eq \f(3,5)，
P(X＝3)＝eq \f(Ceq \\al(3,3)Ceq \\al(1,3),Ceq \\al(4,6))＝eq \f(1,5).
所以X的分布列为
规律方法 解决超几何分布问题的两个关键点
(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．
(2)超几何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．
【训练2】 从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．
(1)求所选3人中恰有一名男生的概率；
(2)求所选3人中男生人数X的分布列．
解 (1)所选3人中恰有一名男生的概率P＝eq \f(Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(1,4),Ceq \\al(3,9))＝eq \f(10,21).
(2)X的可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝eq \f(Ceq \\al(3,5),Ceq \\al(3,9))＝eq \f(5,42)，
P(X＝1)＝eq \f(Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(1,4),Ceq \\al(3,9))＝eq \f(10,21)，
P(X＝2)＝eq \f(Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(2,4),Ceq \\al(3,9))＝eq \f(5,14)，
P(X＝3)＝eq \f(Ceq \\al(3,4),Ceq \\al(3,9))＝eq \f(1,21).
∴X的分布列为
题型三 超几何分布的综合应用
【例3】 某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列及期望．
解 (1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝eq \f(Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,7)＋Ceq \\al(0,3)Ceq \\al(3,7),Ceq \\al(3,10))＝eq \f(49,60).所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为eq \f(49,60).
(2)依据条件，随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝4，n＝3，且随机变量X的可能值为0，1，2，3.
P(X＝k)＝eq \f(Ceq \\al(k,4)Ceq \\al(3－k,6),Ceq \\al(3,10))(k＝0，1，2，3)．
所以随机变量X的分布列是
所以随机变量X的期望值为E(X)＝0×eq \f(1,6)＋1×eq \f(1,2)＋2×eq \f(3,10)＋3×eq \f(1,30)＝1.2(或E(X)＝eq \f(3×4,10)＝1.2)．
规律方法 超几何分布均值的计算公式
若一个随机变量X的分布列服从超几何分布，则E(X)＝eq \f(nM,N).
【训练3】 一个口袋内有n(n＞3)个大小相同的球，其中有3个红球和(n－3)个白球．已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是eq \f(3,5).不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数X的期望E(X)．
解 ∵从口袋中随机取出一个球是红球的概率是eq \f(3,5)，
∴eq \f(3,n)＝eq \f(3,5)，∴n＝5，
∴5个球中有2个白球．
白球的个数X可取0，1，2.
P(X＝0)＝eq \f(Ceq \\al(3,3),Ceq \\al(3,5))＝eq \f(1,10)，
P(X＝1)＝eq \f(Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,2),Ceq \\al(3,5))＝eq \f(3,5)，
P(X＝2)＝eq \f(Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,2),Ceq \\al(3,5))＝eq \f(3,10)，
∴E(X)＝eq \f(1,10)×0＋eq \f(3,5)×1＋eq \f(3,10)×2＝eq \f(6,5).
一、素养落地
1．通过本节课的学习，提升数学抽象及数据分析素养．
2．超几何分布：超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N，M和n就可以根据公式：P(X＝k)＝eq \f(Ceq \\al(k,M)Ceq \\al(n－k,N－M),Ceq \\al(n,N))求出X取不同k值时的概率．
3．超几何分布模型是一种不放回抽样．
二、素养训练
1．今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，则出现二级品的概率为( )
A.eq \f(Ceq \\al(3,5),Ceq \\al(3,50)) B.eq \f(Ceq \\al(1,5)＋Ceq \\al(2,5)＋Ceq \\al(3,5),Ceq \\al(3,50))
C．1－eq \f(Ceq \\al(3,45),Ceq \\al(3,50)) D.eq \f(Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(2,5)＋Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(1,45),Ceq \\al(3,50))
解析 出现二级品的情况较多，可以考虑不出现二级品概率为eq \f(Ceq \\al(3,45),Ceq \\al(3,50))，故答案为1－eq \f(Ceq \\al(3,45),Ceq \\al(3,50)).
答案 C
2．已知在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于eq \f(Ceq \\al(4,7)Ceq \\al(6,8),Ceq \\al(10,15))的是( )
A．P(X＝2)B．P(X≤2)
C．P(X＝4) D．P(X≤4)
解析 X服从超几何分布，∴P(X＝4)＝eq \f(Ceq \\al(4,7)Ceq \\al(6,8),Ceq \\al(10,15)).
答案 C
3．从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生的人数不超过1人的概率为__________．
解析 设所选女生数为随机变量X，X服从超几何分布，
P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq \f(Ceq \\al(0,2)Ceq \\al(3,4),Ceq \\al(3,6))＋eq \f(Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,4),Ceq \\al(3,6))＝eq \f(4,5).
答案 eq \f(4,5)
4．从含有5个红球和3个白球的袋中任取3球，则所取出的3个球中恰有1个红球的概率为__________．
解析 设所取出的3个球中红球的个数为X，则X服从超几何分布，所以P(X＝1)＝eq \f(Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(2,3),Ceq \\al(3,8))＝eq \f(15,56).
答案 eq \f(15,56)
5．交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，若摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列．
解 设抽奖人所得钱数为随机变量X，则X＝2，6，10.
P(X＝2)＝eq \f(Ceq \\al(2,8),Ceq \\al(2,10))＝eq \f(28,45)，
P(X＝6)＝eq \f(Ceq \\al(1,8)Ceq \\al(1,2),Ceq \\al(2,10))＝eq \f(16,45)，
P(X＝10)＝eq \f(Ceq \\al(2,2),Ceq \\al(2,10))＝eq \f(1,45).
故X的分布列为
基础达标
一、选择题
1．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的概率为( )
A.eq \f(Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(2,48),Ceq \\al(5,52)) B.eq \f(Ceq \\al(3,48)Ceq \\al(2,4),Ceq \\al(5,52))
C．1－eq \f(Ceq \\al(1,48)Ceq \\al(4,4),Ceq \\al(5,52)) D.eq \f(Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(2,48)＋Ceq \\al(4,4)Ceq \\al(1,48),Ceq \\al(5,52))
解析 设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，则P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq \f(Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(2,48),Ceq \\al(5,52))＋eq \f(Ceq \\al(4,4)Ceq \\al(1,48),Ceq \\al(5,52)).
答案 D
2．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是( )
A.eq \f(1,50) B.eq \f(1,25)
C.eq \f(1,825) D.eq \f(1,4 950)
解析 记X为抽出的2张中的中奖数，则P(X＝2)＝eq \f(Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(0,96),Ceq \\al(2,100))＝eq \f(1,825).
答案 C
3．设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中至多3个红球的概率为( )
A.eq \f(Ceq \\al(3,8)Ceq \\al(1,4),Ceq \\al(4,12)) B.eq \f(Ceq \\al(1,8)Ceq \\al(3,4)＋Ceq \\al(2,8)Ceq \\al(2,4),Ceq \\al(4,12))
C．1－eq \f(Ceq \\al(4,4),Ceq \\al(4,12)) D．1－eq \f(Ceq \\al(4,8),Ceq \\al(4,12))
解析 从袋中任取4个球，其中红球的个数X服从参数为N＝12，M＝8，n＝4的超几何分布，故至多3个红球的概率为P(X≤3)＝1－P(X＝4)＝1－eq \f(Ceq \\al(4,8),Ceq \\al(4,12)).
答案 D
4．一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于eq \f(Ceq \\al(1,22)Ceq \\al(1,4)＋Ceq \\al(2,22),Ceq \\al(2,26))的是( )
A．P(0