高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布本章综合与测试学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布本章综合与测试学案设计，共11页。学案主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为X，则 “X＝5” 表示的试验结果是( )
A．第5次击中目标 B．第5次未击中目标
C．前4次未击中目标 D．第4次击中目标
解析 击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为X＝5，则说明前4次均未击中目标．
答案 C
2．4个高尔夫球中有3个合格、1个不合格，每次任取一个，不放回地取两次．若第一次取到合格的高尔夫球，则第二次取到合格高尔夫球的概率为( )
A.eq \f(1,2)B.eq \f(2,3)
C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,5)
解析 法一 记事件A为“第一次取到的是合格高尔夫球”，事件B为“第二次取到的是合格高尔夫球”．
由题意可得P(AB)＝eq \f(3×2,4×3)＝eq \f(1,2)，P(A)＝eq \f(3×3,4×3)＝eq \f(3,4)，
所以P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)＝eq \f(\f(1,2),\f(3,4))＝eq \f(2,3).
法二 记事件A为“第一次取到的是合格高尔夫球”，
事件B为“第二次取到的是合格高尔夫球”．
由题意可得事件AB发生所包含的样本点数n(AB)＝3×2＝6，事件A发生所包含的样本点数n(A)＝3×3＝9，
所以P(B|A)＝eq \f(n（AB）,n（A）)＝eq \f(6,9)＝eq \f(2,3).
答案 B
3．设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(i)(i＝1，2，3)，则a的值为( )
A．1 B.eq \f(9,13)
C.eq \f(11,13) D.eq \f(27,13)
解析 因为P(X＝1)＝eq \f(a,3)，P(X＝2)＝eq \f(a,9)，P(X＝3)＝eq \f(a,27)，所以eq \f(a,3)＋eq \f(a,9)＋eq \f(a,27)＝1，所以a＝eq \f(27,13).
答案 D
4．已知某一随机变量X的概率分布列如下，且E(X)＝6.3，则a的值为( )
A.5 B．6
C．7 D．8
解析 由分布列性质知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4.
∴E(X)＝4×0.5＋a·0.1＋9×0.4＝6.3，∴a＝7.
答案 C
5．若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10，\f(1,2)))，则该随机变量的方差等于( )
A．10 B．100
C.eq \f(2,π) D.eq \r(\f(2,π))
解析 由正态分布密度曲线上的最高点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10，\f(1,2)))知eq \f(1,\r(2π)·σ)＝eq \f(1,2)，即σ＝eq \f(\r(2),\r(π))，∴D(X)＝σ2＝eq \f(2,π).
答案 C
6．设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝eq \f(5,9)，则D(3Y＋1)＝( )
A．2 B．3
C．6 D．7
解析 由题意得P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)
＝Ceq \\al(1,2)p(1－p)＋Ceq \\al(2,2)p2＝eq \f(5,9)，
所以p＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p＝\f(5,3)舍去))，则Y～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,3)))，
故D(Y)＝3×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＝eq \f(2,3)，
所以D(3Y＋1)＝9D(Y)＝9×eq \f(2,3)＝6.
答案 C
7．如果正态分布总体的数据落在(－3，－1)内的概率和落在(3，5)内的概率相等，那么这个正态分布总体的数学期望是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 正态分布总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，区间(－3，－1)和(3，5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．因为正态曲线关于直线x＝μ对称，μ的意义就是期望，而区间(－3，－1)和(3，5)关于x＝1对称，所以正态分布总体的数学期望是1.
答案 B
8．若同时抛掷两枚骰子，当至少有5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在3次试验中至少有1次成功的概率是( )
A.eq \f(125,729) B.eq \f(80,243)
C.eq \f(665,729) D.eq \f(100,243)
解析 一次试验中，至少有5点或6点出现的概率为
1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＝1－eq \f(4,9)＝eq \f(5,9)，
设X为3次试验中成功的次数，则X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(5,9)))，
故所求概率P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－Ceq \\al(0,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,9)))eq \s\up12(0)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9)))eq \s\up12(3)＝eq \f(665,729).
答案 C
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知离散型随机变量X的分布列如下：
下列选项中正确的是( )
A．a的值为0.1 B．E(X)＝0.44
C．E(X)＝ 1.4 D．D(X)＝1.4
解析 由离散型随机变量的性质知a＋4a＋5a＝1，∴a＝0.1.∴P(X＝0)＝0.1，P(X＝1)＝0.4，P(X＝2)＝0.5，∴均值E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.5＝1.4；方差D(X)＝(0－1.4)2×0.1＋(1－1.4)2×0.4＋(2－1.4)2×0.5＝0.196＋0.064＋0.18＝0.44.
答案 AC
10．已知随机变量X～B(n，p)，若E(X)＝4，Y＝2X＋3，D(Y)＝3.2，则下列结论正确的是( )
A．n＝4 B．n＝5
C．p＝0.8 D．P(X＝2)＝ eq \f(32,625)
解析 由已知np＝4，4np(1－p)＝3.2，∴n＝5，p＝0.8，∴P(X＝2)＝Ceq \\al(2,5)p2(1－p)3＝eq \f(32,625).
答案 BCD
11．某商家进行促销活动，促销方案是顾客每消费1 000元，便可以获得奖券1张，每张奖券中奖的概率为eq \f(1,5)，若中奖，则商家返还中奖的顾客现金1 000元．小王购买一套价格为2 400元的西服，只能得到2张奖券，于是小王补偿50元给一同事购买了一件价格为600元的便服，这样小王就得到了3张奖券．设小王这次消费的实际支出为X(元)，则下列说法正确的是( )
A．X的可能取值为2 450，1 450，450，－550
B．P(X＝2 450)＝eq \f(1,125)
C．P(X＝－550)＝eq \f(1,125)
D．E(X)＝1 850
解析 根据题意知，X的可能取值为2 450，1 450，450，－550，且P(X＝2 450)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))eq \s\up12(3)＝eq \f(64,125)，P(X＝1 450)＝Ceq \\al(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))eq \s\up12(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))eq \s\up12(2)＝eq \f(48,125)，P(X＝450)＝Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))eq \s\up12(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))eq \s\up12(1)＝eq \f(12,125)，P(X＝－550)＝Ceq \\al(3,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))eq \s\up12(3)＝eq \f(1,125)，
∴E(X)＝2 450×eq \f(64,125)＋1 450×eq \f(48,125)＋450×eq \f(12,125)＋(－550)×eq \f(1,125)＝1 850.
答案 ACD
12．某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会均等)，记A为“男生甲被选中”，B为“男生乙和女生丙至少一个被选中”，则下列结论中正确的是( )
A．P(A)＝eq \f(3,7) B．P(B)＝eq \f(2,7)
C．P(AB)＝eq \f(9,35) D．P(B|A)＝eq \f(3,5)
解析 由题意，得P(A)＝eq \f(Ceq \\al(2,6),Ceq \\al(3,7))＝eq \f(3,7)，P(AB)＝eq \f(Ceq \\al(1,4)＋Ceq \\al(1,4)＋1,Ceq \\al(3,7))＝eq \f(9,35)，P(B)＝1－eq \f(Ceq \\al(3,5),Ceq \\al(3,7))＝eq \f(5,7)，
由条件概率公式可得P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)＝eq \f(3,5).故选ACD.
答案 ACD
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．袋中有4只红球、3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X≤6)＝__________．
解析 P(X≤6)＝P(X＝4)＋P(X＝6)
＝eq \f(Ceq \\al(4,4)＋Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(1,3),Ceq \\al(4,7))＝eq \f(13,35).
答案 eq \f(13,35)
14．设一次试验成功的概率为p，进行100重伯努利试验，则当p＝__________时，成功次数的方差的值最大，其最大值为__________．(本题第一空3分，第二空2分)
解析 成功次数X～B(100，p)，
所以D(X)＝100p(1－p)≤100×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p＋1－p,2)))eq \s\up12(2)＝25，
当且仅当p＝1－p，即p＝eq \f(1,2)时，成功次数的方差最大，
其最大值为25.
答案 eq \f(1,2) 25
15．已知随机变量X的分布列如下表：
若E(X)＝2，则D(X)＝________．
解析 由分布列得eq \f(1,3)＋b＋eq \f(1,6)＋eq \f(1,4)＝1，解得b＝eq \f(1,4)，则E(X)＝eq \f(1,3)a＋2×eq \f(1,4)＋3×eq \f(1,6)＋4×eq \f(1,4)＝2，解得a＝0，则D(X)＝(0－2)2×eq \f(1,3)＋(2－2)2×eq \f(1,4)＋(3－2)2×eq \f(1,6)＋(4－2)2×eq \f(1,4)＝eq \f(5,2).
答案 eq \f(5,2)
16．一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期获利__________元．
解析 设生产一件该产品可获利X元，则随机变量X的取值可以是－20，30，50.依题意，X的分布列为
故E(X)＝－20×0.1＋0.3×30＋50×0.6＝37(元)．
答案 37
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)某工厂有4条流水线生产同一种产品，4条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%，35%，且这4条流水线的不合格品率依次为0.05，0.04，0.03，0.02，现从该厂的产品中任取一件，问抽到合格品的概率为多少？
解 设事件Bi为“任取一件产品，恰好抽到第i条流水线的产品”，i＝1，2，3，4，事件A为“任取一件产品，抽到合格品”，则
P(A)＝eq \(∑,\s\up10(4),\s\d10(i＝1))P(Bi)P(A|Bi)＝eq \(∑,\s\up10(4),\s\d10(i＝1))P(Bi)[1－P(eq \(A,\s\up6(－))|Bi)]
＝0.15×(1－0.05)＋0.20×(1－0.04)＋0.30×(1－0.03)＋0.35×(1－0.02)
＝0.15×0.95＋0.20×0.96＋0.30×0.97＋0.35×0.98
＝0.9685.
18．(本小题满分12分)摇奖器中有10个小球，其中8个小球上标有数字2，2个小球上标有数字5，现摇出3个小球，规定所得奖金(元)为这些小球上记号之和，如果参加此次摇奖，求获得所有可能的奖金数及相应的概率．
解 设此次摇奖的奖金数为X元，
当摇出的3个小球均标有数字2时，X＝6；
当摇出的3个小球中有2个标有数字2，1个标有数字5时，X＝9；
当摇出的3个小球有1个标有数字2，2个标有数字5时，X＝12.
所以所有奖金数有6，9，12.
所以P(X＝6)＝eq \f(Ceq \\al(3,8),Ceq \\al(3,10))＝eq \f(7,15)，
P(X＝9)＝eq \f(Ceq \\al(2,8)Ceq \\al(1,2),Ceq \\al(3,10))＝eq \f(7,15)，
P(X＝12)＝eq \f(Ceq \\al(1,8)Ceq \\al(2,2),Ceq \\al(3,10))＝eq \f(1,15).
19．(本小题满分12分)某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加某省举办的演讲比赛活动．
(1)设所选3人中女生人数为X，求X的分布列；
(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；
(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)．
解 (1)X的所有可能取值为0，1，2，
依题意得P(X＝0)＝eq \f(Ceq \\al(3,4),Ceq \\al(3,6))＝eq \f(1,5)，
P(X＝1)＝eq \f(Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,2),Ceq \\al(3,6))＝eq \f(3,5)，
P(X＝2)＝eq \f(Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(2,2),Ceq \\al(3,6))＝eq \f(1,5).
∴X的分布列为
(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C，
则P(C)＝eq \f(Ceq \\al(3,4),Ceq \\al(3,6))＝eq \f(4,20)＝eq \f(1,5).
∴所求概率为P(eq \(C,\s\up6(－)))＝1－P(C)＝1－eq \f(1,5)＝eq \f(4,5).
(3)P(B)＝eq \f(Ceq \\al(2,5),Ceq \\al(3,6))＝eq \f(10,20)＝eq \f(1,2)；P(B|A)＝eq \f(Ceq \\al(1,4),Ceq \\al(2,5))＝eq \f(4,10)＝eq \f(2,5).
20．(本小题满分12分)袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，若每个小球被取出的可能性都相等，X表示取出的3个小球上的最大数字，求：
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量X的分布列及均值E(X)．
解 (1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，
则P(A)＝eq \f(Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2),Ceq \\al(3,10))＝eq \f(2,3).
(2)由题意，X所有可能的取值为2，3，4，5.
P(X＝2)＝eq \f(Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,2),Ceq \\al(3,10))＝eq \f(1,30)；
P(X＝3)＝eq \f(Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(2,2),Ceq \\al(3,10))＝eq \f(2,15)；
P(X＝4)＝eq \f(Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(1,6)Ceq \\al(2,2),Ceq \\al(3,10))＝eq \f(3,10)；
P(X＝5)＝eq \f(Ceq \\al(2,8)Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(1,8)Ceq \\al(2,2),Ceq \\al(3,10))＝eq \f(8,15).
所以随机变量X的分布列为
E(X)＝2×eq \f(1,30)＋3×eq \f(2,15)＋4×eq \f(3,10)＋5×eq \f(8,15)＝eq \f(13,3).
21．(本小题满分12分)为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚，为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，得到如下数据：
(1)若用表中数据所得频率代替概率，则处罚10元时与处罚20元时，行人会闯红灯的概率的差是多少？
(2)若从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚，在两个路口进行试验．
①求这两种金额之和不低于20元的概率；
②若用X表示这两种金额之和，求X的分布列和数学期望．
解 (1)由条件可知，处罚10元会闯红灯的概率与处罚20元会闯红灯的概率的差是
eq \f(40,200)－eq \f(10,200)＝eq \f(3,20).
(2)①设“两种金额之和不低于20元”的事件为A，从5种金额中随机抽取2种，总的抽选方法共有Ceq \\al(2,5)＝10(种)，其中满足金额之和不低于20元的有6种，故所求概率为
P(A)＝eq \f(6,10)＝eq \f(3,5).
②根据条件，X的可能取值为5，10，15，20，25，30，35，分布列为
故E(X)＝5×eq \f(1,10)＋10×eq \f(1,10)＋15×eq \f(1,5)＋20×eq \f(1,5)＋25×eq \f(1,5)＋30×eq \f(1,10)＋35×eq \f(1,10)＝20(元)．
22．(本小题满分12分)某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张．每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为eq \f(1,3)，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．
(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；
(2)求该节目投票结果中所含“获奖”票和“待定”票票数之和X的分布列及数学期望．
解 (1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”这一事件为A，则事件A包括：该节目可以获2张“获奖”票，或者获3张“获奖”票．
因为甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为eq \f(1,3)，且三人投票相互没有影响，所以P(A)＝Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(1)＋Ceq \\al(3,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(3)＝eq \f(7,27).
(2)所含“获奖”票和“待定”票票数之和X的可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝Ceq \\al(0,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(3)＝eq \f(1,27)，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(6,27)＝eq \f(2,9)，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝eq \f(12,27)＝eq \f(4,9)，
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(3)＝eq \f(8,27)，
因此X的分布列为
所以X的数学期望为E(X)＝0×eq \f(1,27)＋1×eq \f(2,9)＋2×eq \f(4,9)＋3×eq \f(8,27)＝2.
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或由X～B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(2,3)))得E（X）＝3×\f(2,3)＝2))X
4
a
9
P
0.5
0.1
b
X
0
1
2
P
a
4a
5a
X
a
2
3
4
P
eq \f(1,3)
b
eq \f(1,6)
eq \f(1,4)
X
－20
30
50
P
0.1
0.3
0.6
X
0
1
2
P
eq \f(1,5)
eq \f(3,5)
eq \f(1,5)
X
2
3
4
5
P
eq \f(1,30)
eq \f(2,15)
eq \f(3,10)
eq \f(8,15)
处罚金额x(单位：元)
0
5
10
15
20
会闯红灯的人数y
80
50
40
20
10
X
5
10
15
20
25
30
35
P
eq \f(1,10)
eq \f(1,10)
eq \f(1,5)
eq \f(1,5)
eq \f(1,5)
eq \f(1,10)
eq \f(1,10)
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,27)
eq \f(2,9)
eq \f(4,9)
eq \f(8,27)