2021学年2.2建立概率模型教案及反思

这是一份2021学年2.2建立概率模型教案及反思，共15页。
知 识 梳 理
1.几何概型的定义
向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P(点M落在G1)＝eq \f(G1的面积,G的面积)，则称这种模型为几何概型.
2.几何概型的两个基本特点
(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；
(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性.
3.几何概型的概率公式
P(A)＝eq \f(构成事件A的区域长度（面积或体积）,试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）).
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( )
(2)从区间[1，10]内任取一个数，取到1的概率是eq \f(1,10).( )
(3)概率为0的事件一定是不可能事件.( )
(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.( )
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√
2.(必修3P153B2改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )
解析 如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P(A)＝eq \f(3,8)，P(B)＝eq \f(2,8)，P(C)＝eq \f(2,6)，P(D)＝eq \f(1,3)，所以P(A)＞P(C)＝P(D)＞P(B).
答案 A
3.(必修3P150讲解引申改编)如图，正方形的边长为2，向正方形ABCD内随机投掷200个点，有30个点落入图形M中，则图形M的面积的估计值为____________.
解析 由题意可得正方形面积为4，设不规则图形的面积为S，由几何概型概率公式可得eq \f(S,4)＝eq \f(30,200)，∴S＝0.6.
答案 0.6
4.(2016·全国Ⅱ卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )
A.eq \f(7,10) B.eq \f(5,8) C.eq \f(3,8) D.eq \f(3,10)
解析 至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为eq \f(40－15,40)＝eq \f(5,8).
答案 B
5.(2018·渭南模拟)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )
A.eq \f(1,8) B.eq \f(1,6) C.eq \f(1,27) D.eq \f(3,8)
解析 由题意知小蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心，且棱长为1的小正方体内.
这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故安全飞行的概率为p＝eq \f(1,27).
答案 C
6.(2018·全国Ⅰ卷)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则( )
A.p1＝p2 B.p1＝p3
C.p2＝p3 D.p1＝p2＋p3
解析 不妨设△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝2，则BC＝2eq \r(2)，所以区域Ⅰ的面积即△ABC的面积，为S1＝eq \f(1,2)×2×2＝2，区域Ⅲ的面积S3＝eq \f(π×（\r(2)）2,2)－S1＝π－2.区域Ⅱ的面积为S2＝π·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,2)))eq \s\up12(2)－S3＝2.根据几何概型的概率计算公式，得p1＝p2＝eq \f(2,π＋2)，p3＝eq \f(π－2,π＋2)，所以p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3.
答案 A
考点一 与长度(角度)有关的几何概型
【例1】 (1)(2019·宜春期末)在区间[－1，4]内任取一个实数a，使得关于x的方程x2＋2＝a有实数根的概率为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(2,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(3,4)
(2)如图，四边形ABCD为矩形，AB＝eq \r(3)，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧eq \(DE,\s\up8(︵))，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________.
解析 (1)若方程x2＋2＝a有实根，可知a－2≥0，即a≥2，那么p＝eq \f(4－2,4－（－1）)＝eq \f(2,5).
(2)连接AC，如图所示tan∠CAB＝eq \f(CB,AB)＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，所以∠CAB＝eq \f(π,6)，满足条件的事件是直线AP在∠CAB内且AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点，所以所求事件的概率p＝eq \f(∠CAB,∠DAB)＝eq \f(\f(π,6),\f(π,2))＝eq \f(1,3).
答案 (1)B (2)eq \f(1,3)
规律方法 1.解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置.
2.(1)第(2)题易出现“以线段BD为测度”计算几何概型的概率，导致错求p＝eq \f(1,2).
(2)当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率.事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比.
【训练1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,4)
(2)如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在eq \f(π,6)角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________.
解析 (1)如图所示，画出时间轴：
小明到达的时间会随机的落在图中线段AB上，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率p＝eq \f(10＋10,40)＝eq \f(1,2).
(2)因为射线OA在坐标系是等可能分布的，所以OA落在∠yOT内的概率为p＝eq \f(\f(π,2)－\f(π,6),2π)＝eq \f(1,6).
答案 (1)B (2)eq \f(1,6)
考点二 与面积有关的几何概型 多维探究
角度1 与平面图形面积有关的问题
【例2－1】 (1)(2019·烟台诊断)七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,8) C.eq \f(3,8) D.eq \f(3,16)
(2)(2018·黄冈、黄石联考)若张三每天的工作时间在6小时至9小时之间随机均匀分布，则张三连续两天平均工作时间不少于7小时的概率是( )
A.eq \f(2,9) B.eq \f(1,3) C.eq \f(2,3) D.eq \f(7,9)
解析 (1)不妨设小正方形的边长为1，则两个小等腰直角三角形的边长分别为1，1，eq \r(2)，两个大等腰直角三角形的边长为2，2，2eq \r(2)，即最大正方形的边长为2eq \r(2)，则较大等腰直角三角形的边长分别为eq \r(2)，eq \r(2)，2，
故所求概率p＝1－eq \f(\f(1,2)×\r(2)×\r(2)＋1×1×2＋\f(1,2)×2\r(2)×2\r(2),8)＝eq \f(1,8).
(2)设第一天工作的时间为x小时，第二天工作的时间为y小时，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6≤x≤9，,6≤y≤9，))因为连续两天平均工作时间不少于7小时，所以eq \f(x＋y,2)≥7，即x＋y≥14，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6≤x≤9，,6≤y≤9))表示的区域面积为9，其中满足x＋y≥14的区域面积为9－eq \f(1,2)×2×2＝7，∴张三连续两天平均工作时间不少于7小时的概率是eq \f(7,9).
答案 (1)B (2)D
角度2 与线性规划有关的问题
【例2－2】 (2019·上饶期末)关于x，y的不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≤4，,y≥2，,x－y＋2≥0))所表示的平面区域记为M，不等式(x－4)2＋(y－3)2≤1所表示的平面区域记为N，若在M内随机取一点，则该点取自N的概率为( )
A.eq \f(π,16) B.eq \f(π,8) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,2)
解析 关于实数x，y的不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≤4，,y≥2，,x－y＋2≥0))所表示的平面区域记为M，面积为eq \f(1,2)×4×4＝8，不等式(x－4)2＋(y－3)2≤1所表示的区域记为N，且满足不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≤4，,y≥2，,x－y＋2≥0))的面积为eq \f(1,2)π，所以在M内随机取一点，则该点取自N的概率为eq \f(\f(1,2)π,8)＝eq \f(π,16).
答案 A
规律方法 (1)几何概型与平面几何的交汇问题：要利用平面几何的相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率；
(2)几何概型与线性规划的交汇问题：先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率.
【训练2】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(π,8) C.eq \f(1,2) D.eq \f(π,4)
(2)(2018·石家庄调研)在满足不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＋1≥0，,x＋y－3≤0，,y≥0))的平面内随机取一点M(x0，y0)，设事件A＝“y0＜2x0”，那么事件A发生的概率是( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(3,4) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
解析 (1)设正方形的边长为2，则面积S正方形＝4.
又正方形内切圆的面积S＝π×12＝π.
所以根据对称性，黑色部分的面积S黑＝eq \f(π,2).
由几何概型的概率公式，概率p＝eq \f(S黑,S正方形)＝eq \f(π,8).
(2)作出不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＋1≥0，,x＋y－3≤0，,y≥0))表示的平面区域(即△ABC)，其面积为4.事件A＝“y0＜2x0”表示的区域为△AOC，其面积为3.所以事件A发生的概率是eq \f(3,4).
答案 (1)B (2)B
考点三 与体积有关的几何概型
【例3】 (1)在5升水中有一个病毒，现从中随机地取出1升水，含有病毒的概率是________.
(2)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥M－ABCD的体积小于eq \f(1,6)的概率为________.
解析 (1)“取出1升水，其中含有病毒”这一事件记作事件A，则P(A)＝eq \f(取出的水的体积,所有水的体积)＝eq \f(1,5).从而所求的概率为eq \f(1,5).
(2)设四棱锥M－ABCD的高为h，由于S正方形ABCD＝1，V正方体＝1，且eq \f(h,3)S正方形ABCD