上海市奉贤中学2021-2022学年高一上学期10月月考数学试题（解析版）

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奉贤中学2024届高一第一学期阶段练习数学试卷一､填空题（1-6题每小题4分，7-12每小题5分，共54分）1. 已知集合，，则_______．【答案】【解析】【详解】试题分析：根据并集定义，由题目给出的集合，求出 .考点：1.集合的交集、并集、补集运算；2.运算工具（韦恩图、数轴、平面直角坐标系）.2. 因式分解___________.【答案】【解析】【分析】直接进行因式分解即可得答案.【详解】，故答案为：.3. 若，则构成集合中的的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】根据集合互异性，即可得答案.【详解】根据集合的互异性可得，所以，即的取值范围是故答案为：4. 若“对任意，”是真命题，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】由题意，只需，解不等式即可【详解】由题意，对任意，只需故答案为：5. “”是“”的______条件.【答案】既非充分也非必要.【解析】【分析】由,化为,或.即可判断出结论【详解】由,化为,或.∴“”是“”的既非充分也非必要条件.故答案为:既非充分也非必要.【点睛】本题考查充要条件的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.6. 若不等式的解集是，则不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】根据不等式的解集求得的值，把不等式化为，结合不等式的解法，即可求解.【详解】由题意，不等式的解集是，可得和是一元二次方程的两个实数根，所以，解得，，所以不等式化为，即，解得，即不等式的解集为．故答案为：．7. 设，，则的值是___________.【答案】【解析】【分析】转化为一元二次方程有唯一解，列出限制条件，代入成立，即得解【详解】由题意，方程有唯一解，故，且解得：故的值是故答案为：8. 若方程的两根为，，且，则___________.【答案】【解析】【分析】由韦达定理，结合，即得解【详解】由题意，方程的两根为，故，又故答案为：9. 若关于的不等式组无解，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】先求得不等式的解集，再结合题意，即可得答案.【详解】不等式所以，解得，因为不等式组无解所以.故答案为：10. 对于命题“若且是有理数，则是无理数”，用反证法证明时，假设是有理数后下面到处矛盾的方法：①因为是有理数，是无理数，所以是无理数，这与是有理数矛盾；②因为有理数，是无理数，所以是无理数，这与是有理数矛盾；③因为是有理数，是有理数，所以是有理数，这与是无理数矛盾；其中，推理正确的序号是___________.【答案】①③【解析】【分析】根据反证法概念，从是有理数出发，经过正确的推理，结合题意，分析即可得答案.【详解】①从是有理数出发，经过推理，得到是无理数，和题干矛盾，故①正确；②没有从是有理数出发，推出矛盾，不是反证法，故②不正确；③从是有理数出发，经过推理，推出是无理数，结论错误，从而证明原命题正确，故③正确.故答案为：①③11. 设数集,而两两之和构成集合.则______.【答案】{1,4,7,8}或{2,3,6,9}【解析】【详解】设.由于集合S中有个元, 即知两两之和互不相同. 因, 且, 只有两种情况:  (1),则.于是,,.解得,.进而,,得.(2),则于是, ,.解得,.进而, ,得.故答案{1,4,7,8}或{2,3,6,9}12. 对于集合，我们把称为该集合的长度，设集合，集合，且A，都是集合的子集，则集合的长度最小值是___________.【答案】890【解析】【分析】根据题意，求得a，b的范围，进而求得，根据题中所给定义，求得的长度的表达式，根据a，b的范围，即可得答案.【详解】因，所以，解得，集合B的解集为，因为，所以，解得，所以或，所以的长度为或，所以当时，或，的长度的最小值为890故答案为：890二､选择题（13-16每小题5分，20分）13. 如果，，，，那么下列不等式中一定成立的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合不等式的性质，逐一分析选项，即可得答案.【详解】对于A：因为a、，所以无法确定a和-c的大小，故A不一定正确；对于B：当时，，此时B不成立，对于C：当时， ，此时C不成立，对于D：由，可得，且，所以恒成立，故D正确故选：D14. 已知全集为，若，是非空集合，且满足，则下列各式中错误的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】作出韦恩图，根据集合的运算逐一判断四个选项正确性，进而可得答案.【详解】因为全集为，若，是非空集合，且满足，作韦恩图如图：对于A：因为，所以，因为，所以，故选项A正确；对于B：由可得，因为，所以，故选项B正确；对于C和D：由可得，所以，故选项C不正确，选项D正确；所以错误的是选项C，故选：C.15. 若，是实数，则“”是“”或“”的（    ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质，结合充分、必要条件的定义，即可得答案.【详解】因为，当时，可得，此时成立，当时，可得，此时成立，故充分性成立；反之，当时，或成立，但不成立，故必要性不成立，所以“”是“”或“”的充分不必要条件.故选：A16. 设所示有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③；④；与相同的集合有（    ）A. ①② B. ②③ C. ①②④ D. ①②③【答案】D【解析】【分析】根据集合相等的含义，逐一分析①②③④，即可得答案【详解】对于①：集合，则，解得，即，是一一对于，所以与集合相同.对于②：集合，则，也是一一对应，所以与集合相同.对于③：集合，，一一对应，，所以与集合相同.对于④：，但方程无解，则，与不相同．故选：D三､解答题（14分+14分+14分+16分+18分，共76分）17. 求解不等式组.【答案】或【解析】【分析】根据一元二次不等式和分式不等式的解法，分别求解，综合即可得答案.【详解】不等式，解得，不等式，整理可得，即，等价于，解得或，综上：解集为或，18. 已知集合，，.（1）若，求的取值范围；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据，结合集合A、B，即可得答案.（2）根据题意，可得，即可得答案.【详解】（1）因为，所以，即的取值范围为.（2）由，可得，所以，即的取值范围为.19. （1）求证：；（2）已知，，且，用反证法证明：和中至少有一个小于2.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先计算的范围，进而可得的范围，即可求证；（2）假设，，可得，，两式相加得出矛盾即可求证.【详解】（1）因为，所以，原不等式得证；（2）假设，，因为，，所以，，所以，即与已知条件矛盾，所以和中至少有一个小于2.20 设，，已知集合，集合.（1）若，求的取值范围；（2）若时，，求的取值范围；（3）设集合，若中元素个数恰为3个，求的取值范围.【答案】（1）  （2）  （3）【解析】【分析】（1）分析可得，求解集合中不等式可得，由，列出不等式组即得解；（2）由题意，集合B中一元二次不等式可因式分解为，分，，三种情况讨论，即得解；（3）由题意，的区间长度应在内，分，两种情况分析，即得解【详解】（1）若，与矛盾，故由，得，解得，因为，所以，解得.（2），，因为，所以，①当时，∴，，此时，成立；②当时，，若，则需满足或，解得或；③当时，，此时，成立.综上.（3）由题意，，∵中元素恰为3个，∴的区间长度应在内，∴，①当时，.②当时，，，此时成立，综上所述.21. 已知集合（，，）具有性质：对任意（），与至少一个属于.（1）分别判断集合，与是否具有性质，并说明理由；（2）具有性质，当时，求集合；（3）①求证：；②求证：.【答案】（1）集合M具有，集合N不具有，理由见详解  （2）  （3）证明见详解【解析】【分析】（1）利用性质的定义判断即可；（2）利用，可得，又，，分析可得，即得解；（3）① 由 ，，可证明；② 由，以及，可得，将等式左右两边相加可证明.【详解】（1）集合具有性质，集合不具有性质理由如下：对集合，由于所以集合具有性质；对集合，由于，故集合不具有性质.（2）由于，故又，故又，故因此集合（3）①由于，故，故得证②由于故又将各个式子左右两边相加可得：故得证