2021-2022年上海市交大附中高三上数学10月月考解析练习题

这是一份2021-2022年上海市交大附中高三上数学10月月考解析练习题，共15页。试卷主要包含了已知实数λ同时满足，计算，已知，则x＝等内容，欢迎下载使用。
2021-2022年上海市交大附中高三上10月月考
一．选择题（共4小题）
1．设x＞0，则“a＝1”是“”恒成立的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
【解答】解：∵x＞0，
若a＝1，则x+≥2＝2成立．
反之，令y＝x+，y′＝1﹣＝，
a＞0时，x＝时，f（x）取得最小值，f（）＝2，令2≥2，解得a≥1，
因此a≥1时，“”恒成立．
综上可得：“a＝1”是“”恒成立的充分不必要条件．
故选：A．
2．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（

A．17π B．22π C．68π D．88π
【解答】解：原因是得到几何体是长宽高分别为2，2，3的长方体，所以外接球的直径为，所以外接球表面积为：4π（）2＝68π；
故选：A．
3．设O为坐标原点，第一象限内的点M（x，y）的坐标满足约束条件，，若的最大值为40，的最小值为（　　）
A． B． C．1 D．4
【解答】解：∵＝ax+by，
∴设z＝ax+by，则z的最大值为40．
作出不等式组的对应的平面区域如图：（阴影部分）
由z＝ax+by，得y＝，
由图象可知当直线y＝，经过点A时，直线y＝的截距最大，
此时z最大（∵b＞0），
由，解得，
即A（8，10），
代入z＝ax+by，得40＝8a+10b，
即，
∴＝（）（）＝1+，
当且仅当，即4a2＝25b2，2a＝5b时取等号，
∴的最小值为，
故选：B．

4．已知实数λ同时满足：（1），其中D是△ABC边BC延长线上一点；（2）关于x的方程2sin2x﹣（λ+1）sinx+1＝0在[0，2π）上恰有两解，则实数λ的取值范围是（　　）
A．或λ＝﹣2 B．λ＜﹣4
C．λ＝﹣2 D．λ＜﹣4或
【解答】解：∵
＝
＝，
又，
∴，
∵D是△ABC边BC延长线上一点，
∴λ＜0，
∵关于x的方程2sin2x﹣（λ+1）sinx+1＝0在[0，2π）上恰有两解，
令t＝sinx，由正弦函数的图象可知，
方程2t2﹣（λ+1）t+1＝0在（﹣1，1）上有唯一解，
∴[2﹣（λ+1）+1][2+（λ+1）+1]＜0或，
解得λ＜﹣4或λ＞2（舍）或，
∴．
故选：D．
二．填空题（共12小题）
5．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{﹣1，0，2}，则A∩B＝　{0}　．
【解答】解：集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{﹣1，0，2}，则A∩B＝{0}，
故答案为{0}
6．计算：＝　　．
【解答】解：＝＝，
故答案为：．
7．若复数z满足（其中i是虚数单位），为z的共轭复数，则＝　　．
【解答】解：∵
＝
＝
＝
＝1﹣3i，
∴＝1+3i，
∴||＝＝．
故答案为：．
8．若线性方程组的增广矩阵是，其解为，则c1+c2＝　6　．
【解答】解：由题意，可知：此增广矩阵对应的线性方程组为：
，
将解代入上面方程组，可得：
．
∴c1+c2＝6．
故答案为：6．
9．已知，则x＝　　（用反正弦表示）
【解答】解：由于arcsin 表示[﹣，]上正弦值等于的一个锐角，
由，则x＝，
故答案为：．
10．在（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）15的展开式中，x2项的系数是　560　（用数字作答）
【解答】解：在（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）15的展开式中，x2项的系数是+++…+＝＝560，
故答案为：560．
11．若双曲线＝1的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为　2　．
【解答】解：双曲线＝1的渐近线方程为y＝±，
即±ay＝0，
圆（x﹣2）2+y2＝4的圆心为C（2，0），半径为r＝2，
由圆的弦长公式得弦心距|CD|＝＝，
另一方面，圆心C到双曲线的渐近线﹣ay＝0的距离为
d＝＝，
所以d＝＝，
解得a2＝1，即a＝1，
该双曲线的实轴长为2a＝2．
故答案为：2．
12．已知 f（x）＝，不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a，a+1]上恒成立，则a的取值范围是　（﹣∞，﹣2）　．
【解答】解：作出分段函数f（x）＝的图象如图，

要使不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a，a+1]上恒成立，
则x+a＜2a﹣x在x∈[a，a+1]上恒成立，
即a＞2x在x∈[a，a+1]上恒成立，
∴a＞2（a+1），解得：a＜﹣2．
故答案为：（﹣∞，﹣2）．
13．已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足＝λ+μ（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为　3　．
【解答】解：如图：延长AB到D，使BD＝AB，作BF平行且等于AC，
则点P组成的图形是以BD、BF为邻边的平行四边形，
又BD＝AB＝，BF＝AC＝，cos∠FBD＝cos∠CAB
＝，
所以，
故所以所求面积为：，
故答案为：3．

14．已知等差数列{an}中公差d≠0，a1＝1，若a1，a2，a5成等比数列，且a1，a2，，，，…，，…成等比数列，若对任意n∈N*，恒有≤（m∈N*），则m＝　1或2　．
【解答】解：根据题意，等差数列{an}中a1＝1，a1，a2，a5成等比数列，
∴（1+d）2＝1×（1+4d），d≠0，解得d＝2．
∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．
∵a1，a2，ak1，ak2，…，akn，…成等比数列，
首项为1，公比为3．
∴＝3n+1．
由an＝2n﹣1，得，
∴2kn﹣1＝3n+1．
∴kn＝（3n+1+1）
∵对任意n∈N*，恒有≤（m∈N*），
即≤恒成立，
令f（n）＝＞0，则≤1．
∴当n＝1或n＝2时，f（n）最大，当n≥2时，f（n）为减函数，
则要使对任意n∈N*，恒有≤（m∈N*），则m＝1或2．
故答案为：1或2．
15．甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚质地均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再减去6；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上6，这样就可得到一个新的实数a2，对实数a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3，当a3＞a1时，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率为，则a1的取值范围是　（﹣∞，6]∪[12，+∞）　
【解答】解：a3的结果有四种，分别为：4a1﹣18，a1+3，a1+6和，每一个结果出现的概率都是，
由题意，甲胜的概率为，所以a3的4种结果中有3种比a1大，1个比a1小，
又因为a1+3，a1+6一定比a1大，
故4a1﹣18和中一个大于a1，另一个不大于a1，
即或者，
解得a1≤6，或者a1≥12，
故答案为：（﹣∞，6]∪[12，+∞）．
16．对于函数f（x）＝，有下列5个结论：
①任取x1，x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2；
②函数y＝f（x）在区间[4，5]上单调递增；
③f（x）＝2kf（x+2k）（k∈N+），对一切x∈[0，+∞）恒成立；
④函数y＝f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；
⑤若关于x的方程f（x）＝m（m＜0）有且只有两个不同实根x1，x2，则x1+x2＝3．
则其中所有正确结论的序号是　①④⑤　．（请写出全部正确结论的序号）
【解答】解：f（x）＝的图象如图所示：
①∵f（x）的最大值为1，最小值为﹣1，
∴任取x1、x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2恒成立，故①正确；
②函数在区间[4，5]上的单调性和[0，1]上的单调性相同，则函数y＝f（x）在区间[4，5]上不单调；故②错误；
③f（）＝2f（+2）＝4f（+4）＝8f（+6）≠8f（+8），故不正确；故③错误，
④如图所示，函数y＝f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；故④正确，
⑤当1≤x≤2时，函数f（x）关于x＝对称，若关于x的方程f（x）＝m（m＜0）有且只有两个不同实根x1，x2，
则＝，则x1+x2＝3成立，故⑤正确，
故答案为：①④⑤．

三．解答题（共5小题）
17．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝A1A＝1．
（1）证明直线BC1平行于平面D1AC；
（2）求直线BC1到平面D1AC的距离．

【解答】（1）证明：∵ABC1D1，
∴四边形ABC1D1是平行四边形，
∴BC1∥AD1，又BC1⊄平面D1AC，AD1⊂平面D1AC，
∴BC1∥平面D1AC．
（2）解：∵BC1∥平面D1AC，
∴直线BC1到平面D1AC的距离为B到平面D1AC的距离，
连接BD交AC于O，则O为BD的中点，则B到平面D1AC的距离等于D到平面D1AC的距离，
∵AB＝2，AD＝A1A＝1．∴AC＝CD1＝，AD1＝，
∴cos∠ACD1＝＝，∴sin∠ACD1＝，
∴＝＝．
设D到平面D1AC的距离为d，则＝•d＝．
又＝＝＝＝，
∴，即d＝．
∴直线BC1到平面D1AC的距离为．

18．设函数，且以为最小正周期．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）当时，求f（x）的值域．
【解答】解：（1）由于函数f（x）＝3sin（ωx+）（ω＞0），且以为最小正周期，
∴＝，∴ω＝3，f（x）＝3sin（3x+）．
令 2kπ+≤3x+≤2kπ+，k∈Z，求得+≤x≤+，k∈Z，
可得函数的单调递减为[+，+]，k∈Z．
（2）因为，可得3x+∈[，]，
所以sin（3x+）∈[﹣1，﹣]，
可得f（x）＝3sin（3x+）∈[﹣3，﹣]．
19．设Sn，Tn分别是数列{an}，{bn}的前n项和，已知对于任意n∈N*，都有3an＝2Sn+3，数列{bn}是等差数列，且T5＝25，b10＝19．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn＝，求数列{cn}的前n项和Rn，并求Rn的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）由3an＝2Sn+3，当n＝1时，3a1＝2a1+3，解得a1＝3；
当n≥2时，3an﹣1＝2Sn﹣1+3，
从而3an﹣3an﹣1＝2an，即an＝3an﹣1，∴数列{an}是等比数列，公比为3，
因此an＝3n．
设数列{bn}的公差为d，∵T5＝25，b10＝19．
∴，解得b1＝1，d＝2，
因此bn＝2n﹣1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：cn＝＝＝＝﹣，
数列{cn}的前n项和Rn＝++…+
＝﹣3．
因为cn＞0，所以数列{Rn}单调递增．
所以n＝1时，Rn取最小值时，故最小值为．
20．如图，已知椭圆，A、B为椭圆的左右顶点，焦点F（c，0）到短轴端点的距离为2，且，P、Q为椭圆E上异于A、B的两点，直线BQ的斜率等于直线AP斜率的2倍．
（1）求直线BP与直线BQ的斜率乘积值；
（2）求证：直线PQ过定点，并求出该定点；
（3）求三角形APQ的面积S的最大值．

【解答】（1）解：由题意可得：a＝2，，a2＝b2+c2，
联立解得a＝2，b＝c＝．
∴椭圆E的方程为：＝1．
设P点坐标（x，y），y2＝（4﹣x2），则A（﹣2，0），B（2，0），则
kAP＝，kBP＝，
则kAP•kBP＝＝﹣，
由kBQ＝2kAP，故kBP•kBQ＝﹣1．
∴直线BP与直线BQ的斜率乘积为﹣1为定值．
（2）证明：当直线PQ的斜率存在时，设lPQ：y＝kx+t与x轴的交点为M，联立，
整理得：（2k2+1）x2+4ktx+2t2﹣4＝0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2＝﹣，x1x2＝，
由kBP•kBQ＝﹣1，即＝0，则y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4＝0，
得（k2+1）x1x2+（kt﹣2）（x1+x2）+4+t2＝0，
4k2+8kt+3t2＝0，得t＝﹣2k或t＝﹣k．y＝k（x﹣2）或y＝k（x﹣），
所以过定点（2，0）或（，0），
A（2，0）为椭圆的右顶点，舍去，
∴直线PQ过定点M（，0）．
（3）解：由（2）可知：当直线PQ的斜率存在时，设lPQ：y＝kx+t与x轴的交点为M，与椭圆方程联立整理得：（2k2+1）x2+4ktx+2t2﹣4＝0，又t＝﹣．
S＝S△APQ＝S△APM+S△AQM＝|y1﹣y2|＝＝
＝＝，
令＝m∈（0，1），则S＝＜＝，
当当直线PQ的斜率不存在时，直线PQ的方程为：把x＝代入椭圆方程可得：+＝1，解得y＝±．
∴|PQ|＝，可得S＝＝．
综上可得：当PQ⊥x轴时，三角形APQ的面积S取得最大值．
21．已知a∈R，函数f（x）＝．
（1）若f（2）＝﹣3，求实数a的值；
（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．
（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．
【解答】解：（1）f（2）＝﹣3，
∴log2（+a）＝﹣3＝log2，
∴+a＝，
解得a＝﹣
（2）由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0得log2（+a）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0．
即log2（+a）＝log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，
即+a＝（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①
则（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1＝0，
即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]＝0，②，
当a＝4时，方程②的解为x＝﹣1，代入①，成立
当a＝3时，方程②的解为x＝﹣1，代入①，成立
当a≠4且a≠3时，方程②的解为x＝﹣1或x＝，
若x＝﹣1是方程①的解，则+a＝a﹣1＞0，即a＞1，
若x＝是方程①的解，则+a＝2a﹣4＞0，即a＞2，
则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．
综上，若方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0的解集中恰好有一个元素，则a的取值范围是1＜a≤2，或a＝3或a＝4．
（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，
由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，
即log2（+a）﹣log2（+a）≤1，
即+a≤2（+a），即a≥﹣＝
设1﹣t＝r，则0≤r≤，＝＝，
当r＝0时，＝0，
当0＜r≤时，＝，
∵y＝r+在（0，）上递减，
∴r+≥+4＝，
∴＝≤＝，
∴实数a的取值范围是a≥