高中北师大版2.1函数的概念教案

《函数的概念》教学设计

【教学内容解析】

本节课是选自北京师范大学出版社出版的《普通高中课程标准实验教科书数学必修Ⅰ》的第二章2.2.1函数的概念。函数是一个重要的基本概念。它是人们在研究客观事物中的变量之间有着相互联系，又相互制约的依赖关系时的必然产物。正如本章前言所说：函数概念及思想方法贯穿初高中，特别是高中数学学习的始终，渗透到数学的各个领域。因此，掌握理解好函数的概念，也就显得非常之重要。

本节函数的概念的学习，是在初中函数知识的基础之上，用集合、对应的观点给出了近代的函数的定义。其实，它与以前传统的函数定义的本质是一样的，只是在其以前运动的观点上，换了个角度，加上了集合、对应的观点这个“外衣”，使其更清晰、完全深入的揭示了两个变量之间所满足的某种依赖关系的本质，即为函数的本质。尽管如此，就函数的概念本身来讲，还是很抽象，在学习时，一定要抓住文字行间所反应出的本质内涵。本节课是函数的概念第一课时，主要内容有：函数的概念、函数三要素、简单函数定义域的求解以及区间的表示等。

【教学目标】

知识目标—— 通过具体的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型；了解函数的概念；体会理解函数的三要素及函数符号的深刻含义以及会求简单函数的定义域问题。

能力目标—— 培养学生观察、推理的能力；培养学生分析、判断、抽象、归纳概括的能力；强化“形”与“数”结合并相互转化的数形结合思想.

情感目标——强化学生参与意识，体会在探究过程中由特殊到一般、从具体到抽象、运动变化、相互联系、相互制约、相互转化的辩证唯物主义观点；感受数学中的数与形的和谐统一美；激发学生学习数学的兴趣和积极性。树立“数学源于实践，又服务于实践”的数学应用意识。

【教学重难点】

重点：函数的概念和函数三要素的总结归纳。

难点：函数的概念以及函数符号y=f(x)的理解。

【学情分析】

就学生本身而言，实话实说，学生功底弱，就初中函数概念的学习比较浅薄，理解不到位。所以再在深入研究学习的过程中，可能比较吃力，比较困难。特别是数学符号“y=f(x)”的抽象性，学生了解，理解起来就更难，造成了一定学习障碍，从而会影响学生学习数学的积极性。

就学生所学知识内容来讲，学生在初中学习过函数的概念，并且知道可以用函数描述变量之间的依赖关系，学生有一定的基础。然而，还是由于函数概念本身的表述较为抽象，学生对函数概念的本质缺乏一定的认识。并且，初中是用运动变化的观点对函数进行定义，虽然这种定义较为直观，但理解起来较为笼统，所以也就没能完全揭示出函数概念的本质。比如，y=1是函数吗？学生可能就较难理解，很难回答。但如果用集合与对应的观点来解释，就显得比较自然，学生就容易回答。因此，用集合与对应的思想来理解函数，进一步认识函数的概念，就显得很有必要。

【教学策略】

针对以上学情分析中存在的的主观和客观的问题，我们必须要克服困难，找到解决问题的一些办法。首先，在这节教学过程中，通过具体的实例，让学生对其进行分析，再次让学生体会到变量之间的依赖关系，帮助学生理解初中所学概念，通过具体实例的转换角度，即如果从集合、对应的观点来阐述函数的定义的话，应怎样表述。从而引出函数的新概念。为了能深刻理解其内涵，可以借助PPT工具，通过对六个对应关系是否为函数关系的判断，对定义进行逐句的分析研究，找到每个关键词，再对关键词逐个分析，弄清它的地位和作用，理解其意，真切挖掘定义的核心内容。并及时对其进行必要的强调说明。

其次，在教学过程中，有意识地挖掘函数符号的审美因素，以美启真。多给学生提供思考和实践动手的机会，为学生创设熟悉的问题情境，引导学生观察、计算、思考，从而理解问题的本质，归纳总结出结论。

【教学过程】

一、     问题提出

现在请同学们回忆，在初中所学函数是怎么的定义的？我们学习过哪些具体的函数呢？

初中函数定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个值， y都有唯一的值与之对应，那么我们就说y是

x的函数，其中x叫自变量，y叫因变量。

初中所学具体函数有：

（1）一次函数 

（2）二次函数

（3）反比例函数

二、     实例分析

1、 现将一根4米长的切丝，围成一个一边长为x米的矩形，

围成后的矩形的面积y与x的关系式为。那么，此问题中边长x与面积y的取值范围是多少呢？

学生通过初中二次函数的思考、运算得到：

边长x的取值范围为集合A={x|0＜x＜4}

面积y的取值范围为集合B={y|0＜y≤1}

数集A中的每个x值，通过其表达式计算，在数集B中都有唯一确定的面积y与之对应。

2、如右图是给一个2米深的水池中注水时，注水时间t与水池高度h的变化情况:

学生观察分析，容易得出：

时间t所满足的范围为集合A={t|0≤t≤90}，

水池中水的高度h所满足的范围为集合B={h|0≤h≤2}。

（并且通过图形可以看出：对数集A中每一个时间t，按其图中曲线，在数集B中都有唯一确定的高度h与它对应。）

3、当人的生活环境温度改变时，人体代谢率也有相应的变化，

下表给出了实验的一组数据：

A={4,10,20,30,38}        B={60,44,40,40.5,54}

数集A中任意一个温度，按照表格，在数集B中都有

唯一确定的代谢率与之对应

分析3个例子的共同点，借助PPT展示引出函数的概念。

（1）两集合A、B都是非空数集。

(2)两个集合都有一个具体的对应法则，在这种确定的对应法则下数集A中的每一个值，在集合B中都有位唯一值与它对应。

那么，我们如用集合、对应的观点给出函数的新定义呢？

三、新课教授

1、函数的概念

设A、B是两个非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B，或记作:y=f(x)，x∈A．

此时，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与

x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。

【为能使学生准确理解函数的概念，及时通过合作交流来探究概念的本质内容。】

2、合作交流一

下列各对应关系中，哪些是函数关系，哪些不是函数关系？为什么？

学生合作探究后回答：六个对应关系中，①、②、⑤不是函数关系；③、④、⑥是函数关系。另外，从对应数量来说，③、⑥是“一对一”的函数关系，④是“多对一”的函数关系。所以说，数集中的“一对一”、“多对一”的对应关系才是函数关系。“一对多”不是函数关系。比如⑤就不是函数关系。

3、合作交流二

下列图像是函数图像吗？

学生回答：⑵、⑶是函数图像；⑴、⑷不是函数图像。

其中⑵、⑶分别体现“多对一”和“一对一”的对应关系，因此⑵、⑶都是函数图像；⑴、⑷体现都是“一对多”的对应关系，因此它们都不是函数图像。

4、函数的概念说明：

（1）1、集合A与集合B都是数集。集合A元素任意，集合B中元素唯一对应。

（2）y=f(x)符号含义：

①y=f(x)表示“y是x函数”符号表示，f(x)是一个整体。

②f(x)与f(a)不同:通常情况下，f(a)表示函数f(x)当x=a时

对应的函数值。

③在同时研究两个或多个函数时，常用不同符号表示不同的函数，除用符号f(x)外，还常用g(x)、F(x)等符号来表示。

（3）集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。他一定是集合B的子集。

（4）函数的三要素：定义域、对应关系、值域。

（5）相同函数：定义域、对应关系、值域都相同。

5、思考：

（1）y=1是函数吗？为什么？

（2）      是函数吗？

（3）y=x与是同一函数吗？

6、区间的概念：

设a,b是两个实数，且a<b，我们做出以下规定：

说明：（1）这里的实数a,b都叫作相应区间的端点。

（2）、实数集R也可以用区间表示为（ -∞ ，+∞），其中“∞读作“无穷大”。“-∞”读作“负无穷大”；“+∞”读作“正无穷大”。

（3）、常见集合所对应的区间表示：

（注：请学生完成以上表格的空白处）

四、课堂练习

1、求下列函数的定义域：

（1）              （2）

（3）

2、求下列函数的值

⑴已知  求、 和

⑵已知   求、和

3、判断下列各组中函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，

并说明理由？

（1）            （   ）

（2）                 （   ）

（3）             （   ）

（4）             （   ）

五、课堂小结

    1、理解函数概念，会用概念判断某对应关系是否为函数关系。

    2、理解函数的三要素及的符号含义，会求简单函数的定义域。

    3、会用区间表示集合中元素的取值范围。

六、作业布置

P28   练习题1、2