数学第四章 数列本章综合与测试教案及反思

这是一份数学第四章 数列本章综合与测试教案及反思，共19页。教案主要包含了学习目标，知识网络，要点梳理，典型例题，思路点拨等内容，欢迎下载使用。
1.系统掌握数列的有关概念和公式；
2.掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前项和公式，并运用这些知识解决问题；
3.了解数列的通项公式与前项和公式的关系，能通过前项和公式求出数列的通项公式；
4.掌握常见的几种数列求和方法.
【知识网络】
数列的通项
通项公式
等差中项
前n项和公式
等差数列
性质
通项公式
等比中项
前n项和公式
等比数列
性质
数列
数列前n项和
数列的递推公式
应
用
【要点梳理】
知识点一：等差数列
1. 判定一个数列为等差数列的常用方法
①定义法：（常数）是等差数列；
②中项公式法：是等差数列；
③通项公式法：（p，q为常数）是等差数列；
④前项和公式法：（为常数）是等差数列.
要点诠释：对于探索性较强的问题，则应注意从特例入手，归纳猜想一般特性。
2. 等差数列的通项公式及前项和
通项公式：
要点诠释：
= 1 \* GB3 ① 该公式可改写为：
当＝0时，是关于的常函数；当d≠0时，是关于的一次函数；点()分布在以为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．
= 2 \* GB3 ②通项公式的推广：
前n项和公式：
要点诠释：
= 1 \* GB3 ① 该公式可改写为：
当＝0时，是关于的正比例函数；当d≠0时，是关于的二次函数（无常数项）．
= 2 \* GB3 ② 在应用时，注意相关性质的应用。
3. 等差数列有关性质
（1）若，则；
特别地，若，则；
（2）若成等差数列，则；
（3）公差为的等差数列中，连续项和，… 组成新的等差数列；
（4）等差数列，前项和为：
①当为奇数时，；；；
②当为偶数时，；；.
（5）等差数列，前项和为，则（）；
（6）等差数列中，若，则；
（7）等差数列中，公差，依次每项和：，，成等差数列，新公差.
3. 等差数列前项和的最值问题：
等差数列中
若＞0，＜0，有最大值，可由不等式组来确定；
若＜0，＞0，有最小值，可由不等式组来确定，也可由前项和公式来确定.
要点诠释：等差数列的求和中的函数思想是解决最值问题的基本方法.
知识点二 ：等比数列
1. 判定一个数列是等比数列的常用方法
（1）定义法：（是不为0的常数，∈N*）是等比数列；
（2）通项公式法：（c、q均是不为0的常数∈N*）是等比数列；
（3）中项公式法：（，）是等比数列.
2. 等比数列的通项公式及前项和
通项公式：
要点诠释：
① 该公式可改写为：
时，是关于的指数型函数； 时，是常数函数；
② 推广：.
前项和公式：
要点诠释：
①在求等比数列前项和时，要注意区分和
②当时，等比数列的两个求和公式，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量.
3. 等比数列的主要性质：
（1）若，则；
特别，若，则；
（2）等比数列中，若成等差数列，则成等比数列；
（3）公比为的等比数列中，连续项和，… 组成新的等比数列；
（4）等比数列，前项和为，当为偶数时，；
（5）等比数列中，公比为，依次每项和：，，…成公比为qk的等比数列；
（6）若为正项等比数列，则（＞0且≠1）为等差数列；反之，若为等差数列，则（＞0且≠1）为等比数列；
（7）等比数列前项积为，则.
知识点三：常见的数列通项公式求法
1. 已知数列的前几项：
已知数列的前几项，通过观察法，归纳分析出数列的通项公式.
2. 已知等差数列或等比数列：
通过公式法求通项公式.
3. 已知数列的递推关系式：
= 1 \* GB3 ①形如，该数列为等差数列，利用公式法求数列的通项公式；
= 2 \* GB3 ②形如，该数列为等比数列，利用公式法求数列的通项公式.
= 3 \* GB3 ③形如，构造公比为的等比数列，利用公式法求解；
= 4 \* GB3 ④形如，通过累加法（迭加法）求数列的通项；
= 5 \* GB3 ⑤形如，通过累乘法（迭乘法）求数列的通项.
= 6 \* GB3 ⑥形如，两边取倒数，构造公差为的等差数列，利用公式法求通项.
4. 已知，求：
利用与的关系，即，可求得数列的通项公式.
5. 已知，求：
利用作商法，即求数列的通项公式.
知识点四：常见的数列求和方法
1. 公式法：
如果一个数列是等差数列或者等比数列，直接用其前项和公式求和。
2. 分组求和法：
将通项拆开成等差数列和等比数列相加或相减的形式，然后分别对等差数列和等比数列求和.如：.
3. 裂项法：
把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项的方法.一般通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式.
若，分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式,
则，如an=
4. 错位相减法：
通项为非常数列的等差数列与等比数列的对应项的积的形式：, 其中 是公差≠0等差数列，是公比≠1等比数列，如.
一般步骤：
，则
所以有
要点诠释：求和中观察数列的类型，选择合适的变形手段，注意错位相减中变形的要点.
知识点五、通项与前项和的关系：
任意数列的前项和；
要点诠释：
由前项和求数列通项时，要分三步进行：
（1）求，
（2）求出当≥2时的，
（3）如果令≥2时得出的中的=1时有成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式。
知识点六：数列应用问题
数列应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.
建立数学模型的基本步骤：
① 审题——认真阅读题目，准确理解题意，达到如下要求：
明确问题属于哪类应用问题；
弄清题目中的主要已知事项；
明确所求的结论是什么.
②建模——将已知关系翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清楚该数列的结构和特征；
③求解——求出该问题的数学解；
④还原——将所求结果还原到实际问题中.
要点诠释：数列的建模过程是解决数列应用题的重点，要正确理解题意，恰当设出数列的基本量.
【典型例题】
类型一：等差、等比数列概念及其性质
例1. 在和之间插入个正数，使这个数依次成等比数列，求所插入的个数之积.
【思路点拨】本题中，将看作已知量，运用基本量法或者等比数列的性质解决问题. 该题考查学生的推理论证能力与运算求解能力，综合性较强，同学们应认真分析。
【答案】
【解析】
方法一：设插入的个数为，且公比为，则
∴，（）
方法二：设插入的个数为，，
，，
【变式1】已知两个等比数列，，满足，，
，.
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若数列唯一，求的值.
【答案】（1）或
（2）
【变式2】已知等差数列，公差，中部分项组成的数列，，，…，，…恰为等比数列，且知,,.
（1）求；
（2）证明: .
【解析】依题意:，，.
∵，，为等比数列，
∴，解得.
∴等比数列的首项，公比，
∴
又在等差数列中是第项， ∴
∴（），
解得.
（2）

例2. 已知等差数列，, , 则（ ）
A.125 B.175 C.225 D.250
【思路点拨】本题是关于等差数列的求值问题，故用常用的基本量法或者等差数列的性质解决即可。难点在于项数不确定，在解题过程中不妨采用合适的方法加以回避。
【答案】C
【解析】
方法一：利用等差数列的性质
∵为等差数列，
∴,,成等差数列，即
∴，
解得,
∴选C.
方法二：特殊值法
令，由题意可得,,
∴，，
∴,
∴选C.
方法三：基本量法
,，
两式相减可得，
∴. ∴选C.
【变式】已知等比数列，, , 则（ ）
A.75 B.2880 C. D.63
【答案】D
例3． 如果一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32：27，求公差.
【思路点拨】这是关于等差数列的求值问题，采用基本量法解决即可. 注意奇数项的首项为，公差为22；偶数项首项为，公差为.
【答案】 5
【解析】设等差数列首项为，公差为d，则
所以该数列的公差是5.
【变式】已知：三个数成等比数列，积为216，若第二个数加上4，则它们构成一个等差数列,求这三个数.
【答案】这三个数为2，6，18或18，6，2.
例4．等差数列中，,，则它的前__ 项和最大，最大项的值是____.
【思路点拨】等差数列的首项>0，公差必然是负数，这样前项和有最大值. 取得最大值时的项为数列中最后一个正数（或0），它处于正负相间的位置，满足
【答案】7，49
【解析】设公差为, 由题意得，得,
∴是首项为正数的递减数列，有最大值.
又,


所以为最大值，即=7×13+=49.
【变式】若数列是等差数列，数列满足，的前项和用表示，若中满足，试问多大时，取得最大值，证明你的结论.
【解析】∵，
∴，解得>0
∴，
故是首项为正的递减数列.
则有,即
解得：15≤≤16，∴=16，即>0，