2021-2022学年上学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之估算无理数的大小

这是一份2021-2022学年上学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之估算无理数的大小，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之估算无理数的大小
一、选择题（共9小题）
1．（2021秋•中原区校级期中）现有四个无理数，，，，其中在+1和+1之间有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2021秋•铜山区期中）设面积为6的正方形的边长为a．下列关于a的四种说法：
①a是有理数；②a是无理数；③a可以用数轴上的一个点来表示；④2＜a＜3．其中说法正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2021秋•龙华区校级期中）如图，在数轴上点A和点B之间的整数是（　　）

A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
4．（2021秋•富阳区期中）若k＜＜k+1（k是整数），则k等于（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．（2021春•吴兴区校级期中）估计3的值的范围应该在（　　）
A．9与9.5之间 B．9.5与10之间
C．10与10.5之间 D．10.5与11之间
6．（2021春•沙坪坝区校级期中）估计2+×的运算结果应在下列哪两个数之间（　　）
A．4.5和5.0 B．5.0和5.5 C．5.5和6.0 D．6.0和6.5
7．（2021春•建昌县期中）数4＜5＜9，则有＜＜，即2＜＜3，所以的整数部分是2，小数部分是﹣2．用这种方法可以推断的整数部分和小数部分分别是（　　）
A．5， B．2， C．5， D．2，
8．（2021•河北）在数轴上标注了四段范围，如图，则表示的点落在（　　）

A．段① B．段② C．段③ D．段④
9．（2021•遵义）若a、b均为正整数，且，则a+b的最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（共5小题）
10．（2021春•浦东新区期中）如果a＜＜a+1，那么整数a＝　 　．
11．（2021秋•蓬溪县期中）已知a、b为有理数，m、n分别表示6﹣的整数部分和小数部分，且amn+bn2＝1，则2a﹣3b＝　 　．
12．（2021秋•丰台区校级期中）已知整数m满足m＜＜m+1，则m的值是　 　．
13．（2021•洛阳一模）a，b是两个连续整数，若a＜＜b，则＝　 　．
14．（2010•东阳市）如图，在数轴上点A和点B之间的整数是　 　．

三、解答题（共5小题）
15．（2021春•庆阳期中）计算：
（1）；
（2）﹣12+（﹣2）3×；
（3）已知实数a、b满足+|b﹣1|＝0，求a2021+b2021的值．
（4）已知+1的整数部分为a，﹣1的小数部分为b，求2a+3b的值．
16．（2021春•荔湾区校级期中）定义[x]等于不超过实数x的最大整数，定义{x}＝x﹣[x]，例如[π]＝3，{π}＝π﹣[π]＝π﹣3．
（1）填空（直接写出结果）：[]＝　 　，{}＝　 　，[]+{}＝　 　．
（2）计算：[+]+{+}﹣{}+[]．
17．（2021春•来凤县期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵＜＜，即2＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为﹣2．根据以上知识解答下列各题：
（1）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b+5的值；
（2）已知10+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y+的相反数．
18．（2021春•合肥期中）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
19．（2021秋•青岛期中）方法回顾：在进行数值估算时，我们常根据所求数值的条件确定它的大致范围，然后通过逐步缩小数值存在范围的方法，最终求得较为准确的数值．
如我们在探究面积为2的正方形的边长a的值时，有如下探究过程：
1＜a＜2
1＜s＜4
1.4＜a＜1.5
1.96＜s＜2.25
1.41＜a＜1.42
1.9881＜s＜2.0164
1.414＜a＜1.415
1.999396＜s＜2.002225
我们也可以借助数轴直观地看出“逐步缩小数值的存在范围”的过程，

这种方法在我们的解决问题的过程中经常会用到
问题提出：a是小于100的正整数，已知它的立方，不借助计算器，如何确定a呢？
问题探究：我们不妨由简单到复杂，从一位整数的立方开始研究
步骤一、若13＜a3＜103，则1＜a＜10．即已知一个一位整数的立方为a3，怎样确定a？
易得：13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，73＝343：83＝512，93＝729，可以通过从1到9的九个整数的立方值确定这个数．观察这九个立方值我们还能发现，他们的个位数字各不相同．
步骤二、若103＜a3＜1003．则10＜a＜100，即已知一个两位数的立方为a3，怎样确定a？我们不妨举几个特例，以便寻找解决问题的方法．
特例1．如果一个两位整数a的立方是5832，怎样确定a？
因为103＜5832＜1003，所以10＜a＜100，a是一个两位数．
又因为103＜5832＜203，所以我们可以确定5832的十位数字是 　 　；再根据步骤一我们就能得出它的个位数是 　 　；从而确定这个两位数是 　 　．
特例2．如果x是一个两位整数，且x3＝614125，请你仿照上面的过程说明你确定这个两位整数的方法．
拓展应用：一颗近似球形的小行星的体积为26244000πm3，请你根据以上方法求出这个小行星的半径．（球的体积公式v＝πR3）

2021-2022学年上学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之估算无理数的大小
参考答案与试题解析
一、选择题（共9小题）
1．（2021秋•中原区校级期中）现有四个无理数，，，，其中在+1和+1之间有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】估算无理数的大小；二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【专题】实数；二次根式；数感．
【答案】B
【分析】看它们的平方为多少，得到相应的范围，由此即可求解．
【解答】解：∵（+1）2＝3+2，（+1）2＝4+2，
∴5＜3+2＜6，7＜4+2＜8，
∴＜+1＜＜＜+1＜，
∴在+1与+1之间的有，两个，
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
2．（2021秋•铜山区期中）设面积为6的正方形的边长为a．下列关于a的四种说法：
①a是有理数；②a是无理数；③a可以用数轴上的一个点来表示；④2＜a＜3．其中说法正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】有理数；实数与数轴；估算无理数的大小．菁优网版权所有
【专题】实数．
【答案】C
【分析】直接利用得出正方形的边长，再利用实数的性质分析得出答案．
【解答】解：∵面积为3的正方形的边长为a，
∴a＝，
故①a是有理数，错误；
②a是无理数，正确；
③a可以用数轴上的一个点来表示，正确；
④2＜a＜3，正确，
则说法正确的是：②③④共3个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数的性质以及无理数的估算，正确掌握实数有关性质是解题关键．
3．（2021秋•龙华区校级期中）如图，在数轴上点A和点B之间的整数是（　　）

A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
【考点】实数与数轴；估算无理数的大小．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】根据算术平方根的定义得到1＜＜2，3＜＜4，则点A和点B之间是大于1小于4的数，所以满足条件的整数为2和3．
【解答】解：∵1＜2＜4，9＜10＜16，
∴1＜＜2，3＜＜4，
∴在数轴上点A和点B之间的整数为2，3．
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了算术平方根．
4．（2021秋•富阳区期中）若k＜＜k+1（k是整数），则k等于（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【考点】估算无理数的大小．菁优网版权所有
【专题】计算题；实数．
【答案】C
【分析】估算确定出k的值即可．
【解答】解：∵81＜90＜100，
∴9＜＜10，
则k等于9，
故选：C．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，弄清估算的方法是解本题的关键．
5．（2021春•吴兴区校级期中）估计3的值的范围应该在（　　）
A．9与9.5之间 B．9.5与10之间
C．10与10.5之间 D．10.5与11之间
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【专题】二次根式．
【答案】B
【分析】根据3＝，进而估算得出答案．
【解答】解：∵3＝，
∴9＜＜10，
∵9.52＝90.25，
∴3的值的范围应该在：9.5与10之间．
故选：B．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出3＝是解题关键．
6．（2021春•沙坪坝区校级期中）估计2+×的运算结果应在下列哪两个数之间（　　）
A．4.5和5.0 B．5.0和5.5 C．5.5和6.0 D．6.0和6.5
【考点】估算无理数的大小；二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；实数．
【答案】B
【分析】原式化简后，估算即可得到结果．
【解答】解：原式＝2+＝2+2，
∵2.89＜3＜3.24，
∴1.7＜＜1.8，即5.0＜2+2＜5.5，
故选：B．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．（2021春•建昌县期中）数4＜5＜9，则有＜＜，即2＜＜3，所以的整数部分是2，小数部分是﹣2．用这种方法可以推断的整数部分和小数部分分别是（　　）
A．5， B．2， C．5， D．2，
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【专题】整式．
【答案】A
【分析】找到最接近29的两个平方数25和36，再仿照条件推断的过程进行解题．
【解答】解：∵25＜29＜36
∴
即5＜＜6
∴的整数部分是5，小数部分是
故选：A．
【点评】本题考查了算术平方根的定义，无理数的估算．准确找到最接近要求的数的平方数是解题关键，是估算无理数大小的常考题型．
8．（2021•河北）在数轴上标注了四段范围，如图，则表示的点落在（　　）

A．段① B．段② C．段③ D．段④
【考点】实数与数轴；估算无理数的大小．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】根据数的平方，即可解答．
【解答】解：2.62＝6.76，2.72＝7.29，2.82＝7.84，2.92＝8.41，32＝9，
∵7.84＜8＜8.41，
∴，
∴的点落在段③，
故选：C．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是计算出各数的平方．
9．（2021•遵义）若a、b均为正整数，且，则a+b的最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
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【专题】计算题．
【答案】B
【分析】本题需先根据已知条件分别求出a的最小值和b的值，即可求出a+b的最小值．
【解答】解：a、b均为正整数，且，
∴a的最小值是3，
b的值只能是：1，
则a+b的最小值4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了如何估算无理数的大小，在解题时要能根据题意求出a、b的值是本题的关键．
二、填空题（共5小题）
10．（2021春•浦东新区期中）如果a＜＜a+1，那么整数a＝　2　．
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【答案】见试题解答内容
【分析】根据＜＜，推出2＜＜3，推出a＝2，a+1＝3，求出即可．
【解答】解：∵＜＜，
∴2＜＜3，
∵a＜＜a+1，
∴a＝2，a+1＝3，
即a＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了无理数和二次根式的性质，关键是求出的范围．
11．（2021秋•蓬溪县期中）已知a、b为有理数，m、n分别表示6﹣的整数部分和小数部分，且amn+bn2＝1，则2a﹣3b＝　　．
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【专题】计算题；二次根式．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先对6﹣估算出大小，从而求出其整数部分m，其小数部分n＝6﹣﹣m．再分别代入amn+bn2＝1进行计算，求出a，b的值，最后代入2a﹣3b即可求得结果．
【解答】解：∵2＜＜3，
∴4＞6﹣＞3，
∴m＝3，n＝6﹣﹣3＝3﹣，
∵amn+bn2＝1，
∴3（3﹣）a+b（3﹣）2＝1，
化简得（9a+16b）﹣（3a+6b）＝1，
等式两边相对照，因为结果不含，
∴9a+16b＝1且3a+6b＝0，
解得a＝1，b＝﹣，
∴2a﹣3b＝2×1﹣3×（﹣）＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算．能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键．
12．（2021秋•丰台区校级期中）已知整数m满足m＜＜m+1，则m的值是　6　．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】本题从的整数大小范围出发，然后确定m的大小．
【解答】解：∵＜＜，
∴6＜＜7，
∴当m＝6时，则m+1＝7适合．
故答案为：6．
【点评】本题考查了无理数的大小问题，本题从的大小出发，很容易求出m的值．
13．（2021•洛阳一模）a，b是两个连续整数，若a＜＜b，则＝　1　．
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【答案】见试题解答内容
【分析】先估算的大小，确定a，b的值，即可解答．
【解答】解：∵4＜7＜9，
∴2，
∴a＝2，b＝3，
∴＝，
故答案为：1+2．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算的范围．
14．（2010•东阳市）如图，在数轴上点A和点B之间的整数是　2　．

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【答案】见试题解答内容
【分析】可用“夹逼法”估计，的近似值，得出点A和点B之间的整数．
【解答】解：1＜＜2；2＜＜3，
∴在数轴上点A和点B之间的整数是2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，解决本题的关键是得到最接近无理数的两个有理数的值．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
三、解答题（共5小题）
15．（2021春•庆阳期中）计算：
（1）；
（2）﹣12+（﹣2）3×；
（3）已知实数a、b满足+|b﹣1|＝0，求a2021+b2021的值．
（4）已知+1的整数部分为a，﹣1的小数部分为b，求2a+3b的值．
【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；估算无理数的大小；实数的运算．菁优网版权所有
【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用算术平方根以及立方根的定义化简进而得出答案；
（2）直接利用算术平方根以及立方根的定义化简进而得出答案
（3）利用绝对值以及平方根的性质得出a，b的值，进而得出答案；
（4）直接利用的范围进而得出a，b的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）
＝3﹣6+3
＝0；

（2）﹣12+（﹣2）3×
＝﹣1﹣1+3×（﹣）
＝﹣3；

（3）∵+|b﹣1|＝0，
∴a＝1，b＝1，
a2021+b2021
＝1+1
＝2；

（4）∵+1的整数部分为a，﹣1的小数部分为b，
∴a＝3，b＝﹣2，
∴2a+3b＝6+3﹣6
＝3．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小以及实数运算，正确化简各数是解题关键．
16．（2021春•荔湾区校级期中）定义[x]等于不超过实数x的最大整数，定义{x}＝x﹣[x]，例如[π]＝3，{π}＝π﹣[π]＝π﹣3．
（1）填空（直接写出结果）：[]＝　1　，{}＝　﹣1　，[]+{}＝　　．
（2）计算：[+]+{+}﹣{}+[]．
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【专题】新定义．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）定义[x]等于不超过实数x的最大整数，定义{x}＝x﹣[x]，依此即可求解；
（2）根据[x]≤x＜[x]+1与{x}＝x﹣[x]求值后，再计算加减法即可求解．
【解答】解：（1）[]＝1，{}＝﹣1，[]+{}＝1+﹣1＝．
（2）[+]+{+}﹣{}+[]
＝3++﹣3﹣+1+2
＝3+．
故答案为：1，﹣1，．
【点评】此题考查了取整函数的性质．注意性质[x]≤x＜[x]+1与{x}＝x﹣[x]的应用．
17．（2021春•来凤县期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵＜＜，即2＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为﹣2．根据以上知识解答下列各题：
（1）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b+5的值；
（2）已知10+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y+的相反数．
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【专题】实数；数感；运算能力．
【答案】（1）+6；
（2）﹣12．
【分析】（1）首先得出，的取值范围，求得a，b，进而得出答案；
（2）首先估算出的大小，然后求得x、y的值，从而可求得答案．
【解答】解：（1）∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
∴的整数部分为2，小数部分a＝﹣2，
∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∴b＝3，
∴a+b+5＝﹣2+3+5＝+6；
（2）∵1＜3＜4，
∴1＜＜2．
∵10+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，
∴x＝11，y＝﹣1，
∴x﹣y+＝11﹣（﹣1）+＝12，
∴x﹣y+的相反数是﹣12．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出a，b的值是解题关键．
18．（2021春•合肥期中）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
【考点】平方根；算术平方根；估算无理数的大小．菁优网版权所有
【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用立方根以及算术平方根的定义得出a，b，c的值；
（2）利用（1）中所求，代入求出答案．
【解答】解：（1）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16，
∴a＝5，b＝2，
∵c是的整数部分，
∴c＝3；

（2）将a＝5，b＝2，c＝3代入得：3a﹣b+c＝16，
∴3a﹣b+c的平方根是±4．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小以及算术平方根和立方根，正确把握相关定义是解题关键．
19．（2021秋•青岛期中）方法回顾：在进行数值估算时，我们常根据所求数值的条件确定它的大致范围，然后通过逐步缩小数值存在范围的方法，最终求得较为准确的数值．
如我们在探究面积为2的正方形的边长a的值时，有如下探究过程：
1＜a＜2
1＜s＜4
1.4＜a＜1.5
1.96＜s＜2.25
1.41＜a＜1.42
1.9881＜s＜2.0164
1.414＜a＜1.415
1.999396＜s＜2.002225
我们也可以借助数轴直观地看出“逐步缩小数值的存在范围”的过程，

这种方法在我们的解决问题的过程中经常会用到
问题提出：a是小于100的正整数，已知它的立方，不借助计算器，如何确定a呢？
问题探究：我们不妨由简单到复杂，从一位整数的立方开始研究
步骤一、若13＜a3＜103，则1＜a＜10．即已知一个一位整数的立方为a3，怎样确定a？
易得：13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，73＝343：83＝512，93＝729，可以通过从1到9的九个整数的立方值确定这个数．观察这九个立方值我们还能发现，他们的个位数字各不相同．
步骤二、若103＜a3＜1003．则10＜a＜100，即已知一个两位数的立方为a3，怎样确定a？我们不妨举几个特例，以便寻找解决问题的方法．
特例1．如果一个两位整数a的立方是5832，怎样确定a？
因为103＜5832＜1003，所以10＜a＜100，a是一个两位数．
又因为103＜5832＜203，所以我们可以确定5832的十位数字是 　1　；再根据步骤一我们就能得出它的个位数是 　8　；从而确定这个两位数是 　18　．
特例2．如果x是一个两位整数，且x3＝614125，请你仿照上面的过程说明你确定这个两位整数的方法．
拓展应用：一颗近似球形的小行星的体积为26244000πm3，请你根据以上方法求出这个小行星的半径．（球的体积公式v＝πR3）
【考点】尾数特征；实数与数轴；估算无理数的大小．菁优网版权所有
【专题】阅读型．
【答案】见试题解答内容
【分析】特例1．根据方法回顾先得到5832立方根的十位数字，进一步得到它的个位数即可求解；
特例2．根据方法回顾先得到614125立方根的十位数字，进一步得到它的个位数即可求解；
拓展应用：根据方法回顾先得到26244000π÷（π）立方根的十位数字，进一步得到它的个位数即可求解．
【解答】解：因为103＜5832＜203，所以我们可以确定5832的十位数字是 1；再根据步骤一我们就能得出它的个位数是8；从而确定这个两位数是 18．
故答案为：1，8，18；
特例2．因为803＜614125＜903，所以我们可以确定x的十位数字是8；再根据步骤一我们就能得出它的个位数是5；从而确定x是85；
拓展应用：因为1203＜26244000π÷（π）＜1303，所以我们可以确定这个小行星的半径的百位数字为2，十位数字是7；再根据步骤一我们就能得出它的个位数是0；从而确定这个小行星的半径是270m．
【点评】考查了立方根，关键是熟练掌握逐步缩小数值的存在范围的过程．

考点卡片
1．有理数
1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．
2、有理数的分类：
①按整数、分数的关系分类：有理数；
②按正数、负数与0的关系分类：有理数．
注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
2．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．
3．尾数特征
尾数特征．
4．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
5．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
6．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
7．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
8．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
9．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
10．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．