高中物理第一章 动量守恒定律2 动量定理学案及答案

2.动量定理

学习目标：1.[物理观念]通过学习，理解冲量的概念及其矢量性．　2.[科学思维]通过理论推导，掌握动量定理，理解其确切含义．　3.[科学思维]通过实例分析，能够利用动量定理解释缓冲、碰撞等有关现象和解决实际问题．

☆ 阅读教材，回答第6页“问题”并梳理必要知识点．教材P6“问题”提示：延长船与岸的接触时间，以减小它们之间的作用力．

一、动量定理

1．冲量

2．动量定理

(1)物体在一个过程中所受力的冲量等于它在这个过程始末的动量变化量．

(2)表达式：I＝p′－p或F(t′－t)＝mv′－mv.

冲量的大小与物体是否运动无关．

二、动量定理的应用

　根据动量定理可知：如果物体的动量发生的变化是一定的，那么作用时间短，物体受的力就大；作用时间长，物体受的力就小.

1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)冲量是矢量，其方向与力的方向相同． (√)

(2)力越大，力对物体的冲量就越大． (×)

(3)若物体在一段时间内，其动量发生了变化，则物体在这段时间内的合外力一定不为零．               (√)

(4)合外力对物体不做功，则物体的动量一定不变． (×)

2．(多选)下列关于物体动量和冲量的说法正确的是(　　)

A．物体所受合外力冲量越大，它的动量也越大

B．物体所受合外力冲量不为零，它的动量一定会改变

C．物体动量增量的方向，就是它所受冲量的方向

D．物体所受合外力越大，它的动量变化就越快

BCD　[由FΔt＝Δp知，FΔt越大，Δp越大，但动量不一定大；由动量定理可知，物体所受合外力冲量不为零，它的动量一定会改变；冲量与Δp不仅大小相等，而且方向相同；由F＝知，物体所受合外力越大，其动量变化就越快．]

3．从高处跳到低处时，为了安全，一般都是让脚尖先着地，这样做是为了(　　)

A．减小冲量

B．减小动量的变化量

C．增大与地面的冲击时间，从而减小冲力

D．增大人对地面的压强，起到安全作用

C　[脚尖先着地，接着逐渐到整个脚着地，延缓了人落地时动量变化所用的时间，由动量定理可知，人落地时，动量变化量一定，这样可以减小地面对人的冲击力，从而避免人受到伤害，故C项正确．]

1．对冲量的理解

(1)冲量是过程量：冲量描述的是作用在物体上的力对时间的积累效应，与某一过程相对应．

(2)冲量的矢量性：冲量是矢量，在作用时间内力的方向不变时，冲量的方向与力的方向相同，如果力的方向是变化的，则冲量的方向与相应时间内物体动量变化量的方向相同．

(3)冲量的绝对性：冲量仅由力和时间两个因素决定，具有绝对性．

(4)冲量的单位：冲量与动量的单位关系是1 N·s＝1 kg·m/s.

2．冲量的计算

(1)计算冲量的大小时，一定要注意是哪个力在哪一段时间内的冲量，只要力不为零，一段时间内的冲量就不为零．

(2)公式I＝Ft只适合用于计算恒力的冲量，若是变力的冲量，可考虑用以下方法求解：

①用动量定理I＝mv′－mv求冲量．

②若力随时间均匀变化，则可用平均力求冲量．

③若给出了力F随时间t变化的图像，可用F­t图像与t轴所围的面积求冲量．如图所示，力F在1 s内的冲量I1＝F1t1＝20×1 N·s＝20 N·s，力F在6 s内的冲量I＝20×1 N·s－10×5 N·s＝－30 N·s.

(3)合冲量计算的三种方法：

①分别求每一个力的冲量，再求各冲量的矢量和；

②如果各力的作用时间相同，也可以先求合力，再用I合＝F合t求解；

③用动量定理I＝p′－p求解．

名师点睛：冲量与功的区别

(1)做功的多少由力的大小、位移的大小及力和位移的夹角三个因素决定，冲量的大小只由力的大小和时间两个因素决定，力作用在物体上一段时间，力的冲量不为零，但力对物体做的功可能为零．

(2)功是标量，其正、负表示的是动力对物体做功还是物体克服阻力做功．冲量是矢量，其正负号表示方向，计算冲量时要先规定正方向．

【例1】　在倾角为37°、足够长的斜面上，有一质量为5 kg的物体沿斜面滑下，物体与斜面间的动摩擦因数μ＝0.2，求物体下滑2 s的时间内，物体所受各力的冲量．(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)

[解析]　物体沿斜面下滑的过程中，受重力、支持力和摩擦力的作用．冲量I＝Ft，是矢量．

重力的冲量IG＝Gt＝mgt＝5×10×2 N·s＝100 N·s，方向竖直向下．

支持力的冲量IFN＝FNt＝mg cos α·t＝5×10×0.8×2 N·s＝80 N·s，方向垂直于斜面斜向上．

摩擦力的冲量IFf＝Fft＝μmg cos α·t＝0.2×5×10×0.8×2 N·s＝16 N·s，方向沿斜面向上．

[答案]　见解析

1在求力的冲量时，首先明确是求哪个力的冲量，是恒力还是变力.

2注意不要忘记说明冲量的方向.

训练角度1　对冲量的理解

1．(多选)关于冲量，下列说法中正确的是(　　)

A．冲量的方向是由力的方向决定的

B．冲量的方向一定和动量的方向相同

C．冲量的大小一定和动量变化量的大小相同

D．物体所受合力的冲量等于物体动量的变化

ACD　[冲量是矢量，它的方向是由力的方向决定的，A正确；冲量的方向和动量的方向不一定相同，比如平抛运动，冲量方向竖直向下，动量方向是轨迹的切线方向，B错误；根据动量定理，物体所受合力的冲量等于物体动量的变化，冲量的大小一定和动量变化量的大小相同，C、D正确．]

训练角度2　冲量的计算

2．如图所示，质量为m的小滑块沿倾角为θ的斜面向上滑动，经过时间t1速度变为零，然后又下滑，经过时间t2回到斜面底端，滑块在运动过程中受到的摩擦力大小始终为F1.在整个过程中，重力对滑块的总冲量为(　　)

A．mg sin θ(t1＋t2)

B．mgsin θ(t1－t2)

C．mg(t1＋t2)

D．0

C　[根据冲量的定义式I＝Ft，重力对滑块的冲量应为重力乘作用时间，所以IG＝mg(t1＋t2)，故C正确．]

1．动量定理的理解

(1)动量定理的表达式mv′－mv＝F·Δt是矢量式，等号包含了大小相等、方向相同两方面的含义．

(2)动量定理反映了合外力的冲量是动量变化的原因．

(3)公式中的F是物体所受的合外力，若合外力是变力，则F应是合外力在作用时间内的平均值．

2．动量定理的应用

(1)定性分析有关现象

①物体的动量变化量一定时，力的作用时间越短，力就越大；力的作用时间越长，力就越小．

②作用力一定时，力的作用时间越长，动量变化量越大；力的作用时间越短，动量变化量越小．

(2)定量计算有关物理量

动量定理p′－p＝I中，动量变化Δp与合力的冲量大小相等，方向相同，据此有：

①应用I＝Δp求变力的冲量．

②应用Δp＝FΔt求恒力作用下曲线运动中物体动量的变化．

③应用动量定理可以计算某一过程中的平均作用力，通常用于计算持续作用的变力的平均大小．

名师点睛：1.动量定理的使用具有普遍性，不论物体的轨迹是直线还是曲线，是恒力还是变力，是单个物体还是物体系，是宏观还是微观，都是适用的．

2．应用动量定理解题时要选好受力物体和研究过程，当物体所受各力的作用时间不相同且间断作用时，应用动量定理解题对全过程列式较为简单．在解题时要树立整体优先的意识．

【例2】　蹦床运动是运动员在一张绷紧的弹性网上蹦跳、翻滚并做各种空中动作的运动项目．一个质量为60 kg的运动员，从离水平网面3.2 m高处自由下落，着网后沿竖直方向蹦回离水平网面5.0 m高处．已知运动员与网接触的时间为1.2 s，若把这段时间内网对运动员的作用力当作恒力处理，求此力的大小和方向．(g取10 m/s2)

[解析]　方法一：运动员刚接触网时速度的大小v1＝＝ m/s＝8 m/s，方向向下．

刚离网时速度的大小v2＝＝ m/s＝10 m/s，方向向上．

运动员与网接触的过程，设网对运动员的作用力为F，则运动员受到向上的弹力F和向下的重力mg，对运动员应用动量定理(以向上为正方向)，有：

(F－mg)Δt＝mv2－m(－v1)

F＝＋mg

解得F＝ N＝1 500 N，方向向上．

方法二：本题也可以对运动员下降、与网接触、上升的全过程应用动量定理：

自由下落的时间为

t1＝＝ s＝0.8 s

运动员离网后上升所用的时间为

t2＝＝ s＝1 s

整个过程中运动员始终受重力作用，仅在与网接触的t3＝1.2 s的时间内受到网对他向上的弹力FN的作用，对全过程应用动量定理(取向上为正方向)，有

FNt3－mg(t1＋t2＋t3)＝0

则FN＝mg＝×60×10 N＝1 500 N，方向向上．

[答案]　1 500 N　方向向上

　例2中，若运动员落到普通沙坑中，经Δt1＝0.1 s停下，其他条件不变，则沙坑对运动员的平均冲力约为多少？

【提示】　由(F－mg)Δt1＝0－(－mv1)

得F＝5 400 N.

用动量定理进行定量计算时的注意事项

(1)列方程前首先选取正方向；  

(2)分析速度时一定要选取同一参考系，一般是选地面为参考系；

(3)公式中的冲量应是合外力的冲量，求动量的变化量时要严格按公式，且要注意动量的变化量是末动量减去初动量．

3．质量为m的物体静止在足够大的水平面上，物体与水平面的动摩擦因数为μ，有一水平恒力作用于物体上，并使之加速前进，经时间t1后去掉此恒力，求物体运动的总时间t总．

[解析]　方法一：物体的运动可分为两个阶段，第一阶段受两个力F、Ff的作用，时间为t1，物体由A运动到B速度达到v1；第二阶段物体只受Ff的作用，时间为t2，由B运动到C，速度由v1变为0.

设向右为正方向，根据动量定理得：

第一阶段：(F－Ff)t1＝mv1－0＝mv1

第二阶段：－Ff·t2＝0－mv1＝－mv1

两式相加：F·t1－Ff(t1＋t2)＝0

因为Ff＝μmg，代入上式，可求出t2＝

所以t总＝t1＋t2＝.

方法二：把两个阶段当成一个过程来看：F作用t1时间，μmg则作用了t总时间，动量变化Δp＝0.则

F·t1－μmgt总＝0，解得t总＝.

[答案]　

1．(多选)恒力F作用在

质量为m的物体上，如图所示，由于地面对物体的摩擦力较大，物体没有被拉动，则经时间t，下列说法正确的是(　　)

A．拉力F对物体的冲量大小为零

B．拉力F对物体的冲量大小为Ft

C．拉力F对物体的冲量大小是Ftcos θ

D．合力对物体的冲量大小为零

BD　[对冲量的计算一定要分清求的是哪个力的冲量，是某一个力的冲量、是合力的冲量、是分力的冲量还是某一个方向上力的冲量，某一个力的冲量与另一个力的冲量无关，故拉力F的冲量为Ft，A、C错误，B正确；物体处于静止状态，合力为零，合力的冲量为零，D正确．]

2．同一人以相同的力量跳远时，跳在沙坑里比跳在水泥地上安全，这是由于(　　)

A．人跳在沙坑的动量比跳在水泥地上的小

B．人跳在沙坑的动量变化比跳在水泥地上的小

C．人跳在沙坑受到的冲量比跳在水泥地上的小

D．人跳在沙坑受到的冲力比跳在水泥地上的小

D　[落地前的速度是一定的，初动量是一定的，所以选项A错误；落地后静止，末动量一定，人的动量变化是一定的，选项B错误；由动量定理可知人受到的冲量等于人的动量变化，所以两种情况下人受到的冲量相等，选项C错误；落在沙坑里力作用的时间长，落在水泥地上力作用的时间短，根据动量定理，在动量变化一定的情况下，时间t越长，则受到的冲力F越小，故选项D正确．]

3．如图所示，将一杯水放在桌边，杯下压一张纸条．若缓慢拉动纸条(此过程中杯子相对纸条滑动)，发现杯子会滑落；当快速拉动纸条时，发现杯子并没有滑落．对于这个实验，下列说法正确的是(　　)

A．缓慢拉动纸条时，摩擦力对杯子的冲量较小

B．快速拉动纸条时，摩擦力对杯子的冲量较大

C．为使杯子不滑落，杯子与纸条间的动摩擦因数应尽量大一些

D．为使杯子不滑落，杯子与桌面间的动摩擦因数应尽量大一些

D　[在缓慢拉动和快速拉动纸条的过程中，杯子受到的摩擦力均为滑动摩擦力，大小相等，但快速拉动时，纸条与杯子作用时间短，此时摩擦力对杯子的冲量小，由I＝Δp可知，杯子增加的动量较小，因此杯子没有滑落，缓慢拉动时，摩擦力对杯子的冲量大，杯子增加的动量大，杯子会滑落，选项A、B错误；为使杯子不滑落，摩擦力对杯子的冲量应尽量小一些，杯子与纸条间的动摩擦因数应尽量小一些，选项C错误；杯子与桌面间的动摩擦因数较大时，杯子在桌面上做减速运动的加速度较大，则滑动的距离较小，杯子不容易滑落，选项D正确．]

4．人们常说“滴水穿石”，请你根据下面所提供的信息，估算水对石头的冲击力的大小．一瀑布落差为h＝20 m，水流量为Q＝0.10 m3/s，水的密度ρ＝1.0×103 kg/m3，水在最高点和落至石头上后的速度都认为是零．(落在石头上的水立即流走，在讨论石头对水的作用时可以不考虑水的重力，g取10 m/s2)

[解析]　设水滴下落与石头碰前速度为v，则有

mgh＝mv2

设时间Δt内有质量为Δm的水冲到石头上，石头对水的作用力大小为F，方向向上，由动量定理(取向上为正方向)得：

－FΔt＝0－Δmv

又因Δm＝ρQΔt

联立得：F＝2×103 N

由牛顿第三定律知，水对石头的作用力：F′＝F＝2×103 N，方向竖直向下．

[答案]　2×103 N

5．[思维拓展]

一质量为m、长为L的柔软绳自由悬垂，下端恰与一台秤的秤盘接触．某时刻放开柔软绳上端，如图所示，求台秤的最大读数．

[解析]　设t时刻落到秤盘上的绳长为x，此时绳速为v＝.在Δt(Δt→0)时间内，有质量为Δm＝ρΔx的绳落到秤盘上，其中ρ为绳的线密度(线密度是绳单位长度的质量)．取向上为正方向，忽略微元段绳本身的重力冲量，根据动量定理，有

FΔt＝0－(－Δm·v)

解得F＝2ρgx

故N＝F＋ρgx＝3ρgx

所以台秤的最大读数为3mg，出现在软绳将要全部掉到秤盘上时．

[答案]　3mg