人教版 (2019)选择性必修 第一册2 简谐运动的描述导学案

2．简谐运动的描述

学习目标：1.[物理观念]理解振幅、周期和频率，了解相位．　2.[科学思维]能用简谐运动的表达式描述简谐运动．

☆ 阅读本节教材，回答第35页“问题”并梳理必要的知识点．教材第35页问题提示：根据简谐运动的周期性、振动快慢的特点，物理学引入了振幅、周期和频率描绘简谐运动．

一、描述简谐运动的物理量

1．振幅

(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫作振动的振幅．用A表示，国际单位为米(m)．

(2)物理含义：振幅是描述振动范围的物理量；振幅的大小反映了振动的强弱和振动系统能量的大小．

2．周期(T)和频率(f)

注意：不管以哪个位置作为研究起点，做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的．

3．相位：在物理学中，周期性运动在各个时刻所处的不同状态用不同的相位来描述．

二、简谐运动的表达式

1．表达式：简谐运动的表达式可以写成

x＝Asin或x＝Asin

2．表达式中各量的意义

(1)“A”表示简谐运动的“振幅”．

(2)ω是一个与频率成正比的物理量，叫简谐运动的圆频率．

(3)“T”表示简谐运动的周期，“f”表示简谐运动的频率，它们之间的关系为T＝.

(4)“t＋φ”或“2πft＋φ”表示简谐运动的相位．

(5)“φ”表示简谐运动的初相位，简称初相．

说明：

1．相位ωt＋φ是随时间变化的一个变量．

2．相位每增加2π就意味着完成了一次全振动．

1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)振幅就是振子的最大位移．  (×)

(2)从任一个位置出发又回到这个位置所用的最短时间就是一个周期．

  (×)

(3)振动物体的周期越大，表示振动得越快． (×)

(4)简谐运动的位移表达式与计时时刻物体所在位置无关． (×)

2．(多选)如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C间振动，则(　　)

A．从B→O→C→O→B为一次全振动

B．从O→B→O→C→B为一次全振动

C．从C→O→B→O→C为一次全振动

D．B、C两点关于O点对称

ACD　[O点为平衡位置，B、C为两侧最远点，则从B起经O、C、O、B的路程为振幅的4倍，即A正确；若从O起经B、O、C、B的路程为振幅的5倍，超过一次全振动，即B错误；若从C起经O、B、O、C的路程为振幅的4倍，即C正确；因弹簧振子的系统摩擦不考虑，所以它的振幅一定，故B、C两点关于O点对称，D正确．]

3．(多选)物体A做简谐运动的振动位移xA＝3sin m，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5sin m．比较A、B的运动(　　)

A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m

B．周期是标量，A、B周期相等，为100 s

C．A振动的圆频率ωA等于B振动的圆频率ωB

D．A的相位始终超前B的相位

CD　[振幅是标量，A、B的振幅分别是3 m、5 m，A错；A、B的圆频率ω＝100 rad/s，周期T＝＝ s＝6.28×10－2 s，B错，C对；Δφ＝φAO－φBO＝为定值，D对．]

1．振幅与位移、路程、周期的关系

(1)振幅与位移：振动中的位移是矢量，振幅是标量．在数值上，振幅与振动物体的最大位移相等，在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化．

(2)振幅与路程：振动中的路程是标量，是随时间不断增大的．其中常用的定量关系是：一个周期内的路程为4倍振幅，半个周期内的路程为2倍振幅．

(3)振幅与周期：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关．

2．对全振动的理解

(1)全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，叫作一次全振动．

(2)正确理解全振动的概念，还应注意把握全振动的四个特征．

①物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同．

②时间特征：历时一个周期．

③路程特征：振幅的4倍．

④相位特征：增加2π.

【例1】　一个做简谐运动的质点，它的振幅是4 cm，频率是2.5 Hz，该质点从平衡位置开始经过2.5 s后，位移的大小和经过的路程为(　　)

A．4 cm　10 cm　　　 B．4 cm　100 cm

C．0　24 cm     D．0　100 cm

思路点拨：根据质点在一个周期内通过路程为4A，求路程．

B　[质点的振动周期T＝＝0.4 s，故时间t＝T＝6T，所以2.5 s末质点在最大位移处，位移大小为4 cm，质点通过的路程为4×4×6 cm＝100 cm，选项B正确．]

振幅与路程的关系

振动中的路程是标量，是随时间不断增大的．一个周期内的路程为4倍的振幅，半个周期内的路程为2倍的振幅．

(1)若从特殊位置开始计时，如平衡位置、最大位移处，周期内的路程等于振幅．

(2)若从一般位置开始计时，周期内的路程与振幅之间没有确定关系，路程可能大于、等于或小于振幅．

1．弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点间做简谐运动，BC相距20 cm，某时刻振子处于B点，经过0.5 s，振子首次到达C点．求：

(1)振子的振幅；

(2)振子的周期和频率；

(3)振子在5 s内通过的路程大小．

[解析]　(1)设振幅为A，则有2A＝BC＝20 cm，所以A＝10 cm.

(2)从B点首次到C点的时间为周期的一半，因此T＝2t＝1 s；再根据周期和频率的关系可得f＝＝1 Hz.

(3)振子一个周期通过的路程为4A＝40 cm，则5 s内通过的路程为s＝·4A＝5×40 cm＝200 cm.

[答案]　(1)10 cm　(2)1 s　1 Hz　(3)200 cm

1.简谐运动的表达式：x＝Asin(ωt＋φ)

式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移；t表示振动的时间；A表示振动质点偏离平衡位置的最大距离，即振幅．

2．各量的物理含义

(1)圆频率：表示简谐运动物体振动的快慢，与周期T及频率f的关系：ω＝＝2πf.

(2)φ表示t＝0时简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相．ωt＋φ表示做简谐运动的质点在t时刻处在一个运动周期中的哪个状态，所以表示简谐运动的相位．

3．做简谐运动的物体运动过程中的对称性

(1)瞬时量的对称性：各物理量关于平衡位置对称．以水平弹簧振子为例，振子通过关于平衡位置对称的两点，位移、速度、加速度大小相等，动能、势能、机械能相等．

(2)过程量的对称性：振动质点来回通过相同的两点间的时间相等，如tB C＝tC B；质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，如tB C＝tB′C′，如图所示．

4．做简谐运动的物体运动过程中的周期性

简谐运动是一种周而复始的周期性的运动，按其周期性可做如下判断：

(1)若t2－t1＝nT，则t1、t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况相同．

(2)若t2－t1＝nT＋T，则t1、t2两时刻，描述运动的物理量(x、F、a、v)均大小相等，方向相反．

(3)若t2－t1＝nT＋T或t2－t1＝nT＋T，则当t1时刻物体到达最大位移处时，t2时刻物体到达平衡位置；当t1时刻物体在平衡位置时，t2时刻物体到达最大位移处；若t1时刻物体在其他位置，t2时刻物体到达何处就要视具体情况而定．

【例2】　一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8 cm，频率为0.5 Hz，在t＝0时，位移是4 cm，且向x轴负方向运动，试写出用正弦函数表示的振动方程，并画出相应的振动图像．

思路点拨：简谐运动振动方程的一般表达式x＝Asin(ωt＋φ)，读出振幅A，由ω＝2πf求出ω，将在t＝0时，位移是4 cm代入即可求解振动方程，便能画出振动图像．

[解析]　简谐运动的表达式为x＝Asin(ωt＋φ)，根据题目所给条件得A＝8 cm，ω＝2πf＝π，所以x＝8sin(πt＋φ) cm，将t＝0，x0＝4 cm代入得4＝8sin φ，解得初相φ＝或φ＝π，因为t＝0时，速度方向沿x轴负方向，即位移在减小，所以取φ＝π，所求的振动方程为x＝8sin(πt＋π) cm，画对应的振动图像如图所示．

[答案]　见解析

用简谐运动表达式解答振动问题的方法

(1)明确表达式中各物理量的意义，可直接读出振幅、圆频率、初相．

(2)ω＝＝2πf是解题时常涉及到的表达式．

(3)解题时画出其振动图像，会使解答过程简捷、明了．

2．一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动．可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm，周期为3.0 s．当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐．地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船．在一个周期内，游客能舒服登船的时间是________．

[解析]　由于振幅A为20 cm，振动方程为y＝Asin ωt(平衡位置计时，ω＝)，由于高度差不超过10 cm，游客能舒服地登船，代入数据可知，在一个振动周期内，临界时刻为t1＝，t2＝，所以在一个周期内舒服登船的时间为Δt＝t2－t1＝＝1.0 s.

[答案]　1.0 s

1．下列说法正确的是(　　)

A．物体完成一次全振动，通过的位移是4个振幅

B．物体在个周期内，通过的路程是1个振幅

C．物体在1个周期内，通过的路程是4个振幅

D．物体在个周期内，通过的路程是3个振幅

C　[在一次全振动中，物体回到了原来的位置，故通过的位移一定为零，A错误；物体在个周期内，通过的路程不一定是1个振幅，与物体的初始位置有关，只有当物体的初始位置在平衡位置或最大位移处时，物体在个周期内，通过的路程才等于1个振幅，B错误；根据对称性可知，物体在1个周期内，通过的路程是4个振幅，C正确；物体在个周期内，通过的路程不一定是3个振幅，与物体的初始位置有关，只有当物体的初始位置在平衡位置或最大位移处时，物体在个周期内，通过的路程才是3个振幅，D错误．]

2．如图所示，m为在光滑水平面上的弹簧振子，弹簧形变的最大限度为20 cm，图中P位置是弹簧振子处于自然伸长状态的位置，若将振子m向右拉动5 cm后由静止释放，经过0.5 s后振子m第一次回到P位置，关于该弹簧振子，下列说法正确的是(　　)

A．该弹簧振子的振动频率为1 Hz

B．在P位置给振子m任意一个向左或向右的初速度，只要最大位移不超过20 cm，总是经过0.5 s速度就降为0

C．若将振子m向左拉动2 cm后由静止释放，振子m连续两次经过P位置的时间间隔是2 s

D．若将振子m向右拉动10 cm后由静止释放，经过1 s振子m第一次回到P位置

B　[将振子m向右拉动5 cm后由静止释放，经过0.5 s后振子m第一次回到P位置经历，所以T＝4×0.5 s＝2 s，振动的频率f＝＝ Hz，A错误；振动的周期与振幅的大小无关，在P位置给振子m任意一个向左或向右的初速度，只要最大位移不超过20 cm，总是经过T＝0.5 s到达最大位移处，速度降为0，B正确；振动的周期与振幅的大小无关，振子m连续两次经过P位置的时间间隔是半个周期，即1 s，C错误；振动的周期与振幅的大小无关，所以若将振子m向右拉动10 cm后由静止释放，经过0.5 s振子m第一次回到P位置，D错误．]

3．一个质点在水平方向上做简谐运动的位移随时间变化的关系是x＝5sin 5πt(cm)，则下列判断正确的是(　　)

A．该简谐运动的周期是0.2 s

B．前1 s内质点运动的路程是100 cm

C．0.4 s到0.5 s内质点的速度在逐渐减小

D．t＝0.6 s时质点的动能为0

C　[由简谐运动的位移随时间变化的关系式x＝5sin 5πt(cm)，可知圆频率ω＝5π，则周期T＝＝ s＝0.4 s，A错误；1个周期内运动的路程为4A＝20 cm，所以前1 s内质点运动的路程是s＝·4A＝2.5×20 cm＝50 cm，B错误；0.4 s到0.5 s质点由平衡位置向最大位移处运动，速度减小，C正确；t＝0.6 s时，质点经过平衡位置，动能最大，D错误．]

4．(多选)一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法正确的是(　　)

A．质点的振动频率为4 Hz

B．在0～10 s内质点经过的路程是20 cm

C．在第5 s末，质点速度为零，加速度最大

D．在t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点位移大小相等

BCD　[由题图读出周期为T＝4 s，则频率为f＝＝0.25 Hz，A错误；质点在一个周期内通过的路程是4个振幅，则在0～10 s内质点经过的路程是s＝20 cm，B正确；在第5 s末，质点位于最大位移处，速度为零，加速度最大，C正确；由题图可以看出，在t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点位移大小相等，D正确．]

5．[思维拓展]

情景：在心电图仪、地震仪等仪器工作过程中，要进行振动记录，如图甲所示是一个常用的记录方法，在弹簧振子的小球上安装一支记录用笔P，在下面放一条白纸带，当小球振动时，匀速拉动纸带(纸带运动方向与振子振动方向垂直)，笔就在纸带上画出一条曲线，如图乙所示．

问题：(1)若匀速拉动纸带的速度为1 m/s，则由图中数据算出振子的振动周期为多少？

(2)试着作出P的振动图像．

(3)若拉动纸带做匀加速直线运动，且振子振动周期与原

来相同．由图丙中数据求纸带的加速度．

提示：(1)由图乙可知，当纸带匀速前进20 cm时，弹簧振子恰好完成一次全振动，由v＝，可得t＝＝ s＝0.2 s，所以周期T＝0.2 s.

(2)由图乙可以看出P的振幅为2 cm，振动图像如图所示．

(3)当纸带做匀加速直线运动时，振子振动周期仍为0.2 s，由丙图可知，两个相邻0.2 s时间内，纸带运动的距离分别为0.21 m、0.25 m，由Δx＝aT2，得加速度a＝ m/s2＝1.0 m/s2.

[答案]　(1)0.2 s　(2)见解析图　(3)1.0 m/s2