高中物理人教版 (2019)选择性必修 第一册第二章 机械振动4 单摆学案设计

4.单　摆

学习目标：1.[物理观念]知道什么是单摆，单摆的构造，单摆回复力的来源．　2.[科学思维]掌握单摆振动的特点，理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动．　3.[科学探究]会用单摆测定重力加速度．

☆ 阅读本节教材，回答第44页“问题”并梳理必要知识点．

教材第44页问题提示：摆角很小时，单摆的振动为简谐运动．

一、单摆及单摆的回复力

1．单摆模型

如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫作单摆．单摆是实际摆的理想化模型．

在单摆模型里，悬线无弹性、不可伸缩、没有质量，小球是质点，单摆是一个理想化的模型．

2．单摆的回复力

(1)回复力的提供：摆球的重力沿切线方向的分力，即F＝mgsin_θ.

(2)回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置．

(3)运动规律：单摆在偏角很小时做简谐运动，其振动图像遵循正弦函数规律．

二、单摆的周期

1．影响单摆周期的因素

(1)单摆的周期与摆球质量、振幅无关．

(2)单摆的周期与摆长有关，摆长越长，周期越大．

2．周期公式

(1)公式：T＝2π.

(2)单摆的等时性：单摆的周期与振幅无关的性质．

1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)单摆回复力的方向总是指向悬挂位置． (×)

(2)单摆的回复力是由摆球重力的分力提供的． (√)

(3)单摆的振幅越大周期越大．  (×)

(4)单摆的周期与摆球的质量无关． (√)

2．(多选)关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是(　　)

A．摆球受重力、摆线的张力作用

B．摆球的回复力最大时，向心力为零

C．摆球的回复力为零时，向心力最大

D．摆球的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大

ABC　[单摆在运动过程中，摆球受重力和摆线的拉力，故A对；重力垂直于摆线的分力提供回复力，当回复力最大时，摆球在最大位移处，速度为零，向心力为零，则摆线拉力小于重力，在平衡位置处，回复力为零，速度最大，向心力最大，摆球的加速度方向沿摆线指向悬点，故D错，B、C对．]

3．(多选)如图所示是一个单摆(θ＜5°)，其周期为T，则下列说法正确的是(　　)

A．把摆球的质量增加一倍，其周期不变

B．此摆由O→B运动的时间为

C．摆球由B→O时，动能向势能转化

D．摆球由O→C时，动能向势能转化

ABD　[单摆的周期与摆球的质量无关，A正确；此摆由O→B运动的时间为，B正确；摆球由B→O时，势能转化为动能，由O→C时动能转化为势能，C错误，D正确．]

教材第44页“思考与讨论”答案提示：

方法一：分析单摆的回复力，看其与位移是否成正比，并且方向相反．

方法二：分析单摆位移与时间的关系是否满足正弦关系．

1．单摆运动特点

(1)摆线以悬点为圆心做变速圆周运动，因此在运动过程中只要速度v≠0，半径方向都有向心力．

(2)摆线同时以平衡位置为中心做往复运动，因此在运动过程中只要不在平衡位置，轨迹的切线方向都有回复力．

2．摆球的受力

(1)任意位置

如图所示，G2＝Gcos θ，F－G2的作用就是提供摆球绕O′做变速圆周运动的向心力；G1＝Gsin θ的作用是提供摆球以O为中心做往复运动的回复力．

(2)平衡位置

摆球经过平衡位置时，G2＝G，G1＝0，此时F应大于G，F－G提供向心力，因此，在平衡位置，回复力F回＝0，与G1＝0相符．

(3)单摆的简谐运动

在θ很小时(理论值为＜5°)，sin θ≈tan θ＝，

G1＝Gsin θ＝x，

G1方向与摆球位移方向相反，所以有回复力

F回＝G1＝－x＝－kx(k＝)．

因此，在摆角θ很小时，单摆做简谐运动．

【例1】　(多选)下列关于单摆的说法，正确的是(　　)

A．单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处的位移为A(A为振幅)，再运动到平衡位置时的位移为零

B．单摆摆球的回复力等于摆球所受的合力

C．单摆摆球的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力

D．单摆摆球经过平衡位置时加速度为零

思路点拨：解决该题的关键是要分清物体的受力、回复力、向心力之间的关系．

AC　[简谐运动中的位移是以平衡位置作为起点，摆球在正向最大位移处时位移为A，在平衡位置时位移应为零，A正确；摆球的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，合力在摆线方向的分力提供向心力，B错误，C正确；摆球经过最低点(摆动的平衡位置)时回复力为零，但向心力不为零，所以合力不为零，加速度也不为零，D错误．]

对于单摆的两点说明

(1)所谓平衡位置，是指摆球静止时，摆线拉力与小球所受重力平衡的位置，并不是指摆动过程中的受力平衡位置．实际上，在摆动过程中，摆球受力不可能平衡．

(2)回复力是由摆球受到的重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ提供的，不可误认为回复力是重力G与摆线拉力T的合力．

训练角度1　单摆模型

1．(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是(　　)

A．摆线质量不计

B．摆线长度不伸缩

C．摆球的直径比摆线长度小得多

D．只要是单摆的运动就是简谐运动

ABC　[单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量且摆线不伸缩，摆球直径远小于摆线长度，A、B、C项正确；把单摆的运动作为简谐运动来处理是有条件的，只有在偏角很小(θ≤5°)的情况下才能视单摆的运动为简谐运动，D项错误．]

训练角度2　单摆的回复力

2．关于做简谐运动的单摆，下列说法正确的是(　　)

A．摆球经过平衡位置时所受合力为零

B．摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比

C．只有在最高点时，回复力才等于重力和摆线拉力的合力

D．摆球在任意位置处，回复力都不等于重力和摆线拉力的合力

C　[摆球经过平衡位置时，回复力为零，但由于摆球做圆周运动，经过平衡位置，合力不为零，合力提供向心力，方向指向悬点，A错误；摆球所受回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，重力沿摆线方向的分力与摆线对摆球的拉力的合力提供向心力，所以摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小不成正比，B错误；根据牛顿第二定律可知，摆球在最大位移处时，速度为零，向心加速度为零，重力沿摆线方向的分力等于摆线对摆球的拉力，回复力才等于重力和摆线拉力的合力，在其他位置时，速度不为零，向心加速度不为零，重力沿摆线方向的分力小于摆线对摆球的拉力，回复力不等于重力和摆线拉力的合力，故C正确，D错误．]

教材第46页“实验”答案提示：

利用描点法在坐标纸上画出T­l图像为曲线，T2­l图像为过原点的一条倾斜直线．由此得出单摆振动周期与摆长的关系T2∝l.

1．摆长l的确定

实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度，即l＝l0＋，l0为摆线长，D为摆球直径．

2．重力加速度g的变化

(1)公式中的g由单摆所在地空间位置决定

由G＝g知，g随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值g′代入公式，即g不一定等于9.8 m/s2.

(2)g还由单摆系统的运动状态决定

如单摆处在向上加速发射的航天飞机内，设加速度为a，此时摆球处于超重状态，沿圆弧切线方向的回复力变大，摆球质量不变，则重力加速度的等效值g′＝g＋a.

(3)g还由单摆所处的物理环境决定

如带电小球做成的单摆在竖直方向的匀强电场中，回复力应是重力和电场力的合力在圆弧切线方向的分力，所以也有g′的问题．

【例2】　如图所示，将摆长为L的单摆放在一升降机中，若升降机以加速度a向上匀加速运动，求单摆的摆动周期．

思路点拨：本题考查单摆周期公式．解题关键是正确理解单摆周期公式中的g应为等效重力加速度，由单摆所处的位置，摆球的受力情况及系统运动的加速度决定．

[解析]　单摆的平衡位置在竖直位置，若摆球相对升降机静止，则摆球受重力mg和绳拉力F，根据牛顿第二定律：F－mg＝ma，此时摆球的视重mg′＝F＝m(g＋a)，所以单摆的等效重力加速度g′＝＝g＋a，因而单摆的周期为T＝2π＝2π.

[答案]　2π

确定单摆周期的方法

(1)明确单摆的运动过程，判断是否符合简谐运动的条件．

(2)运用T＝2π时，注意l和g是否发生变化，若发生变化，则分别求出不同l和g时的运动时间．

(3)单摆振动周期改变的途径：

①改变单摆的摆长；

②改变单摆的重力加速度(改变单摆的地理位置或使单摆超重或失重)．

(4)明确单摆振动周期与单摆的质量和振幅没有任何关系．

3．如图所示，三根细线在O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为l的两点上，使∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，已知OC线长是l，下端C点系着一个小球(可视为质点且做小角度摆动)．

让小球在纸面内振动，周期T＝________.让小球在垂直纸面内振动，周期T＝________.

[解析]　让小球在纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为l，周期T＝2π；让小球在垂直纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为，周期T＝2π.

[答案]　2π　2π

1．(多选)关于单摆，下列说法正确的是(　　)

A．摆球受到的回复力是它所受的合力

B．摆球经过平衡位置时，所受的合力不为零

C．摆角很小时，摆球所受合力的大小跟摆球相对于平衡位置的位移大小成正比

D．摆角很小时，摆球的回复力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比

BD　[摆球所受的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，不是摆球所受的合力，A选项错误；摆球经过平衡位置时，回复力为零，但由于摆球做圆周运动，有向心力，合力不为零，方向指向悬点，B选项正确；摆角很小时，回复力与摆球相对于平衡位置的位移大小成正比，但合力没有此关系，C选项错误，D选项正确．]

2．(多选)发生下述哪一种情况时，单摆周期会增大(　　)

A．增大摆球质量

B．增加摆长

C．减小单摆振幅

D．将单摆由山下移到山顶

BD　[由单摆的周期公式T＝2π可知，g减小或L增大时周期会变大．]

3．(多选)一个单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是(　　)

A．t1时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小

B．t2时刻摆球速度最大，但加速度不为零

C．t3时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最大

D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大

ABD　[由振动图像可知：t1和t3时刻摆球偏离平衡位置的位移最大，此时摆球速度为零，悬线对摆球的拉力最小；t2和t4时刻摆球位移为零，正在通过平衡位置，速度最大，悬线对摆球的拉力最大．故正确答案为A、B、D.]

4．若单摆的摆长不变，摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时的速度减小为原来的，则单摆摆动的

频率________，振幅变________．

[解析]　单摆的周期和频率由摆长和当地的重力加速度决定，与摆球的质量和速度无关；另外由机械能守恒定律可知，摆球经过平衡位置的速度减小了，则摆动的最大高度减小，振幅减小．

[答案]　不变　小

5．[思维拓展]如图所示，ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，R≫.甲球从弧形槽的球心处自由落下，乙球从A点由静止释放．

问题：(1)两球第1次到达C点的时间之比．

(2)若在圆弧的最低点C的正上方h处由静止释放小球甲，让其自由下落，同时乙球从圆弧左侧由静止释放，欲使甲、乙两球在圆弧最低点C处相遇，则甲球下落的高度h是多少？

[解析]　(1)甲球做自由落体运动

R＝gt，所以t1＝.

乙球沿圆弧做简谐运动(由于≪R，可认为摆角θ＜5°)．

此振动与一个摆长为R的单摆振动模型相同，故此等效摆长为R，因此乙球第1次到达C处的时间t2＝T＝×2π＝，所以t1∶t2＝.

(2)甲球从离弧形槽最低点h高处开始自由下落，到达C点的时间t甲＝.

由于乙球运动的周期性，所以乙球到达C点的时间t乙＝＋n＝(2n＋1)(n＝0,1,2，…)

由于甲、乙在C处相遇，故t甲＝t乙

解得h＝(n＝0,1,2，…)．

[答案]　(1)　(2)(n＝0,1,2，…)