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高中物理人教版 (2019)选择性必修 第一册6 受迫振动 共振导学案
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这是一份高中物理人教版 (2019)选择性必修 第一册6 受迫振动 共振导学案，共13页。
☆ 阅读本节教材第50页问题，并梳理必要知识点．
教材第50页问题提示：手掌摩擦盆耳的频率等于盆的固有频率时，盆发生了共振现象，因此会溅起层层水花．
一、振动中的能量损失
1．固有振动
如果振动系统不受外力的作用，此时的振动叫作固有振动，其振动频率称为固有频率．
2．阻尼振动
(1)阻力作用下的振动
当振动系统受到阻力的作用时，振动受到了阻尼，系统克服阻尼的作用要做功，消耗机械能，因而振幅减小，最后停下来．
(2)阻尼振动
振幅随时间逐渐减小的振动．振动系统受到的阻尼越大，振幅减小得越快，阻尼振动的图像如图所示，振幅越来越小，最后停止振动．
二、受迫振动、共振
1．受迫振动
(1)驱动力：作用于振动系统的周期性的外力．
(2)受迫振动：振动系统在驱动力作用下的振动．
(3)受迫振动的频率：做受迫振动的系统振动稳定后，其振动频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率没有关系．
2.共振
(1)定义：当驱动力的频率等于振动物体的固有频率时，物体做受迫振动的振幅达到最大值的现象．
(2)条件：驱动力频率等于系统的固有频率．
(3)特征：共振时受迫振动的振幅最大．
(4)共振曲线：如图所示．表示受迫振动的振幅A与驱动力频率f的关系图像，图中f0为振动物体的固有频率．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)固有频率由系统本身决定．(√)
(2)阻尼振动的频率不断减小．(×)
(3)阻尼振动的振幅不断减小．(√)
(4)受迫振动的频率等于振动系统的固有频率．(×)
(5)驱动力频率越大，振幅越大．(×)
2．(多选)一单摆做阻尼振动，则在振动过程中( )
A．振幅越来越小，周期也越来越小
B．振幅越来越小，周期不变
C．通过某一位置时，机械能减小
D．机械能不守恒，周期不变
E．机械能守恒，频率不变
BCD [单摆做阻尼振动时，振幅会减小，机械能减小，振动周期不变，故选项B、C、D对，A、E错．]
3．(多选)下列振动，不属于受迫振动的是( )
A．用重锤敲击一下悬吊着的钟后，钟的振动
B．打点计时器接通电源后，振针的振动
C．小孩睡在自由摆动的吊床上，小孩随着吊床一起摆动
D．弹簧振子在竖直方向上沿上下方向振动
E．共振筛的振动
ACD [受迫振动是指在周期性驱动力作用下的振动，故A、C、D都是自由振动，B、E是受迫振动．]
情景设置：
探究问题：
(1)周期性的驱动力会使振子如何振动？
(2)撤掉外力后，振子的振动发生怎样的变化？
提示：(1)使振子周期性振动．
(2)撤去外力后，振子在振动过程中由于克服阻力做功，振动强度逐渐减弱，振幅越来越小．
1．固有振动和固有频率
如果振动系统不受外力的作用，此时的振动叫作固有振动，其振动频率称为固有频率．
系统的固有频率由系统本身的特征决定，与振幅大小无关．
2．阻尼振动
(1)定义：振幅逐渐减小的振动，叫作阻尼振动．
(2)原因：当振动系统受到阻力的作用时，即振动受到了阻尼时，系统克服阻尼的作用要做功，消耗机械能，因而振幅减小，最后停下来．其振动图像如图所示．
3．对阻尼振动的理解
(1)同一简谐运动能量的大小由振幅大小确定．
(2)阻尼振动振幅减小的快慢跟所受阻尼的大小有关，阻尼越大，振幅减小得越快．
(3)物体做阻尼振动时，振幅虽不断减小，但振动的频率仍由自身结构特点所决定，并不会随振幅的减小而变化．如用力敲锣，由于锣受到空气的阻尼作用，振幅越来越小，锣声减弱，但音调不变．
(4)阻尼振动若在一段不太长的时间内振幅没有明显的减小，可以把它当成简谐运动来处理．
4．无阻尼振动(等幅振动)
如果振动物体从外界取得能量，恰好能补偿能量损失，这时它的振幅将保持不变，称为无阻尼振动．
【例1】 (多选)一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小，下列说法正确的是( )
A．单摆的机械能逐渐转化为其他形式的能
B．单摆后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能
C．单摆振幅减小，频率也随着减小
D．单摆振幅虽然减小，但其频率不变
AD [单摆做阻尼振动，因不断克服空气阻力做功使机械能转化为其他形式的能，但是在振动过程中，动能和势能仍不断相互转化，单摆在从最大位移处向平衡位置运动的过程中，后一时刻的动能大于前一时刻的动能，故选项A正确，选项B错误；做阻尼振动的物体，频率由系统的特征决定，与振幅无关，所以其频率不变，选项C错误，选项D正确．]
理解阻尼振动要从两个方面入手：一是从振动能量上来讲，由于阻力做负功，振动物体的机械能逐渐减小，振幅逐渐变小，但由于振动中动能与势能相互转化，不能说下一时刻的动能或势能变小；二是从振动周期、频率上看，周期与频率由振动系统本身决定，阻尼振动中周期、频率不变.
eq \([跟进训练])
1．(多选)如图所示是单摆做阻尼振动的振动图线，下列说法正确的是( )
A．摆球在M时刻的动能等于N时刻的动能
B．摆球在M时刻的势能等于N时刻的势能
C．摆球在M时刻的机械能等于N时刻的机械能
D．摆球在M时刻的机械能大于N时刻的机械能
BD [单摆做阻尼振动，因此摆球机械能不断减少，选项D正确，C错误；由题图又看出M、N两时刻单摆的位移相同，即在同一位置，摆球势能相同，选项B正确；因摆球机械能越来越小，所以摆球在N时刻动能比M时刻动能小，选项A错误．]
教材第51页图2.6－2，“做一做”答案提示：
钩码做受迫振动的频率与驱动力的频率相等，与物体的固有频率无关．
图2.6－3“做一做”答案提示：稳定后A、D、G三摆振幅相同且最大，C摆、E摆振幅最小．
情景设置：和尚的心病
唐朝洛阳有个和尚喜欢弹拨乐器——磬，奇怪的是，静静的磬经常自鸣自响，无缘无故地发出嗡嗡的声音，磬无故而鸣，使和尚大为惊奇，渐渐由惊而疑，由疑而怯，以为是妖孽作怪，结果忧虑成疾，病倒在床．一天，和尚向前来探望他的朋友诉说了内心的忧虑，正在说话时，寺院里的钟声响了，说来奇怪，磬也发出了嗡嗡的响声．和尚的朋友明白了原因，悄悄用钢锉在磬上锉了几处，从此之后，磬再也不会无故发声了．和尚以为妖怪已被赶走，心事顿消，病也不治而愈．
问题：磬为什么会不敲自鸣呢？
提示：这是共振引起的一种现象．磬的频率偶然地和钟的频率一样，因此每当钟响时，磬也因共振而发出嗡嗡之声．
1．受迫振动
系统在驱动力作用下的振动，叫作受迫振动．如收音机喇叭纸盆的振动、钟表的摆动、洗衣机工作时机壳的振动等都是受迫振动．
2．受迫振动的周期和频率
系统做受迫振动时，振动稳定后的频率等于周期性驱动力的频率，跟系统的固有频率无关．
3．共振
振动系统做受迫振动时，驱动力频率f等于系统的固有频率f0时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫作共振．
注意：固有频率是振动系统不受外力作用时的振动频率．
4．发生共振的条件
驱动力的频率与系统的固有频率相等，即f驱＝f0.
5．共振曲线
如图所示，共振曲线的横坐标为驱动力的频率f.纵坐标为做受迫振动系统的振幅A.
共振曲线直观地反映出驱动力的频率对受迫振动系统振幅的影响，由共振曲线可知，当驱动力的频率与系统的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大．
6．对共振条件的理解
(1)从受力角度来看：驱动力的频率跟物体的固有频率越接近，使物体振幅增大的力的作用次数就越多，当驱动力的频率等于物体的固有频率时，它的每一次作用都使物体的振幅增加，从而振幅达到最大．
(2)从功能关系来看：当驱动力的频率越接近物体的固有频率时，驱动力对物体做正功越多，振幅就越大．当驱动力的频率等于物体的固有频率时，驱动力始终对物体做正功，从而振幅达到最大．
【例2】 (多选)如图所示，一根绷紧的水平绳上挂五个摆，摆球质量均相同，其中A、E摆长均为l，先让A摆振动起来，其他各摆随后也跟着振动起来，则稳定后( )
A．其他各摆振动周期跟A摆相同
B．其他各摆振动的振幅大小相等
C．其他各摆振动的振幅大小不同，E摆的振幅最大
D．B、C、D三摆振动的振幅大小不同，B摆的振幅最小
思路点拨：解答本题关键把握两点：
(1)5个单摆中，由A摆摆动从而带动其它4个单摆做受迫振动，则受迫振动的频率等于A摆摆动的频率．(2)做受迫振动的单摆的固有频率等于驱动力的频率时出现共振、振幅最大．
ACD [A摆振动后迫使水平绳振动，水平绳又迫使B、C、D、E四摆做受迫振动，由于物体做受迫振动的周期总是等于驱动力的周期，因此B、C、D、E四摆的周期跟A摆相同．驱动力的频率等于A摆的固有频率fA＝eq \f(1,TA)＝eq \f(1,2π)eq \r(\f(g,l))，其余四摆的固有频率与驱动力的频率关系：
fB＝eq \f(1,2π)eq \r(\f(g,0.5l))≈1.41fA，fC＝eq \f(1,2π)eq \r(\f(g,1.5l))≈0.82fA，
fD＝eq \f(1,2π)eq \r(\f(g,2l))≈0.71fA，fE＝eq \f(1,2π)eq \r(\f(g,l))＝fA.
可见只有E摆的固有频率与驱动力的频率相等，它发生共振现象，其振幅最大，B、C、D三个摆均不发生共振，振幅各异，其中B摆的固有频率与驱动力的频率相差最大，所以它的振幅最小．]
受迫振动与共振的关系
受迫振动的周期和频率总等于驱动力的周期和频率，但驱动力的频率越接近物体的固有频率，振动的振幅越大，相等时振幅最大．在处理实际问题时要分清振动的类别，注意区分固有频率、受迫振动的频率和驱动力的频率．
eq \([跟进训练])
训练角度1 受迫振动
2．(多选)如图所示，在一条张紧的绳上挂7个摆，摆球质量均相同，先让A摆振动起来，则其余各摆也随之振动．已知A、B、F三摆的摆长相同，则下列判断正确的是( )
A．7个摆的固有频率都相同
B．振动稳定后7个摆的振动频率都相同
C．B、F摆的摆长与A摆相同，它们的振幅最大
D．除A摆外，D、E摆离A摆最近，它们的振幅最大
BC [7个摆的摆长不完全相同，固有频率不完全相同，选项A错误；A摆振动起来后，带动其余6个摆做受迫振动，振动稳定后7个摆的振动频率都相同，选项B正确；B、F摆的摆长与A摆相同，发生共振，振幅最大，选项C正确，D错误．]
训练角度2 共振现象
3．(多选)如图为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，则下列说法正确的是( )
A．若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线
B．若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则两次摆长之比lⅠ∶lⅡ＝25∶4
C．图线Ⅱ若是在地面上完成的，则该摆摆长约为1 m
D．若摆长均为1 m，则图线Ⅰ是在地面上完成的
ABC [受迫振动的频率与固有频率无关，但当驱动力的频率与物体固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，所以，可以根据物体做受迫振动的共振曲线判断出物体的固有频率．根据单摆振动周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，可以得到单摆固有频率为f＝eq \f(1,T)＝eq \f(1,2π)eq \r(\f(g,l))，根据图像中f的信息可以推断摆长或重力加速度的变化情况．
图像中振幅最大处对应频率应与该单摆的固有频率相等，从图像上可以看出，固有频率fⅠ＝0.2 Hz，fⅡ＝0.5 Hz.当单摆在月球和地球上分别做受迫振动且摆长相等时，根据公式f＝eq \f(1,T)＝eq \f(1,2π)eq \r(\f(g,l))可知，g越大，f也越大，所以gⅡ＞gⅠ，又因为g地＞g月，可以推知图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线，所以A正确；若两次受迫振动在地球上同一地点进行，g相同，摆长长的f小，且有eq \f(fⅠ,fⅡ)＝eq \f(0.2,0.5)＝eq \r(\f(lⅡ,lⅠ)).所以lⅠ∶lⅡ＝25∶4，B正确；由地面上的受迫振动共振图线，可知fⅡ＝eq \f(1,2π)eq \r(\f(g,lⅡ))＝0.5 Hz，g＝9.8 m/s2，可以计算出lⅡ＝1 m，所以C正确，D错误．]
【例3】 如图所示为一单摆的共振曲线，该单摆的摆长约为多少？共振时单摆的振幅是多大？共振时摆球的最大速度和摆球振动的最大加速度各为多少？(g取10 m/s2，π2＝10)
思路点拨：共振时，振幅最大，此时驱动力的频率等于固有频率．
[解析] 由共振曲线可知，单摆的固有频率f＝0.5 Hz，因为f＝eq \f(1,2π)eq \r(\f(g,l))，所以l＝eq \f(g,4π2f2)，代入数据解得l＝1 m.
由共振曲线可知，单摆发生共振时，振幅为Amax＝8 cm.设单摆的最大偏角为θ，摆球所能达到的最大高度为h，由机械能守恒定律得eq \f(1,2)mveq \\al(2,max)＝mgh，又h＝l(1－cs θ)，当θ很小时，1－cs θ＝2sin2eq \f(θ,2)＝eq \f(A\\al(2,max),2l2)，解得vmax＝eq \f(Amax,l)eq \r(gl)＝0.25 m/s.
摆球在最大位移处加速度最大，有mgsin θ＝mamax，即amax＝gsin θ＝geq \f(Amax,l)，代入数据解得amax＝0.8 m/s2.
[答案] 1 m 8 cm 0.25 m/s 0.8 m/s2
eq \([跟进训练])
4．物体做受迫振动，驱动力的频率小于物体的固有频率，则当驱动力的频率逐渐增大的过程中，物体的振幅将( )
A．增大 B．减小
C．先增大后减小D．先减小后增大
C [当驱动力的频率f等于物体的固有频率f0时，系统发生共振，振幅最大，当f＜f0时，随f的增大，振幅增大，当f＞f0时，随f的增大，振幅减小，如图所示．由于驱动力的频率小于物体的固有频率，因此当驱动力的频率增大时，物体的振幅先增大后减小．选项C正确．]
1．物理观念：阻尼振动、受迫振动、共振、驱动力．
2．科学思维：利用共振曲线理解共振．
3．科学探究：利用弹簧振子探究共振的条件．
1．(多选)单摆在振动过程中，摆动幅度越来越小，这是因为( )
A．单摆做的是阻尼振动
B．能量正在逐渐消灭
C．动能正在转化为势能
D．总能量守恒，减少的机械能转化为内能
AD [能量不能被消灭，只能发生转化或转移，故B错误；单摆在运动中由于受到空气阻力，要克服空气阻力做功，机械能逐渐减小，转化为内能，由能量守恒定律可知，总能量是守恒的，故C错误，A、D正确．]
2．(多选)如图所示为受迫振动的演示装置，当单摆A振动起来后，通过水平悬绳迫使单摆B、C振动，则下列说法正确的是( )
A．只有A、C摆振动周期相等
B．A摆的振幅比B摆的小
C．B摆的振幅比C摆的小
D．B、C两摆振动时的振幅与其摆长有关，而周期与摆长无关
CD [当单摆A振动起来后，单摆B与C做受迫振动，做受迫振动的物体的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频率)，选项A错误；当物体的固有频率等于驱动力的频率时，发生共振现象，选项B错误，选项C、D正确．]
3．(多选)一台洗衣机的脱水桶正常工作时非常平衡，当切断电源后，发现洗衣机先是振动越来越剧烈，然后振动逐渐减弱，下列说法中正确的是( )
A．正常工作时洗衣机做的是受迫振动
B．正常工作时，洗衣机脱水桶运转的频率比洗衣机的固有频率大
C．正常工作时，洗衣机脱水桶运转的频率比洗衣机的固有频率小
D．当洗衣机振动最剧烈时，脱水桶的运转频率恰好等于洗衣机的固有频率
ABD [切断电源后，脱水桶的转速越来越小，即脱水桶的运转频率越来越小，由题意可知，当洗衣机脱水桶正常工作时，非常稳定，即正常工作时的频率大于洗衣机的固有频率，A、B选项正确，C选项错误；当振动最剧烈时，洗衣机发生了共振，即脱水桶运转频率等于洗衣机的固有频率，D选项正确．]
4．(多选)如图所示，把两个弹簧振子悬挂在同一支架上，已知甲弹簧振子的固有频率为9 Hz，乙弹簧振子的固有频率为72 Hz，当支架在受到竖直方向且频率为9 Hz的驱动力作用做受迫振动时，则两个弹簧振子的振动情况是( )
A．甲的振幅较大
B．甲的振动频率为9 Hz
C．乙的振幅较大
D．乙的振动频率为9 Hz
ABD [根据受迫振动发生共振的条件可知甲的振幅较大，又因为做受迫振动的物体的频率等于驱动力的频率，所以选项A、B、D正确．]
5．[思维拓展]如图所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个由弹簧和小球组成的振动系统，小球浸没在水中．当圆盘静止时，让小球在水中振动，其阻尼振动的频率约为3 Hz.现使圆盘以4 s的周期匀速转动，经过一段时间后，小球振动达到稳定．
问题：小球稳定后它振动的频率是多少？
[解析] 当圆盘转动时，通过小圆柱带动T形支架上下振动，T形支架又通过弹簧给小球一周期性的作用力使其做受迫振动，所以小球振动的频率应等于驱动力的频率，即T形支架的振动频率，而T形支架的频率又等于圆盘转动的频率，故小球振动的频率f＝eq \f(1,T)＝eq \f(1,4) Hz＝0.25 Hz.
[答案] 0.25 Hz振动中的能量损失
受迫振动和共振
简谐运动、阻尼振动、受迫振动及共振的比较
比较项目
振动类型
简谐运动
阻尼振动
受迫振动
共振
受力情况
不受阻力作用
受到阻力作用
受阻力和驱动力作用
受阻力和驱动力作用，且T驱＝T固
振幅
振幅不变
振幅会越来越小
稳定后振幅不变
振幅最大
振动周期或频率
由振动系统本身决定，即固有周期或固有频率
由振动系统本身决定，即固有周期或固有频率
由驱动力周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱
T驱＝T固或f驱＝f固
振动图像
形状不确定
形状不确定
振动能量
振动物体的机械能不变
振动物体的机械能减少
由产生驱动力的物体提供
振动物体获得的能量最大
实例
弹簧振子的振动
用锤敲锣，发出响亮的锣声，但锣声越来越弱，锣面的振幅越来越小，但音调不变
钟摆的摆动
共振筛、共振转速计等
☆ 阅读本节教材第50页问题，并梳理必要知识点．
教材第50页问题提示：手掌摩擦盆耳的频率等于盆的固有频率时，盆发生了共振现象，因此会溅起层层水花．
一、振动中的能量损失
1．固有振动
如果振动系统不受外力的作用，此时的振动叫作固有振动，其振动频率称为固有频率．
2．阻尼振动
(1)阻力作用下的振动
当振动系统受到阻力的作用时，振动受到了阻尼，系统克服阻尼的作用要做功，消耗机械能，因而振幅减小，最后停下来．
(2)阻尼振动
振幅随时间逐渐减小的振动．振动系统受到的阻尼越大，振幅减小得越快，阻尼振动的图像如图所示，振幅越来越小，最后停止振动．
二、受迫振动、共振
1．受迫振动
(1)驱动力：作用于振动系统的周期性的外力．
(2)受迫振动：振动系统在驱动力作用下的振动．
(3)受迫振动的频率：做受迫振动的系统振动稳定后，其振动频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率没有关系．
2.共振
(1)定义：当驱动力的频率等于振动物体的固有频率时，物体做受迫振动的振幅达到最大值的现象．
(2)条件：驱动力频率等于系统的固有频率．
(3)特征：共振时受迫振动的振幅最大．
(4)共振曲线：如图所示．表示受迫振动的振幅A与驱动力频率f的关系图像，图中f0为振动物体的固有频率．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)固有频率由系统本身决定．(√)
(2)阻尼振动的频率不断减小．(×)
(3)阻尼振动的振幅不断减小．(√)
(4)受迫振动的频率等于振动系统的固有频率．(×)
(5)驱动力频率越大，振幅越大．(×)
2．(多选)一单摆做阻尼振动，则在振动过程中( )
A．振幅越来越小，周期也越来越小
B．振幅越来越小，周期不变
C．通过某一位置时，机械能减小
D．机械能不守恒，周期不变
E．机械能守恒，频率不变
BCD [单摆做阻尼振动时，振幅会减小，机械能减小，振动周期不变，故选项B、C、D对，A、E错．]
3．(多选)下列振动，不属于受迫振动的是( )
A．用重锤敲击一下悬吊着的钟后，钟的振动
B．打点计时器接通电源后，振针的振动
C．小孩睡在自由摆动的吊床上，小孩随着吊床一起摆动
D．弹簧振子在竖直方向上沿上下方向振动
E．共振筛的振动
ACD [受迫振动是指在周期性驱动力作用下的振动，故A、C、D都是自由振动，B、E是受迫振动．]
情景设置：
探究问题：
(1)周期性的驱动力会使振子如何振动？
(2)撤掉外力后，振子的振动发生怎样的变化？
提示：(1)使振子周期性振动．
(2)撤去外力后，振子在振动过程中由于克服阻力做功，振动强度逐渐减弱，振幅越来越小．
1．固有振动和固有频率
如果振动系统不受外力的作用，此时的振动叫作固有振动，其振动频率称为固有频率．
系统的固有频率由系统本身的特征决定，与振幅大小无关．
2．阻尼振动
(1)定义：振幅逐渐减小的振动，叫作阻尼振动．
(2)原因：当振动系统受到阻力的作用时，即振动受到了阻尼时，系统克服阻尼的作用要做功，消耗机械能，因而振幅减小，最后停下来．其振动图像如图所示．
3．对阻尼振动的理解
(1)同一简谐运动能量的大小由振幅大小确定．
(2)阻尼振动振幅减小的快慢跟所受阻尼的大小有关，阻尼越大，振幅减小得越快．
(3)物体做阻尼振动时，振幅虽不断减小，但振动的频率仍由自身结构特点所决定，并不会随振幅的减小而变化．如用力敲锣，由于锣受到空气的阻尼作用，振幅越来越小，锣声减弱，但音调不变．
(4)阻尼振动若在一段不太长的时间内振幅没有明显的减小，可以把它当成简谐运动来处理．
4．无阻尼振动(等幅振动)
如果振动物体从外界取得能量，恰好能补偿能量损失，这时它的振幅将保持不变，称为无阻尼振动．
【例1】 (多选)一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小，下列说法正确的是( )
A．单摆的机械能逐渐转化为其他形式的能
B．单摆后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能
C．单摆振幅减小，频率也随着减小
D．单摆振幅虽然减小，但其频率不变
AD [单摆做阻尼振动，因不断克服空气阻力做功使机械能转化为其他形式的能，但是在振动过程中，动能和势能仍不断相互转化，单摆在从最大位移处向平衡位置运动的过程中，后一时刻的动能大于前一时刻的动能，故选项A正确，选项B错误；做阻尼振动的物体，频率由系统的特征决定，与振幅无关，所以其频率不变，选项C错误，选项D正确．]
理解阻尼振动要从两个方面入手：一是从振动能量上来讲，由于阻力做负功，振动物体的机械能逐渐减小，振幅逐渐变小，但由于振动中动能与势能相互转化，不能说下一时刻的动能或势能变小；二是从振动周期、频率上看，周期与频率由振动系统本身决定，阻尼振动中周期、频率不变.
eq \([跟进训练])
1．(多选)如图所示是单摆做阻尼振动的振动图线，下列说法正确的是( )
A．摆球在M时刻的动能等于N时刻的动能
B．摆球在M时刻的势能等于N时刻的势能
C．摆球在M时刻的机械能等于N时刻的机械能
D．摆球在M时刻的机械能大于N时刻的机械能
BD [单摆做阻尼振动，因此摆球机械能不断减少，选项D正确，C错误；由题图又看出M、N两时刻单摆的位移相同，即在同一位置，摆球势能相同，选项B正确；因摆球机械能越来越小，所以摆球在N时刻动能比M时刻动能小，选项A错误．]
教材第51页图2.6－2，“做一做”答案提示：
钩码做受迫振动的频率与驱动力的频率相等，与物体的固有频率无关．
图2.6－3“做一做”答案提示：稳定后A、D、G三摆振幅相同且最大，C摆、E摆振幅最小．
情景设置：和尚的心病
唐朝洛阳有个和尚喜欢弹拨乐器——磬，奇怪的是，静静的磬经常自鸣自响，无缘无故地发出嗡嗡的声音，磬无故而鸣，使和尚大为惊奇，渐渐由惊而疑，由疑而怯，以为是妖孽作怪，结果忧虑成疾，病倒在床．一天，和尚向前来探望他的朋友诉说了内心的忧虑，正在说话时，寺院里的钟声响了，说来奇怪，磬也发出了嗡嗡的响声．和尚的朋友明白了原因，悄悄用钢锉在磬上锉了几处，从此之后，磬再也不会无故发声了．和尚以为妖怪已被赶走，心事顿消，病也不治而愈．
问题：磬为什么会不敲自鸣呢？
提示：这是共振引起的一种现象．磬的频率偶然地和钟的频率一样，因此每当钟响时，磬也因共振而发出嗡嗡之声．
1．受迫振动
系统在驱动力作用下的振动，叫作受迫振动．如收音机喇叭纸盆的振动、钟表的摆动、洗衣机工作时机壳的振动等都是受迫振动．
2．受迫振动的周期和频率
系统做受迫振动时，振动稳定后的频率等于周期性驱动力的频率，跟系统的固有频率无关．
3．共振
振动系统做受迫振动时，驱动力频率f等于系统的固有频率f0时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫作共振．
注意：固有频率是振动系统不受外力作用时的振动频率．
4．发生共振的条件
驱动力的频率与系统的固有频率相等，即f驱＝f0.
5．共振曲线
如图所示，共振曲线的横坐标为驱动力的频率f.纵坐标为做受迫振动系统的振幅A.
共振曲线直观地反映出驱动力的频率对受迫振动系统振幅的影响，由共振曲线可知，当驱动力的频率与系统的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大．
6．对共振条件的理解
(1)从受力角度来看：驱动力的频率跟物体的固有频率越接近，使物体振幅增大的力的作用次数就越多，当驱动力的频率等于物体的固有频率时，它的每一次作用都使物体的振幅增加，从而振幅达到最大．
(2)从功能关系来看：当驱动力的频率越接近物体的固有频率时，驱动力对物体做正功越多，振幅就越大．当驱动力的频率等于物体的固有频率时，驱动力始终对物体做正功，从而振幅达到最大．
【例2】 (多选)如图所示，一根绷紧的水平绳上挂五个摆，摆球质量均相同，其中A、E摆长均为l，先让A摆振动起来，其他各摆随后也跟着振动起来，则稳定后( )
A．其他各摆振动周期跟A摆相同
B．其他各摆振动的振幅大小相等
C．其他各摆振动的振幅大小不同，E摆的振幅最大
D．B、C、D三摆振动的振幅大小不同，B摆的振幅最小
思路点拨：解答本题关键把握两点：
(1)5个单摆中，由A摆摆动从而带动其它4个单摆做受迫振动，则受迫振动的频率等于A摆摆动的频率．(2)做受迫振动的单摆的固有频率等于驱动力的频率时出现共振、振幅最大．
ACD [A摆振动后迫使水平绳振动，水平绳又迫使B、C、D、E四摆做受迫振动，由于物体做受迫振动的周期总是等于驱动力的周期，因此B、C、D、E四摆的周期跟A摆相同．驱动力的频率等于A摆的固有频率fA＝eq \f(1,TA)＝eq \f(1,2π)eq \r(\f(g,l))，其余四摆的固有频率与驱动力的频率关系：
fB＝eq \f(1,2π)eq \r(\f(g,0.5l))≈1.41fA，fC＝eq \f(1,2π)eq \r(\f(g,1.5l))≈0.82fA，
fD＝eq \f(1,2π)eq \r(\f(g,2l))≈0.71fA，fE＝eq \f(1,2π)eq \r(\f(g,l))＝fA.
可见只有E摆的固有频率与驱动力的频率相等，它发生共振现象，其振幅最大，B、C、D三个摆均不发生共振，振幅各异，其中B摆的固有频率与驱动力的频率相差最大，所以它的振幅最小．]
受迫振动与共振的关系
受迫振动的周期和频率总等于驱动力的周期和频率，但驱动力的频率越接近物体的固有频率，振动的振幅越大，相等时振幅最大．在处理实际问题时要分清振动的类别，注意区分固有频率、受迫振动的频率和驱动力的频率．
eq \([跟进训练])
训练角度1 受迫振动
2．(多选)如图所示，在一条张紧的绳上挂7个摆，摆球质量均相同，先让A摆振动起来，则其余各摆也随之振动．已知A、B、F三摆的摆长相同，则下列判断正确的是( )
A．7个摆的固有频率都相同
B．振动稳定后7个摆的振动频率都相同
C．B、F摆的摆长与A摆相同，它们的振幅最大
D．除A摆外，D、E摆离A摆最近，它们的振幅最大
BC [7个摆的摆长不完全相同，固有频率不完全相同，选项A错误；A摆振动起来后，带动其余6个摆做受迫振动，振动稳定后7个摆的振动频率都相同，选项B正确；B、F摆的摆长与A摆相同，发生共振，振幅最大，选项C正确，D错误．]
训练角度2 共振现象
3．(多选)如图为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，则下列说法正确的是( )
A．若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线
B．若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则两次摆长之比lⅠ∶lⅡ＝25∶4
C．图线Ⅱ若是在地面上完成的，则该摆摆长约为1 m
D．若摆长均为1 m，则图线Ⅰ是在地面上完成的
ABC [受迫振动的频率与固有频率无关，但当驱动力的频率与物体固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，所以，可以根据物体做受迫振动的共振曲线判断出物体的固有频率．根据单摆振动周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，可以得到单摆固有频率为f＝eq \f(1,T)＝eq \f(1,2π)eq \r(\f(g,l))，根据图像中f的信息可以推断摆长或重力加速度的变化情况．
图像中振幅最大处对应频率应与该单摆的固有频率相等，从图像上可以看出，固有频率fⅠ＝0.2 Hz，fⅡ＝0.5 Hz.当单摆在月球和地球上分别做受迫振动且摆长相等时，根据公式f＝eq \f(1,T)＝eq \f(1,2π)eq \r(\f(g,l))可知，g越大，f也越大，所以gⅡ＞gⅠ，又因为g地＞g月，可以推知图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线，所以A正确；若两次受迫振动在地球上同一地点进行，g相同，摆长长的f小，且有eq \f(fⅠ,fⅡ)＝eq \f(0.2,0.5)＝eq \r(\f(lⅡ,lⅠ)).所以lⅠ∶lⅡ＝25∶4，B正确；由地面上的受迫振动共振图线，可知fⅡ＝eq \f(1,2π)eq \r(\f(g,lⅡ))＝0.5 Hz，g＝9.8 m/s2，可以计算出lⅡ＝1 m，所以C正确，D错误．]
【例3】 如图所示为一单摆的共振曲线，该单摆的摆长约为多少？共振时单摆的振幅是多大？共振时摆球的最大速度和摆球振动的最大加速度各为多少？(g取10 m/s2，π2＝10)
思路点拨：共振时，振幅最大，此时驱动力的频率等于固有频率．
[解析] 由共振曲线可知，单摆的固有频率f＝0.5 Hz，因为f＝eq \f(1,2π)eq \r(\f(g,l))，所以l＝eq \f(g,4π2f2)，代入数据解得l＝1 m.
由共振曲线可知，单摆发生共振时，振幅为Amax＝8 cm.设单摆的最大偏角为θ，摆球所能达到的最大高度为h，由机械能守恒定律得eq \f(1,2)mveq \\al(2,max)＝mgh，又h＝l(1－cs θ)，当θ很小时，1－cs θ＝2sin2eq \f(θ,2)＝eq \f(A\\al(2,max),2l2)，解得vmax＝eq \f(Amax,l)eq \r(gl)＝0.25 m/s.
摆球在最大位移处加速度最大，有mgsin θ＝mamax，即amax＝gsin θ＝geq \f(Amax,l)，代入数据解得amax＝0.8 m/s2.
[答案] 1 m 8 cm 0.25 m/s 0.8 m/s2
eq \([跟进训练])
4．物体做受迫振动，驱动力的频率小于物体的固有频率，则当驱动力的频率逐渐增大的过程中，物体的振幅将( )
A．增大 B．减小
C．先增大后减小D．先减小后增大
C [当驱动力的频率f等于物体的固有频率f0时，系统发生共振，振幅最大，当f＜f0时，随f的增大，振幅增大，当f＞f0时，随f的增大，振幅减小，如图所示．由于驱动力的频率小于物体的固有频率，因此当驱动力的频率增大时，物体的振幅先增大后减小．选项C正确．]
1．物理观念：阻尼振动、受迫振动、共振、驱动力．
2．科学思维：利用共振曲线理解共振．
3．科学探究：利用弹簧振子探究共振的条件．
1．(多选)单摆在振动过程中，摆动幅度越来越小，这是因为( )
A．单摆做的是阻尼振动
B．能量正在逐渐消灭
C．动能正在转化为势能
D．总能量守恒，减少的机械能转化为内能
AD [能量不能被消灭，只能发生转化或转移，故B错误；单摆在运动中由于受到空气阻力，要克服空气阻力做功，机械能逐渐减小，转化为内能，由能量守恒定律可知，总能量是守恒的，故C错误，A、D正确．]
2．(多选)如图所示为受迫振动的演示装置，当单摆A振动起来后，通过水平悬绳迫使单摆B、C振动，则下列说法正确的是( )
A．只有A、C摆振动周期相等
B．A摆的振幅比B摆的小
C．B摆的振幅比C摆的小
D．B、C两摆振动时的振幅与其摆长有关，而周期与摆长无关
CD [当单摆A振动起来后，单摆B与C做受迫振动，做受迫振动的物体的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频率)，选项A错误；当物体的固有频率等于驱动力的频率时，发生共振现象，选项B错误，选项C、D正确．]
3．(多选)一台洗衣机的脱水桶正常工作时非常平衡，当切断电源后，发现洗衣机先是振动越来越剧烈，然后振动逐渐减弱，下列说法中正确的是( )
A．正常工作时洗衣机做的是受迫振动
B．正常工作时，洗衣机脱水桶运转的频率比洗衣机的固有频率大
C．正常工作时，洗衣机脱水桶运转的频率比洗衣机的固有频率小
D．当洗衣机振动最剧烈时，脱水桶的运转频率恰好等于洗衣机的固有频率
ABD [切断电源后，脱水桶的转速越来越小，即脱水桶的运转频率越来越小，由题意可知，当洗衣机脱水桶正常工作时，非常稳定，即正常工作时的频率大于洗衣机的固有频率，A、B选项正确，C选项错误；当振动最剧烈时，洗衣机发生了共振，即脱水桶运转频率等于洗衣机的固有频率，D选项正确．]
4．(多选)如图所示，把两个弹簧振子悬挂在同一支架上，已知甲弹簧振子的固有频率为9 Hz，乙弹簧振子的固有频率为72 Hz，当支架在受到竖直方向且频率为9 Hz的驱动力作用做受迫振动时，则两个弹簧振子的振动情况是( )
A．甲的振幅较大
B．甲的振动频率为9 Hz
C．乙的振幅较大
D．乙的振动频率为9 Hz
ABD [根据受迫振动发生共振的条件可知甲的振幅较大，又因为做受迫振动的物体的频率等于驱动力的频率，所以选项A、B、D正确．]
5．[思维拓展]如图所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个由弹簧和小球组成的振动系统，小球浸没在水中．当圆盘静止时，让小球在水中振动，其阻尼振动的频率约为3 Hz.现使圆盘以4 s的周期匀速转动，经过一段时间后，小球振动达到稳定．
问题：小球稳定后它振动的频率是多少？
[解析] 当圆盘转动时，通过小圆柱带动T形支架上下振动，T形支架又通过弹簧给小球一周期性的作用力使其做受迫振动，所以小球振动的频率应等于驱动力的频率，即T形支架的振动频率，而T形支架的频率又等于圆盘转动的频率，故小球振动的频率f＝eq \f(1,T)＝eq \f(1,4) Hz＝0.25 Hz.
[答案] 0.25 Hz振动中的能量损失
受迫振动和共振
简谐运动、阻尼振动、受迫振动及共振的比较
比较项目
振动类型
简谐运动
阻尼振动
受迫振动
共振
受力情况
不受阻力作用
受到阻力作用
受阻力和驱动力作用
受阻力和驱动力作用，且T驱＝T固
振幅
振幅不变
振幅会越来越小
稳定后振幅不变
振幅最大
振动周期或频率
由振动系统本身决定，即固有周期或固有频率
由振动系统本身决定，即固有周期或固有频率
由驱动力周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱
T驱＝T固或f驱＝f固
振动图像
形状不确定
形状不确定
振动能量
振动物体的机械能不变
振动物体的机械能减少
由产生驱动力的物体提供
振动物体获得的能量最大
实例
弹簧振子的振动
用锤敲锣，发出响亮的锣声，但锣声越来越弱，锣面的振幅越来越小，但音调不变
钟摆的摆动
共振筛、共振转速计等
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