高中数学北师大版必修32.2建立概率模型备课ppt课件

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由概率模型认识古典概型(1)一般来说,在建立概率模型时,把什么看作是一个基本事件是人为规定的.如果每次试验有一个并且只有一个基本事件出现,只要基本事件的个数是_______,并且它们的发生是_________,就是一个古典概型.(2)从不同的_____去考虑一个实际问题,可以将问题转化为不同的_________来解决,而所得到的_________的所有可能的结果数越少,问题的解决就变得越简单.(3)树状图是进行_____的一种常用方法.
【思考】若一个试验是古典概型,它需要具备什么条件?提示:若一个试验是古典概型,需具备以下两点:(1)有限性:首先判断试验的基本事件是否是有限个,若基本事件无限个,即不可数,则试验不是古典概型.(2)等可能性:其次考查基本事件的发生是不是等可能的,若基本事件发生的可能性不一样,则试验不是古典概型.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)古典概型中所有的基本事件的个数是有限个.(　　)(2)树状图是进行列举的一种常用方法.(　　)(3)在建立概率模型时,所得的结果越少,问题越复杂.(　　)(4)计算基本事件总数和事件A所包含的基本事件的个数时,所选择的观察角度必须统一.
【解析】(1)√.由古典概型的特征知(1)正确.(2)√.用树状图进行列举直观形象.(3)×.结果越多问题就越复杂.(4)√.由古典概型的概率公式易知正确.
2.将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体,从这些小正方体中任取1个,其中恰有两个面涂色的概率是________. 【解析】每层分成9个小正方体,共分成了三层,每层中有4个小正方体恰有2个面涂有颜色,27个小正方体中两面涂有颜色的共有12个,故所求的概率为 .答案:
3.(教材二次开发:例题改编)从装有两个白球和一个红球的袋中逐个不放回地摸两个球,则摸出的两个小球中恰有一个红球的概率为(　　)　　　　　　　　 【解析】选B.不放回地摸出两球共有6种情况.即(白1,红),(白2,红),(白1,白2),(白2,白1),(红,白1),(红,白2),而恰有一个红球的结果有4个,所以P= .
类型一　“放回”与“不放回”问题(数学抽象)【典例】1.从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张,则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是(　　)　　　　　　　　　　　
2.从含有两件正品a1,a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件,连续取两次.(1)若每次取出后不放回,连续取两次,求取出的产品中恰有一件是次品的概率.(2)若每次取出后又放回,连续取两次,求取出的产品中恰有一件是次品的概率.【思路导引】列举法写出所有基本事件,应用古典概型的概率计算公式计算.
【解析】1.选C.从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张,则抽到的2张卡片上的数字有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),(1,9),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(2,9),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(3,9),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(6,7),(6,8),(6,9),(7,8),(7,9),(8,9)共36个基本事件,其中2张卡片上的数奇偶性不同的有20种.所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率P= .
2.(1)每次取一件,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果为(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品,由6个基本事件组成,而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的,用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件,则A={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}.事件A由4个基本事件组成,因而P(A)= .
(2)有放回地连续取出两件,其一切可能的结果为(a1,a1),(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),(b1,b1)共9个基本事件.由于每一件产品被取到的机会均等,因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的,用B表示“恰有一件次品”这一事件,则B={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}.事件B由4个基本事件组成,因而P(B)= .
【解题策略】1.“有放回”与“不放回”问题的区别在于:对于某一试验,若采用“有放回”抽样,则同一个个体可能被重复抽取,而采用“不放回”抽样,则同一个个体不可能被重复抽取.2.无论是“有放回”还是“不放回”抽取,每一件产品被取出的机会都是相等的.
【跟踪训练】袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,(1)从中一次随机摸出2只球,求这2只球颜色不同的概率;(2)若有放回地取球,取两次,求两次取得球的颜色相同的概率.
【解析】(1)设取出的2只球颜色不同为事件A.基本事件有(白,红),(白,黄),(白,黄),(红,黄),(红,黄),(黄,黄)共6种,事件A包含5种,故P(A)= .(2)设两次取得球的颜色相同为事件B.基本事件有(白,白),(白,红),(白,黄),(白,黄),(红,红),(红,白),(红,黄),(红,黄),(黄,黄),(黄,白),(黄,红),(黄,黄),(黄,黄),(黄,白),(黄,红),(黄,黄),共16种,其中颜色相同的有6种,故所求概率为P(B)= .
类型二　“有序”与“无序”问题【典例】将一颗骰子(它的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次,观察向上的点数.(1)求两数之积是6的倍数的概率;(2)设第一次、第二次抛掷向上的点数分别为x,y,求满足lgx(2y)=1的概率.【思路导引】先判断本题是有序问题,然后按古典概型求解即可.
【解析】(1)记“向上的两数之积是6的倍数”为事件A,则由列表可知,所有基本事件有36个,事件A中含有其中的15个基本事件,所以P(A)= ,即两数之积是6的倍数的概率为 .
(2)记“第一次,第二次抛掷向上的点数分别为x,y,且lgx(2y)=1”为事件B.所有基本事件有36个,事件B含有(2,1),(4,2),(6,3)三种情况,所以P(B)= ,即第一次、第二次抛掷向上的点数分别为x,y且满足lgx(2y)=1的概率是 .
【解题策略】若问题与顺序有关,则(a1,a2)与(a2,a1)为两个不同的基本事件;若问题与顺序无关,则(a1,a2)与(a2,a1)表示同一个基本事件.
【跟踪训练】任意投掷两枚质地均匀,六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的骰子.(1)求出现的点数相同的概率;(2)求出现的点数之和为奇数的概率.
【解析】(1)任意投掷两枚骰子,由于骰子质地均匀,因此可以看成是等可能事件.其结果可表示为数组(i,j)(i,j=1,2,…,6),其中i,j分别表示两枚骰子出现的点数,共有6×6=36(种),其中点数相同的数组共有6种,故出现点数相同的概率为 .
(2)方法一:出现的点数之和为奇数由数组(奇,偶)、(偶,奇)组成(如(1,2),(2,3)等).由于每枚骰子的点数中有3个偶数,3个奇数,因此出现的点数之和为奇数的数组有3×3+3×3=18(个),从而所求概率为 .方法二:由于每枚骰子的点数分奇、偶数各3个,而按第1枚、第2枚骰子出现的点数顺次写时有(奇数,奇数)、(奇数,偶数)、(偶数,奇数)、(偶数,偶数)这四种等可能结果,因此出现的点数之和为奇数的概率为 .
类型三　建立概率模型(数学建模)角度1　建立古典概型 【典例】1.一颗质地均匀的正方体骰子,其六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6,将这颗骰子连续投掷三次,观察向上的点数,则三次点数依次相邻的概率为(　　)　　　　　　　　　　
2.(2020·全国卷Ⅰ)设O为正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3点,则取到的3点共线的概率为(　　)　　　　 　　　　　　
【思路导引】结合古典概型特征分析题意,计算古典概型的概率计算公式中m,n的值,进而计算概率.
【解析】1.选B.试验所有可能的结果共有6×6×6=216(个),三次点数依次相邻的结果有8个:123,321,234,432,345,543,456,654,所以P= .
2.选A.如图,从O,A,B,C,D 5个点中任取3个点有
{O,A,B},{O,A,C},{O,A,D},{O,B,C},{O,B,D},{O,C,D},{A,B,C},{A,B,D},{A,C,D},{B,C,D}共10种不同取法,
3点共线只有{O,A,C}与{O,B,D}共2种情况,由古典概型的概率计算公式知,取到3点共线的概率为 .
角度2　古典概型的综合应用 【典例】长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学子的高度赞誉,在第二季“名师云课”中,数学学科共计推出36节云课,为了更好地将课程内容呈现给学生,现对某一时段云课的点击量进行统计如下:
(1)现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节,求选出的点击量超过3 000的节数;(2)为了更好地搭建云课平台,现将云课进行剪辑,若点击量在区间[0,1 000]内,则需要花费40分钟进行剪辑,若点击量在区间(1 000,3000]内,则需要花费20分钟进行剪辑,若点击量超过3 000,则不需要剪辑,现从(1)中选出的6节课中任意选出2节课进行剪辑,求剪辑时间为40分钟的概率.【思路导引】(1)运用分层抽样特征求解;(2)建立古典概型,按步骤求解.
【解析】(1)根据分层抽样,从36节云课中选出6节课,其中点击量超过3 000的节数为 ×12=2.
(2)在(1)中选出的6节课中,点击量在区间[0,1 000]内的有1节,点击量在区间(1 000,3 000]内的有3节,设点击量在区间[0,1 000]内的1节课为A1,点击量在区间(1 000,3 000]内的3节课分别为B1,B2,B3,点击量超过3 000的2节课分别为C1,C2.从中选出2节课的方式有A1B1,A1B2,A1B3,A1C1,A1C2,B1B2,B1B3,B1C1,B1C2,B2B3,B2C1,B2C2,B3C1,B3C2,C1C2,共15种,其中剪辑时间为40分钟的情况有A1C1,A1C2,B1B2,B1B3,B2B3,共5种,则剪辑时间为40分钟的概率P= .
【解题策略】1.建立不同概率模型解决问题时的注意点(1)当所选取的观察试验可能出现的结果的角度不同时,基本事件的个数也将不同,但最终所求概率的值是确定的.(2)建立古典概率模型时要做到①试验所有结果个数尽可能少;②每个结果出现的可能性一定相同;③所要研究的事件都能轻易地表示成若干个基本事件的和.
2.古典概型综合应用的注意点(1)概率问题常常与统计问题结合在一起考查,在此类问题中,概率与频率的区别并不是十分明显,通常直接用题目中的频率代替概率进行计算.(2)涉及方程或者函数的有关概率问题,考查的是如何计算要求的事件A所包含的基本事件的个数,通常需要将函数与方程的知识应用其中.解决此类问题,只需要利用函数、方程知识找出满足条件的参数的范围,从而确定基本事件的个数,最后利用古典概型的概率计算公式进行计算.
【题组训练】1.甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排合影,则甲站在乙的左边的概率为______. 【解析】我们不考虑丙、丁、戊具体站在什么位置,只考虑甲、乙的相对位置,只有甲站在乙的左边和甲站在乙的右边,共2个等可能发生的结果,因此甲站在乙的左边的概率为 .答案:
2.把一枚骰子抛掷2次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b,试就方程组 解的情况,解答下列各题:(1)求方程组只有一个解的概率;(2)求方程组只有正数解的概率.
【解析】若第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b,记为有序数值组(a,b),则所有基本事件为:(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6),(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6),(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6),(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6),(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6),(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6),共36个.由 得
(1)若方程组只有一个解,则b≠2a,满足b=2a的有(1,2),(2,4),(3,6),故适合b≠2a的有36-3=33个.其概率为P1= .
(2)方程组只有正数解需满足b-2a≠0且 分两种情况:当2a>b时,得 当2a1.集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是(　　)　　　　　　　　　　　 【解析】选C.从A,B中各任意取一个数记为(x,y),则有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共6个基本事件.而这两数之和为4的有(2,2),(3,1),共2个基本事件.又从A,B中各任意取一个数的结果是等可能的,故所求的概率为 .
2.一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏,让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行,若卡片按从左到右的顺序排成“1314”,则孩子会得到父母的奖励,那么孩子受到奖励的概率为(　　) 【解析】选A.由题意知,基本事件个数有12个,满足条件的基本事件就一个,故所求概率为P= .
3.从甲、乙、丙、丁、戊5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为________. 【解析】从甲、乙、丙、丁、戊5名学生中随机选出2人,有:甲乙,甲丙,甲丁,甲戊,乙丙,乙丁,乙戊,丙丁,丙戊,丁戊,共10种,其中含甲的有4种.所以甲被选中的概率P= .答案:
4.三张卡片上分别写上字母E,E,B.将三张卡片随机地排成一行,恰好排成英文单词BEE的概率为________. 【解析】三张卡片的排列方法有EEB,EBE,BEE共3种,则恰好排成英文单词BEE的概率为 .答案:
5.(教材二次开发:例题改编)一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个,除颜色外其他特征完全相同,已知蓝色球3个.若从袋子中随机取出1个球,取到红色球的概率是 .(1)求红色球的个数;(2)若将这三种颜色的球分别进行编号,并将1号红色球,1号白色球,2号蓝色球和3号蓝色球这四个球装入另一个袋子中,甲乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取,取出的球不放回),求甲取出的球的编号比乙大的概率.