数学北师大版3二倍角的三角函数图片ppt课件

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半角公式(1)sin (2)cs (3)tan
【说明】(1)正弦和余弦函数的半角公式对任意角均成立,对于正切的半角公式α≠(2k+1)π(k∈Z).(2)等式中的“半角”的意义是相对的.如:半角公式可运用于将2α作为4α的半角;将α作为2α的半角;将 作为 的半角;将 作为3α的半角等情况.
【思考】半角公式有何特征,如何记忆?提示:(1)左边角是右边角的一半.(2)左边是含有 的三角函数的一次式,右边是含有α的三角函数的根式.(3)根号前面的符号由 所在象限相应的三角函数值的符号确定,如果 所在象限无法确定,则应保留根号前面的正、负两个符号.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)当α为第一象限的角时,sin .(　　)(2)若cs ,则cs α=- .(　　)(3)tan .(　　)(4)半角公式应用于任意角.(　　)
提示:(1)×.当α为第一象限角时, 有可能为第一象限或第三象限,故sin .(2)√.由cs2 可得cs α=- .(3)×.tan .(4)×.对于tan 中要求角α≠2kπ+π,k∈Z,而tan 中则要求角α≠kπ,k∈Z.
2.已知 则cs 2θ=________. 【解析】因为 所以1-sin θ= ,即sin θ= ,所以cs 2θ=1-2sin2θ=1- 答案:
3.(教材二次开发:例题改编)已知α∈ ,cs α= ,则tan =________. 【解析】因为α∈ ,且cs α= ,所以 , 答案:-
类型一　利用半角公式求值(数学运算)【题组训练】1.已知sin θ=- ,3π<θ< π,则tan 的值为(　　)A.3B.-3C. D.- 2.已知α∈ ,2sin 2α=cs 2α+1,则sin α=(　　) 3.已知sin θ= ,且 <θ<3π,求tan .
【解析】1.选B.因为3π<θ< ,sin θ=- ,所以cs θ=- ,tan = =-3.2.选B.因为2sin 2α=cs 2α+1,所以4sin α·cs α=2cs2α.因为α∈ ,所以cs α>0.sin α>0,所以2sin α=cs α,又sin2α+cs2α=1,所以5sin2α=1,sin2α= ,又sin α>0,所以sin α= .
3.因为 所以cs θ= 由cs θ=2cs2 -1得 因为 所以 所以
【解题策略】利用半角公式求值的思路(1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解.(2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围.
(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用tan ,其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常先利用sin2 = ,cs2 = 计算.
类型二　三角函数式的化简(逻辑推理)【典例】化简:
【解题策略】三角函数式化简的要求、思路和方法(1)化简的要求:①能求出值的应求出值;②尽量使三角函数种数最少;③尽量使项数最少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数不含三角函数.(2)化简的思路和方法:对于和式,基本思路是降次、消项和逆用公式;对于三角分式,基本思路是分子与分母约分或逆用公式;对于二次根式,注意二倍角公式的逆用.另外,还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法.
【跟踪训练】已知tan α=2.(1)求tan 的值.(2)求 的值.
【解析】(1)tan = (2) = = = =
类型三　三角恒等变换与三角函数的综合问题(逻辑推理)　角度1　三角恒等式证明 【典例】证明: 【思路导引】从消除恒等式左右两边的差异入手,将右边的角x,2x配凑成 的形式,注意到
【证明】右边= =左边.即原等式成立.
【变式探究】证明: 【思路导引】利用半角公式两边分别化简.
【证明】左边= 右边= 所以左边=右边,即原等式成立.
角度2　三角函数综合问题 【典例】已知函数 sin x·cs x+sin2x-cs2x.(1)求函数的最小正周期及对称中心;(2)若x∈ ,求函数 的最小值以及取最小值时x的值;(3)若 求cs α.
【思路导引】(1)利用三角恒等变换公式,将原函数转化为 再求函数的最小正周期和对称中心;(2)由 从而得到函数的最小值及相应的x值;(3)将角α- 的范围缩小为:0<α- < ,从而得到 再利用两角和的余弦公式求得cs α的值.
【解析】(1)因为 所以T= =π,当f(x)=0时,得2x- =kπ,即x= (k∈Z),所以函数的对称中心为: ,k∈Z.(2)当 所以-2≤2sin ≤2,当 即x= 时,函数取得最小值为-2.
(3)因为 所以 所以0<α- ,所以 因为cs α=
【解题策略】1.证明三角恒等式的原则与步骤(1)观察恒等式的两端的结构形式,处理原则是从复杂到简单,高次降低次,复角化单角,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想.(2)证明恒等式的一般步骤:①先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异;②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的.
2.利用应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤
【题组训练】1.求证: -tan θ·tan 2θ=1.【证明】 -tan θ·tan 2θ=
2.△ABC的内角分别为A,B,C.求证:tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C.【证明】tan A+tan B+tan C=tan(A+B)(1-tan Atan B)+tan C=tan(π-C)(1-tan Atan B)+tan C=-tan C(1-tan Atan B)+tan C=tan A·tan B·tan C,即左边=右边,即原等式成立.
3.已知函数f(x)=2cs xcs sin2x+sin xcs x+1.(1)求f(x)的最小正周期和最大值;(2)将f(x)的函数图像向左平移φ(φ>0)个单位后得到的函数g(x)是偶函数,求φ的最小值.
【解析】(1)由题意:f(x)=2cs xcs sin2x+sin xcs x+1= cs2x+sin xcs x- sin2x+sin xcs x+1= cs 2x+sin 2x+1=2sin +1,由此可得:T= (2)由题意可知: =2sin +1.因为 为偶函数,所以 (k∈Z).φ= (k∈Z),又因为φ>0,所以当k=0时,φ的最小值为 .
【补偿训练】设函数f(x)=2cs2x+sin 2x+a(a∈R).(1)求函数f(x)的最小正周期.(2)当x∈ 时,f(x)的最大值为2,求a的值.
【解析】(1)f(x)=2cs2x+sin 2x+a=1+cs 2x+sin 2x+a= sin ,则f(x)的最小正周期T= =π.(2)当x∈ 时⇒ ≤2x+ ≤ ,当2x+ = ,即x= 时,sin =1.所以f(x)max= +1+a=2,a=1- .
1.已知cs α= ,α∈ ,则sin 等于(　　) 【解析】选A.因为α∈ ,所以
2.已知sin θ=- ,且cs θ>0,则(　　)A.tan θ>0B.tan2θ> C.sin2θ>cs2θD.sin 2θ>0【解析】选B.因为sin θ=- ,且cs θ>0,所以cs θ= tan θ=- ,A不正确;tan2θ= ,B正确;sin2θ= ,cs2θ= ,sin2θ3.(教材二次开发:习题改编)已知cs θ=- (-180°<θ<-90°),则cs =(　　) 【解析】选B.因为-180°<θ<-90°,所以-90°< <-45°.又cs θ=- ,所以
4.已知 则tan =________. 【解析】因为 所以1-sin α= ,所以sin α= .又因为 <α<π,所以cs α=- .所以 答案:2