2021-2022学年上学期初中数学人教新版九年级期中必刷常考题之实际问题与二次函数

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A．1B．﹣1C．2D．﹣2
2．（2021秋•科左中旗期末）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y＝x（40﹣x）B．y＝x（18﹣x）
C．y＝x（40﹣2x）D．y＝2x（40﹣2x）
3．（2021•江夏区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，E为AC边上的点且AE＝2EC，点D在BC边上且满足BD＝DE，设BD＝y，S△ABC＝x，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝x2+B．y＝x2+
C．y＝x2+2D．y＝x2+2
4．（2021•北仑区一模）已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（ ）
A．y3最小，y1最大B．y3最小，y4最大
C．y1最小，y4最大D．无法确定
5．（2021秋•思明区校级期末）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间t（单位：s）的函数关系式满足y＝﹣t2+60t，则飞机着陆至停下来滑行的距离是（ ）
A．25mB．50mC．625mD．750m
二．填空题（共5小题）
6．（2021秋•东营期中）如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该农场计划用木材围成总长24m的栅栏，设面积为s（m2），垂直于墙的一边长为x（m）．则s关于x的函数关系式： （并写出自变量的取值范围）
7．（2021秋•通州区期末）中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2021年年人均收入300美元，预计2021年年人均收入将达到y美元．设2021年到2021年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么y与x的函数关系式是 ．
8．（2021秋•卧龙区期末）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2．
9．（2021•新蔡县一模）某商品进货单价为30元，按40元一个销售能卖40个；若销售单价每涨1元，则销量减少1个．为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为 元．
10．（2021秋•德保县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为 cm2．
三．解答题（共5小题）
11．（2021秋•阜平县期中）如图，四边形的对角线AC、BD互相垂直，AC+BD＝10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？
12．（2021秋•庆云县期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12米，BC＝24米，动点P从点A开始沿边AB向B以2米/秒的速度运动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿BC向C以4米/秒的速度运动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动时间为x秒，四边形APQC的面积为y平方米．
（1）求y与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；
（2）求当x为多少时，y有最小值，最小值是多少？
13．（2021秋•天津期中）一经销商按市场价收购某种海鲜1000斤放养在池塘内（假设放养期内每个海鲜的重量基本保持不变），当天市场价为每斤30元，据市场行情推测，此后该海鲜的市场价每天每斤可上涨1元，但是平均每天有10斤海鲜死去．假设死去的海鲜均于当天以每斤20元的价格全部售出．
（1）用含x的代数式填空：
①x天后每斤海鲜的市场价为 元；
②x天后死去的海鲜共有 斤；死去的海鲜的销售总额为 元；
③x天后活着的海鲜还有 斤；
（2）如果放养x天后将活着的海鲜一次性出售，加上已经售出的死去的海鲜，销售总额为y1，写出y1关于x的函数关系式；
（3）若每放养一天需支出各种费用400元，写出经销商此次经销活动获得的总利润y2关于放养天数x的函数关系式．
14．（2021秋•利辛县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，DE∥AC，交AB于点E，点F在AC上，DC＝DF，若BC＝3，EB＝4，CD＝x，CF＝y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
15．（2021秋•市北区期末）九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？
（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？
2021-2022学年上学期初中数学人教新版九年级期中必刷常考题之实际问题与二次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2021秋•丰台区期末）函数y＝（x+1）2﹣2的最小值是（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【考点】二次函数的最值．
【分析】抛物线y＝（x+1）2﹣2开口向上，有最小值，顶点坐标为（﹣1，﹣2），顶点的纵坐标﹣2即为函数的最小值．
【解答】解：根据二次函数的性质，当x＝﹣1时，二次函数y＝（x﹣1）2﹣2的最小值是﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查对二次函数最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
2．（2021秋•科左中旗期末）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y＝x（40﹣x）B．y＝x（18﹣x）
C．y＝x（40﹣2x）D．y＝2x（40﹣2x）
【考点】根据实际问题列二次函数关系式．
【专题】常规题型．
【分析】先用含x的代数式表示苗圃园与墙平行的一边长，再根据面积＝长×宽列出y关于x的函数关系式．
【解答】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则苗圃园与墙平行的一边长为（40﹣2x）米．
依题意可得：y＝x（40﹣2x）．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题列二次函数关系式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
3．（2021•江夏区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，E为AC边上的点且AE＝2EC，点D在BC边上且满足BD＝DE，设BD＝y，S△ABC＝x，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝x2+B．y＝x2+
C．y＝x2+2D．y＝x2+2
【考点】根据实际问题列二次函数关系式；等腰三角形的性质．
【专题】函数及其图象；等腰三角形与直角三角形．
【分析】过A作AH⊥BC，过E作EP⊥BC，则AH∥EP，由此得出关于x和y的方程，即可得出关系式．
【解答】解：过A作AH⊥BC，过E作EP⊥BC，则AH∥EP，
∴HC＝3，PC＝1，BP＝5，PE＝AH，
∵BD＝DE＝y，
∴在Rt△EDP中，y2＝（5﹣y）2+PE2，
∵x＝6AH÷2＝3AH，
∴y2＝（5﹣y）2+，
∴y＝x2+，
故选：A．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识，关键是根据等腰三角形的性质进行分析，难度适中．
4．（2021•北仑区一模）已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（ ）
A．y3最小，y1最大B．y3最小，y4最大
C．y1最小，y4最大D．无法确定
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质．
【分析】根据题意判定抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，然后根据点到对称轴的距离的大小即可判断．
【解答】解：∵二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，且y3＜y2＜y4，
∴抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，
∴P1（﹣3，y1）离对称轴的距离最大，P3（1，y3）离对称轴距离最小，
∴y3最小，y1最大，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，判定对称轴的位置是解题的关键．
5．（2021秋•思明区校级期末）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间t（单位：s）的函数关系式满足y＝﹣t2+60t，则飞机着陆至停下来滑行的距离是（ ）
A．25mB．50mC．625mD．750m
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念．
【分析】将函数解析式配方成顶点式求出y的最大值即可得．
【解答】解：∵y＝60t﹣t2＝﹣（t﹣25）2+750，
∴当t＝25时，y取得最大值750，
即飞机着陆后滑行750米才能停下来，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出飞机滑行的距离即为y的最大值是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2021秋•东营期中）如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该农场计划用木材围成总长24m的栅栏，设面积为s（m2），垂直于墙的一边长为x（m）．则s关于x的函数关系式： s＝﹣4x2+24x（0＜x＜6） （并写出自变量的取值范围）
【考点】根据实际问题列二次函数关系式．
【分析】先根据栅栏的总长度24表示出三间羊圈与旧墙平行的一边的总长为（24﹣4x），再根据长方形的面积公式表示即可得到s关于x的函数关系式；找到关于x的两个不等式：24﹣4x＞0，x＞0，解之即可求出x的取值范围．
【解答】解：根据题意可知，三间羊圈与旧墙平行的一边的总长为（24﹣4x），
则：s＝（24﹣4x）x＝﹣4x2+24x
由图可知：24﹣4x＞0，x＞0，
所以x的取值范围是0＜x＜6，
故答案为：s＝﹣4x2+24x（0＜x＜6）．
【点评】此题主要考查了结合实际问题列二次函数解析式．本题中主要涉及的知识点有：二次函数的表示方法，自变量取值范围的解法，找到关于x的不等式．
7．（2021秋•通州区期末）中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2021年年人均收入300美元，预计2021年年人均收入将达到y美元．设2021年到2021年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么y与x的函数关系式是 y＝300（x+1）2 ．
【考点】一元二次方程的应用；根据实际问题列二次函数关系式．
【专题】二次函数的应用．
【分析】是关于增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设2021年到2021年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么根据题意可用x表示2021年年人均收入，然后根据已知可以得出关系式．
【解答】解：设2021年到2021年该地区居民年人均收入平均增长率为x，
那么根据题意得2021年年人均收入为：300（x+1）2，
y与x的函数关系式是为：y＝300（x+1）2．
故答案为y＝300（x+1）2．
【点评】考查了根据实际问题列二次函数关系式，对于平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
8．（2021秋•卧龙区期末）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 12.5 cm2．
【考点】二次函数的最值．
【分析】根据正方形面积和周长的转化关系“正方形的面积＝×周长×周长”列出面积的函数关系式并求得最小值．
【解答】解：设一段铁丝的长度为x，另一段为（20﹣x），则边长分别为x，（20﹣x），
则S＝x2+（20﹣x）（20﹣x）＝（x﹣10）2+12.5，
∴由函数当x＝10cm时，S最小，为12.5cm2．
故填：12.5．
【点评】本题考查了二次函数的最值，正方形的性质，列出关系式并整理成顶点式形式是解题的关键．
9．（2021•新蔡县一模）某商品进货单价为30元，按40元一个销售能卖40个；若销售单价每涨1元，则销量减少1个．为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为 55 元．
【考点】二次函数的应用．
【分析】根据题意，总利润＝销售量×每个利润，设售价为x元，总利润为W元，则销售量为40﹣1×（x﹣40），每个利润为（x﹣30），据此表示总利润，利用配方法可求最值．
【解答】解：设售价为x元，总利润为W元，
则W＝（x﹣30）[40﹣1×（x﹣40）]＝﹣x2+110x﹣2400＝﹣（x﹣55）2+625，
则x＝55时，获得最大利润为625元，
故答案为：55．
【点评】本题考查二次函数的应用、构建二次函数是解决问题的关键，搞清楚利润、销售量、成本、售价之间的关系，属于中考常考题型．
10．（2021秋•德保县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为 15 cm2．
【考点】二次函数的最值；勾股定理．
【专题】常规题型．
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出AC＝6cm，设运动时间为t（0≤t≤4），则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm，利用分割图形求面积法可得出S四边形PABQ＝t2﹣6t+24，利用配方法即可求出四边形PABQ的面积最小值，此题得解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴AC＝＝6cm．
设运动时间为ts（0≤t≤4），则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm，
∴S四边形PABQ＝S△ABC﹣S△CPQ＝AC•BC﹣PC•CQ＝×6×8﹣（6﹣t）×2t＝t2﹣6t+24＝（t﹣3）2+15，
∴当t＝3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15cm2．
故答案为15．
【点评】本题考查了二次函数的最值以及勾股定理，利用分割图形求面积法找出S四边形PABQ＝t2﹣6t+24是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2021秋•阜平县期中）如图，四边形的对角线AC、BD互相垂直，AC+BD＝10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？
【考点】二次函数的最值．
【分析】根据已知设四边形ABCD面积为S，AC为x，则BD＝10﹣x，进而求出S＝﹣x2+5x，再求出最值即可．
【解答】解：设AC＝x，四边形ABCD面积为S，则BD＝10﹣x，
S＝x（10﹣x）＝﹣x2+5x，
∵﹣＜0，
∴抛物线开口向下，
当x＝﹣＝5时，S最大＝﹣×52+5×5＝，
即当AC＝5，BD＝5时，四边形ABCD面积最大，最大值为．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知正确得出二次函数关系是解题关键．
12．（2021秋•庆云县期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12米，BC＝24米，动点P从点A开始沿边AB向B以2米/秒的速度运动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿BC向C以4米/秒的速度运动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动时间为x秒，四边形APQC的面积为y平方米．
（1）求y与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；
（2）求当x为多少时，y有最小值，最小值是多少？
【考点】二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；模型思想．
【分析】（1）根据等量关系“四边形APQC的面积＝三角形ABC的面积﹣三角形PBQ的面积”列出函数关系；
（2）将函数解析式配方成顶点式，再根据二次函数的性质求最小值．
【解答】解：（1）根据题意知S＝S△ABC﹣S△PBQ
＝×12×24﹣×4x×（12﹣2x）
＝4x2﹣24x+144，
由12﹣2x＞0得x＜6，
∴0＜x＜6；
（2）y＝4x2﹣24x+144＝4（x﹣3）2+108．
∵4＞0
∴当x＝3时，y取得最小值，最小值为108．
【点评】题考查了函数关系式的求法以及最值的求法，解题的关键是根据题意列出函数关系式，并根据二次函数的性质求出最值．
13．（2021秋•天津期中）一经销商按市场价收购某种海鲜1000斤放养在池塘内（假设放养期内每个海鲜的重量基本保持不变），当天市场价为每斤30元，据市场行情推测，此后该海鲜的市场价每天每斤可上涨1元，但是平均每天有10斤海鲜死去．假设死去的海鲜均于当天以每斤20元的价格全部售出．
（1）用含x的代数式填空：
①x天后每斤海鲜的市场价为 （30+x） 元；
②x天后死去的海鲜共有 10x 斤；死去的海鲜的销售总额为 200x 元；
③x天后活着的海鲜还有 1000﹣10x 斤；
（2）如果放养x天后将活着的海鲜一次性出售，加上已经售出的死去的海鲜，销售总额为y1，写出y1关于x的函数关系式；
（3）若每放养一天需支出各种费用400元，写出经销商此次经销活动获得的总利润y2关于放养天数x的函数关系式．
【考点】根据实际问题列二次函数关系式．
【分析】（1）直接根据题意得出x天后海鲜的市场价以及x天后活着的海鲜斤数；
（2）根据活着海鲜的销售总额+死去海鲜的销售总额得出答案；
（3）根据每放养一天需支出各种费用400元，再减去成本得出答案．
【解答】解：（1）由题意可得：①x天后每斤海鲜的市场价为：（30+x）元；
②x天后死去的海鲜共有：10x斤；死去的海鲜的销售总额为：200x元；
③x天后活着的海鲜还有：（1000﹣10x）斤；
故答案为：30+x；10x；200x；1000﹣10x；
（2）根据题意可得：y1＝（1000﹣10x）（30+x）+200x＝﹣10x2+900x+30000；
（3）根据题意可得：
y2＝y1﹣30000﹣400x＝﹣10x2+500x．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确表示出销量与每斤的利润是解题关键．
14．（2021秋•利辛县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，DE∥AC，交AB于点E，点F在AC上，DC＝DF，若BC＝3，EB＝4，CD＝x，CF＝y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
【考点】根据实际问题列二次函数关系式．
【分析】CD和CF在△CDF中，EB在△BDE中，可判断应证明△BDE∽△FCD，根据题中所给条件利用等边对等角，以及平行线的性质也能证得△BDE∽△FCD．然后得到相应各边的比例关系即可．x在BC上，应大于0，小于BC长．
【解答】解：∵AB＝AC，DC＝DF
∴∠B＝∠C＝∠DFC
又∵DE∥AC
∴∠BDE＝∠C
∴△BDE∽△FCD
∴
∴
∴
自变量x的取值范围0＜x＜3．
【点评】解决本题的关键是利用相似得到相应的线段的比例关系．
15．（2021秋•市北区期末）九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？
（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？
【考点】二次函数的应用．
【专题】待定系数法；二次函数的应用．
【分析】（1）观察函数图象可知：抛物线经过点（0，），顶点坐标是（4，4），篮圈中心的坐标是（7，3）．设抛物线的解析式是y＝a（x﹣4）2+4，根据抛物线上点的坐标利用待定系数法可求出抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征验证篮圈中心点是否在抛物线上，此题得解；
（2）代入x＝1求出y值，由该值小于3.1可得出盖帽拦截成功．
【解答】解：（1）由题意可知，抛物线经过点（0，），顶点坐标是（4，4），篮圈中心的坐标是（7，3）．
设抛物线的解析式是y＝a（x﹣4）2+4，
∵抛物线经过点（0，），
∴＝16a+4，
解得：a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣4）2+4．
当x＝7时，y＝﹣×（7﹣4）2+4＝3，
∴篮圈的中心点在抛物线上，
∴能够投中．
（2）∵当x＝1时，y＝﹣×（1﹣4）2+4＝3＜3.1，
∴能够盖帽拦截成功．
【点评】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）代入x＝1求出y值．
考点卡片
1．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
2．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
3．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
4．根据实际问题列二次函数关系式
根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
5．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
6．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
7．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．