2021-2022学年上学期初中数学人教新版九年级期中必刷常考题之一元二次方程

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A．3x+1＝0B．x2+3＝0C．3x2﹣1＝0D．3x2+6x+1＝0
2．（2021秋•禅城区期末）下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A．x2+y﹣2＝0B．x+y＝3C．x2+2x＝3D．x+＝5
3．（2021春•江州区期末）已知2是关于x的方程x2﹣2ax+4＝0的一个解，则a的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2021秋•定南县期末）关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程，则（ ）
A．a＞0B．a≠0C．a≠1D．a＝1
5．（2021秋•滨海新区期末）方程4x2+5x＝81化成一般形式后，它的二次项系数和常数项分别是（ ）
A．4，5B．4，﹣5C．4，81D．4，﹣81
二．填空题（共5小题）
6．（2021秋•赣榆区期中）将方程x2﹣2＝7x化成x2+bx+c＝0的形式，则b＝ ．
7．（2021秋•姑苏区期中）关于x的方程ax2﹣3x﹣6＝0是一元二次方程，则a满足的条件是 ．
8．（2021秋•安居区期末）已知关于x的方程（m﹣1）x+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为 ．
9．（2021•南岗区校级模拟）方程（m﹣2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则 m＝ ．
10．（2021春•海淀区校级期中）已知m是方程x2﹣3x﹣2021＝0的根，则代数式1+3m﹣m2的值为 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2021秋•安居区期中）已知方程（m﹣2）+（m﹣3）x+1＝0．
（1）当m为何值时，它是一元二次方程？
（2）当m为何值时，它是一元一次方程？
12．（2021春•瑶海区期中）把方程（3x+2）（x﹣3）＝2x﹣6，化成一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．
13．（2021秋•扬州期中）向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m﹣2）x﹣1＝0提出了下列问题：
（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；
（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
14．（2021秋•常州期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0．
（1）求m的值；
（2）求此时一元二次方程的解．
15．（2021秋•鼓楼区期中）方程是含有未知数的等式，使等式成立的未知数的值称为方程的“解”．方程的解的个数会有哪些可能呢？
（1）根据“任何数的偶数次幂都是非负数”可知：关于x的方程x2+1＝0的解的个数为 ；
（2）根据“几个数相乘，若有因数为0，则乘积为0”可知方程（x+1）（x﹣2）（x﹣3）＝0的解不止一个，直接写出这个方程的所有解；
（3）结合数轴，探索方程|x+1|+|x﹣3|＝4的解的个数；（写出结论，并说明理由）
（4）进一步可以发现，关于x的方程|x﹣m|+|x﹣3|＝2m+1（m为常数）的解的个数随着m的变化而变化…请你继续探索，直接写出方程的解的个数与对应的m的取值情况．
2021-2022学年上学期初中数学人教新版九年级期中必刷常考题之一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2021秋•常宁市期末）已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是（ ）
A．3x+1＝0B．x2+3＝0C．3x2﹣1＝0D．3x2+6x+1＝0
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】计算题．
【分析】根据二次项系数及常数项得到结果即可．
【解答】解：已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是3x2+6x+1＝0，
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
2．（2021秋•禅城区期末）下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A．x2+y﹣2＝0B．x+y＝3C．x2+2x＝3D．x+＝5
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；数感．
【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案．
【解答】解：A、该方程中含有2个未知数，不符合一元二次方程的定义，此选项不符合题意；
B、该方程中含有未知数的项的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义，此选项不符合题意；
C、该方程符合一元二次方程的定义，此选项符合题意；
D、该方程中含有分式，不符合一元二次方程的定义，此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义，本题属于基础题型．
3．（2021春•江州区期末）已知2是关于x的方程x2﹣2ax+4＝0的一个解，则a的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】一元二次方程的解．
【分析】把x＝2代入方程x2﹣2ax+4＝0，得到关于a的方程，解方程即可．
【解答】解：∵x＝2是方程x2﹣2ax+4＝0的一个根，
∴4﹣4a+4＝0，
解得a＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的概念，解题时注意：使方程两边成立的未知数的值叫方程的解．
4．（2021秋•定南县期末）关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程，则（ ）
A．a＞0B．a≠0C．a≠1D．a＝1
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用．
【分析】根据“关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程”，得到二次项系数a﹣1≠0，解之即可．
【解答】解：∵关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程，
∴a﹣1≠0，
a≠1，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
5．（2021秋•滨海新区期末）方程4x2+5x＝81化成一般形式后，它的二次项系数和常数项分别是（ ）
A．4，5B．4，﹣5C．4，81D．4，﹣81
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】一元二次方程及应用；符号意识．
【分析】先移项化为一般式，再根据ax2+bx+c＝0（a≠0）中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项求解即可．
【解答】解：方程4x2+5x＝81化成一般形式后为4x2+5x﹣81＝0，
则它的二次项系数是4，常数项为﹣81，
故选：D．
【点评】本题主要考查一元二次方程的一般形式，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．
二．填空题（共5小题）
6．（2021秋•赣榆区期中）将方程x2﹣2＝7x化成x2+bx+c＝0的形式，则b＝ ﹣7 ．
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】把原方程整理为一般形式，即可解答．
【解答】解：x2﹣2＝7x，
整理得x2﹣7x﹣2＝0，
则b＝﹣7，
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
7．（2021秋•姑苏区期中）关于x的方程ax2﹣3x﹣6＝0是一元二次方程，则a满足的条件是 a≠0 ．
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】一元二次方程及应用；数感．
【分析】任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成ax2+bx+c＝0（a≠0），这种形式叫一元二次方程的一般形式．利用一元二次方程的一般形式进行判断，即可求出a的取值范围．
【解答】解：∵关于x的方程ax2﹣3x﹣6＝0是一元二次方程，
∴a满足的条件是a≠0．
故答案为：a≠0．
【点评】此题考查了一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解本题的关键．
8．（2021秋•安居区期末）已知关于x的方程（m﹣1）x+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为 ﹣1 ．
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】常规题型．
【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，列出方程m2+1＝2，且m﹣1≠0，继而即可得出m的值．
【解答】解：由一元二次方程的定义得：m2+1＝2，且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，属于基础题，关键是掌握一元二次方程是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程．
9．（2021•南岗区校级模拟）方程（m﹣2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则 m＝ ﹣2 ．
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：由题意，得
|m|＝2，且m﹣2≠0，解得m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
10．（2021春•海淀区校级期中）已知m是方程x2﹣3x﹣2021＝0的根，则代数式1+3m﹣m2的值为 ﹣2021 ．
【考点】代数式求值；一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据m是方程x2﹣3x﹣2021＝0的根，可以求得所求代数式的值，本题得以解决．
【解答】解：∵m是方程x2﹣3x﹣2021＝0的根，
∴m2﹣3m﹣2021＝0，
∴m2﹣3m＝2021，
∴1+3m﹣m2＝1﹣（m2﹣3m）＝1﹣2021＝﹣2021．
故答案为：﹣2021．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出代数式的值．
三．解答题（共5小题）
11．（2021秋•安居区期中）已知方程（m﹣2）+（m﹣3）x+1＝0．
（1）当m为何值时，它是一元二次方程？
（2）当m为何值时，它是一元一次方程？
【考点】一元一次方程的定义；一元二次方程的定义．
【专题】计算题．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义解答本题；
（2）根据一次方程的定义可解答本题．
【解答】解：（1）∵方程（m﹣2）+（m﹣3）x+1＝0为一元二次方程，
∴，
解得：m＝±，
所以当m为或﹣时，方程方程（m﹣2）+（m﹣3）x+1＝0为一元二次方程；
（2）∵方程（m﹣2）+（m﹣3）x+1＝0为一元一次方程，
∴或m2＝1或m＝0，
解得，m＝2或m＝±1，0，
故当m为2或±1，0时，方程方程（m﹣2）+（m﹣3）x+1＝0为一元一次方程．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义、一元二次方程的定义，能理解一元一次方程的定义和一元二次方程的定义是解此题的关键，尤其是要注意一元一次方程的各种情况要考虑全面．
12．（2021春•瑶海区期中）把方程（3x+2）（x﹣3）＝2x﹣6，化成一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．
【考点】一元二次方程的一般形式．
【分析】通过去括号，移项、合并同类项将已知方程转化为一般式方程，然后写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．
【解答】解：（3x+2）（x﹣3）＝2x﹣6，
3x2﹣9x＝0，
所以它的二次项系数是3，一次项系数是﹣9，常数项是0．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式．要确定二次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．
13．（2021秋•扬州期中）向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m﹣2）x﹣1＝0提出了下列问题：
（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；
（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
【考点】一元一次方程的定义；一元二次方程的定义．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得，可求得m的值，进一步可求出方程的解；
（2）当m2+1＝1或m+1＝0时方程为一元一次方程，求出m的值，进一步解方程即可．
【解答】解：（1）根据一元二次方程的定义可得，解得m＝1，此时方程为2x2﹣x﹣1＝0，解得x1＝1，x2＝﹣；
（2）由题可知m2+1＝1或m+1＝0或m2+1＝0时方程可能为一元一次方程
当m2+1＝1时，解得m＝0，此时方程为﹣x﹣1＝0，解得x＝﹣1，
当m+1＝0时，解得m＝﹣1，此时方程为﹣3x﹣1＝0，解得x＝﹣．
当m2+1＝0时，方程无解．
【点评】本题主要考查一元二次和一元一次方程的定义，对（2）中容易漏掉m2+1＝1的情况．
14．（2021秋•常州期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0．
（1）求m的值；
（2）求此时一元二次方程的解．
【考点】一元二次方程的定义；一元二次方程的一般形式．
【专题】一元二次方程及应用．
【分析】（1）直接利用常数项为0，进而得出关于m的等式进而得出答案；
（2）利用（1）中所求得出方程的解．
【解答】解：（1）由题意，得：m2﹣3m+2＝0
解之，得m＝2或m＝1①，
由m﹣1≠0，得：m≠1②，
由①，②得：m＝2；
（2）当m＝2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0，
得x2+5x＝0，
x（x+5）＝0
解得：x1＝0，x2＝﹣5．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程的解法，正确解方程是解题关键．
15．（2021秋•鼓楼区期中）方程是含有未知数的等式，使等式成立的未知数的值称为方程的“解”．方程的解的个数会有哪些可能呢？
（1）根据“任何数的偶数次幂都是非负数”可知：关于x的方程x2+1＝0的解的个数为 0 ；
（2）根据“几个数相乘，若有因数为0，则乘积为0”可知方程（x+1）（x﹣2）（x﹣3）＝0的解不止一个，直接写出这个方程的所有解；
（3）结合数轴，探索方程|x+1|+|x﹣3|＝4的解的个数；（写出结论，并说明理由）
（4）进一步可以发现，关于x的方程|x﹣m|+|x﹣3|＝2m+1（m为常数）的解的个数随着m的变化而变化…请你继续探索，直接写出方程的解的个数与对应的m的取值情况．
【考点】数轴；绝对值；一元二次方程的解．
【专题】数形结合；分类讨论；一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据题意分情况讨论，再根据绝对值的意义去绝对值计算即可得出答案；
【解答】解：（1）关于x的方程x2+1＝0的解的个数为0，
故答案为0；
（2）∵（x+1）（x﹣2）（x﹣3）＝0，
∴x+1＝0或x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝2，x3＝3；
（3）有无数个，理由如下：
|x+1|+|x﹣3|＝4，
当x≤﹣1时，有﹣x﹣1+3﹣x＝4，解得x＝﹣1；
当﹣1＜x≤3时，有x+1+3﹣x＝4，x为﹣1＜x≤3中任意一个数；
当x＞3时，有x+1+x﹣3＝4，解得x＝3（舍）；
综上，方程的解为：﹣1≤x≤3中任意一个数；
（4）根据题意分两种情况：
①m＜3时，如图①数轴，
当m≤x≤3时，|x﹣m|+|x﹣3|＝2m+1，即3﹣m＝2m+1，
解得m＝，
即≤x≤3，x有无数个解；
②m≥3，如图②数轴，
∵3≤x≤m时，|x﹣m|+|x﹣3|＝m﹣3＝2m+1，解得m＝﹣4（与m≥3矛盾，故舍去），
∴x在3的左侧或m的右侧，
当x1 在3左侧时，|x1﹣m|+|x1﹣3|＝m﹣x1+3﹣x1＝2m+1，解得x1＝；
当x2 在m右侧时，|x2﹣m|+|x2﹣3|＝x2﹣m+x2﹣3＝2m+1，解得x2＝．
综上所述：方程的解的个数与对应的m的取值情况为：
当m＝时，方程有无数个解；当m≥3时，方程有2个解；m＜时无解．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，数轴，绝对值，解决本题的关键是综合掌握以上知识．
考点卡片
1．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
2．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
3．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
4．一元一次方程的定义
（1）一元一次方程的定义
只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．
（2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值）
这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法．
5．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
6．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
7．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．