2021-2022学年上学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之一元二次方程的应用

这是一份2021-2022学年上学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之一元二次方程的应用，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之一元二次方程的应用
一、选择题（共10小题）
1．（2021•兴化市模拟）某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（　　）
A．20% B．11% C．22% D．44%
2．（2021秋•微山县期中）一件工艺品进价为100元，标价130元售出，每天平均可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出5件，某店为减少库存量，同时使每天平均获得的利润为3000元，每件需降价的钱数为（　　）
A．12元 B．10元 C．8元 D．5元
3．（2021秋•洪山区期中）某区2021年应届初中毕业生为5万人，2021年、2021年两届毕业生一共为12万人，设2021年到2021年平均每年学生人数增长的百分率为x，则方程可列为（　　）
A．5（1+x）2＝12 B．5+5（1+x）2＝12
C．5+5（1+x）+5（1+x）2＝12 D．5（1+x）+5（1+x）2＝12
4．（2021秋•白云区校级期中）课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块矩形空地，开辟一个面积为130平方米的花圃，打算一面利用长为15米的仓库墙面，三面利用长为33米的旧围栏．如图，如果设矩形的一边长为x米，则下列方程中符合题意的是（　　）

A．x（15﹣x）＝130 B．x（15﹣2x）＝130
C．x（33﹣2x）＝130 D．x（33﹣x）＝130
5．（2021•雁峰区校级自主招生）如图，若将图1正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，设a＝1，则b＝（　　）

A． B． C． D．
6．（2021•济南）将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为（　　）
A．10cm B．13cm C．14cm D．16cm
7．（2021•黔西南州）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　）
A．50（1+x2）＝196
B．50+50（1+x2）＝196
C．50+50（1+x）+50（1+x）2＝196
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝196
8．（2011秋•石家庄期末）我市2009年底已有绿化面积350公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2011年底增加到600公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（　　）
A．350（1+x）＝600B B．350（1+x）2＝600
C．600（1+2x）＝350 D．600（1﹣x）2＝350
9．（2009秋•雅安期末）如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是BC、CD上的点，且△AEF是等边三角形，则BE的长为（　　）

A． B． C． D．
10．（2001•济南）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（　　）
A．200（1+x）2＝1000
B．200+200×2x＝1000
C．200+200×3x＝1000
D．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000
二、填空题（共5小题）
11．（2021•思明区校级模拟）有一人患了某种流感，在每轮传染中平均一个人传染x个人，在进入第二轮传染之前有两人被及时隔离治疗并治愈，若两轮传染后还有24人患流感，则x＝　 　．
12．（2021秋•武威期中）某市体育局要组织一次篮球赛，每两队之间都赛一场，计划安排5天，每天4场比赛，设邀请x支球队参加比赛，则可以列出方程为　 　．
13．（2021秋•海淀区期中）在十三届全国人大一次会议记者会上，中国科技部部长表示，2021年我国新能源汽车保有量已居于世界前列．2021年和2021年我国新能源汽车保有量如图所示．设我国2021至2021年新能源汽车保有量年平均增长率为x，依题意，可列方程为　 　．

14．（2021春•巫山县期末）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝8cm，动点P，Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/S的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P、Q两点从出发开始到　 　秒时，点P和点Q的距离是10cm．

15．（2009•郑州模拟）有一个面积为54cm2的长方形，将它的一边剪短5cm，另一边剪短2cm，得到一个正方形．若设这个正方形的边长为x cm，则根据题意可得方程　 　．
三、解答题（共7小题）
16．（2021•襄州区模拟）某地2021年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加．2021年在2021年的基础上增加投入资金1600万元，从2021年到2021年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
17．（2021秋•孝义市期中）据农业农村部新闻部办公室2021年10月15日消息，江宁省发现疑似非洲猪瘟疫情，此次猪瘟疫情发病急，蔓延速度快．当政府和企业迅速进行了猪瘟疫情排查和处置．在疫情排查过程中・某农场第一天发现3头生猪发病・两天后发现共有363头生猪发病，求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？
18．（2021秋•曲阜市期中）某中学为美化校园，准备在长32米，宽20米的长方形场地上修筑若干条道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与设计．小明同学方案如图，设计草坪的总面积为540平方米，求道路的宽．

19．（2021秋•丹棱县期中）某居民小区要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成（如图所示）．若设AB为x（m）．
（1）用含x的代数式表示BC的长；
（2）如果墙长15m，满足条件的花园面积能达到200m2吗？若能，求出此时x的值；若不能，说明理由；
（3）如果墙长25m，利用配方法求x为何值时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为多少？

20．（2021春•莱城区期末）商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加　 　件，每件商品盈利　 　元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3000元？
21．（2021•凉山州二模）某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．
（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？
（2）若商场经营该商品一天要获利润2160元，并让顾客得到实惠，则每件商品应降价多少元？
22．（2021•亳州一模）端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m＜1）元．
（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出　 　只粽子，利润为　 　元．
（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？

2021-2022学年上学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之一元二次方程的应用
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．（2021•兴化市模拟）某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（　　）
A．20% B．11% C．22% D．44%
【考点】一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【专题】常规题型．
【答案】A
【分析】可设这两年平均每年的增长率为x，因为经过两年时间，让市区绿地面积增加44%，则有（1+x）2＝1+44%，解这个方程即可求出答案．
【解答】解：设这两年平均每年的绿地增长率为x，根据题意得，
（1+x）2＝1+44%，
解得x1＝﹣2.2（舍去），x2＝0.2．
答：这两年平均每年绿地面积的增长率为20%．
故选：A．
【点评】此题主要考查了增长率的问题，一般公式为：原来的量×（1±x）2＝现在的量，增长用+，减少用﹣．但要注意解的取舍，及每一次增长的基础．
2．（2021秋•微山县期中）一件工艺品进价为100元，标价130元售出，每天平均可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出5件，某店为减少库存量，同时使每天平均获得的利润为3000元，每件需降价的钱数为（　　）
A．12元 B．10元 C．8元 D．5元
【考点】一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【专题】方程思想；一元二次方程及应用．
【答案】B
【分析】设每件工艺品降价x元，则每天的销售量为（100+5x）件，根据每日的利润＝每件的利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【解答】解：设每件工艺品降价x元，则每天的销售量为（100+5x）件，
根据题意得：（130﹣100﹣x）（100+5x）＝3000，
整理得：x2﹣10x＝0，
解得：x1＝0，x2＝10．
∵要减少库存量，
∴x＝10．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．（2021秋•洪山区期中）某区2021年应届初中毕业生为5万人，2021年、2021年两届毕业生一共为12万人，设2021年到2021年平均每年学生人数增长的百分率为x，则方程可列为（　　）
A．5（1+x）2＝12 B．5+5（1+x）2＝12
C．5+5（1+x）+5（1+x）2＝12 D．5（1+x）+5（1+x）2＝12
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用．
【答案】D
【分析】设2021年到2021年平均每年学生人数增长的百分率为x，根据2021年、2021年两届毕业生一共为12万人，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设2021年到2021年平均每年学生人数增长的百分率为x，
根据题意得：5（1+x）+5（1+x）2＝12．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．（2021秋•白云区校级期中）课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块矩形空地，开辟一个面积为130平方米的花圃，打算一面利用长为15米的仓库墙面，三面利用长为33米的旧围栏．如图，如果设矩形的一边长为x米，则下列方程中符合题意的是（　　）

A．x（15﹣x）＝130 B．x（15﹣2x）＝130
C．x（33﹣2x）＝130 D．x（33﹣x）＝130
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】设矩形的一边长为x米，则另一边长为（33﹣2x）米，再由长方形的面积公式可得答案．
【解答】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为（33﹣2x）米，
根据题意，得x（33﹣2x）＝130．
故选：C．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
5．（2021•雁峰区校级自主招生）如图，若将图1正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，设a＝1，则b＝（　　）

A． B． C． D．
【考点】一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【专题】几何图形问题；压轴题．
【答案】B
【分析】根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为（a+b），右图是一个长方形，长宽分别为（b+a+b）、b，并且它们的面积相等，由此即可列出等式（a+b）2＝b（b+a+b），而a＝1，代入即可得到关于b的方程，解方程即可求出b．
【解答】解：依题意得（a+b）2＝b（b+a+b），
而a＝1，
∴b2﹣b﹣1＝0，
∴b＝，而b不能为负，
∴b＝．
故选：B．
【点评】此题是一个信息题目，首先正确理解题目的意思，然后会根据题目隐含条件找到数量关系，然后利用数量关系列出方程解决问题．
6．（2021•济南）将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为（　　）
A．10cm B．13cm C．14cm D．16cm
【考点】一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【专题】几何图形问题．
【答案】D
【分析】设正方形铁皮的边长应是x厘米，则做成没有盖的长方体盒子的长、宽为（x﹣3×2）厘米，高为3厘米，根据长方体的体积计算公式列方程解答即可．
【解答】解：正方形铁皮的边长应是x厘米，则没有盖的长方体盒子的长、宽为（x﹣3×2）厘米，高为3厘米，根据题意列方程得，
（x﹣3×2）（x﹣3×2）×3＝300，
解得x1＝16，x2＝﹣4（不合题意，舍去）；
答：正方形铁皮的边长应是16厘米．
故选：D．
【点评】此题主要考查长方体的体积计算公式：长方体的体积＝长×宽×高，以及平面图形折成立体图形后各部分之间的关系．
7．（2021•黔西南州）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　）
A．50（1+x2）＝196
B．50+50（1+x2）＝196
C．50+50（1+x）+50（1+x）2＝196
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝196
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
【专题】增长率问题．
【答案】C
【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得出方程．
【解答】解：依题意得八、九月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，
∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝196．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
8．（2011秋•石家庄期末）我市2009年底已有绿化面积350公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2011年底增加到600公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（　　）
A．350（1+x）＝600B B．350（1+x）2＝600
C．600（1+2x）＝350 D．600（1﹣x）2＝350
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【专题】增长率问题．
【答案】B
【分析】关系式为：2009年底已有绿化面积×（1+增长率）2＝2011年底已有绿化面积，把相关数值代入即可．
【解答】解：2010年底已有绿化面积为350×（1+x），
2011年底已有绿化面积为350×（1+x）×（1+x）＝350（1+x）2，
∴可列方程为350（1+x）2＝600．
故选：B．
【点评】考查列一元二次方程；得到2011年底已有绿化面积的关系式是解决本题的关键．
9．（2009秋•雅安期末）如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是BC、CD上的点，且△AEF是等边三角形，则BE的长为（　　）

A． B． C． D．
【考点】一元二次方程的应用；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】几何图形问题．
【答案】A
【分析】由于四边形ABCD是正方形，△AEF是等边三角形，所以首先根据已知条件可以证明△ABE≌△ADF，再根据全等三角形的性质得到BE＝DF，设BE＝x，那么DF＝x，CE＝CF＝1﹣x，那么在Rt△ABE和Rt△ADF利用勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出BE．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，
设BE＝x，那么DF＝x，CE＝CF＝1﹣x，
在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，
在Rt△CEF中，FE2＝CF2+CE2，
∴AB2+BE2＝CF2+CE2，
∴x2+1＝2（1﹣x）2，
∴x2﹣4x+1＝0，
∴x＝2±，而x＜1，
∴x＝2﹣，
即BE的长为＝2﹣．
故选：A．

【点评】此题主要考查了正方形、等边三角形的知识，把求线段长放在正方形的背景中，利用勾股定理列出一元二次方程解决问题．
10．（2001•济南）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（　　）
A．200（1+x）2＝1000
B．200+200×2x＝1000
C．200+200×3x＝1000
D．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000
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【专题】增长率问题．
【答案】D
【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额＝1000万元，把相关数值代入即可．
【解答】解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为200×（1+x），
∴三月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）＝200×（1+x）2，
∴可列方程为200+200×（1+x）+200×（1+x）2＝1000，
即200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000．
故选：D．
【点评】考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．
二、填空题（共5小题）
11．（2021•思明区校级模拟）有一人患了某种流感，在每轮传染中平均一个人传染x个人，在进入第二轮传染之前有两人被及时隔离治疗并治愈，若两轮传染后还有24人患流感，则x＝　5　．
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【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，因进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，则第二轮后共有x﹣1+x（x﹣1）人患了流感，而此时患流感人数为24，根据这个等量关系列出方程若能求得正整数解即可会有24人患病．
【解答】解：设在每轮传染中一人将平均传给x人
根据题意得：x﹣1+x（x﹣1）＝24
整理得：x2﹣1＝24
解得x1＝5，x2＝﹣5（舍去），
∴x＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能根据进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈列出方程并求解．
12．（2021秋•武威期中）某市体育局要组织一次篮球赛，每两队之间都赛一场，计划安排5天，每天4场比赛，设邀请x支球队参加比赛，则可以列出方程为　x（x﹣1）＝20　．
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【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数＝x（x﹣1），由此可得出方程．
【解答】解：设邀请x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，
由题意得，x（x﹣1）＝20，
故答案为：x（x﹣1）＝20．
【点评】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系．
13．（2021秋•海淀区期中）在十三届全国人大一次会议记者会上，中国科技部部长表示，2021年我国新能源汽车保有量已居于世界前列．2021年和2021年我国新能源汽车保有量如图所示．设我国2021至2021年新能源汽车保有量年平均增长率为x，依题意，可列方程为　45.1（1+x）2＝172.9　．

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【专题】方程思想；一元二次方程及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】设我国2021至2021年新能源汽车保有量年平均增长率为x，根据统计图中2021年及2021年的我国新能源汽车保有量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设我国2021至2021年新能源汽车保有量年平均增长率为x，
根据题意得：45.1（1+x）2＝172.9．
故答案为：45.1（1+x）2＝172.9．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．（2021春•巫山县期末）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝8cm，动点P，Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/S的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P、Q两点从出发开始到　2或　秒时，点P和点Q的距离是10cm．

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【专题】方程思想；一元二次方程及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP＝3xcm，DQ＝（16﹣2x）cm，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP＝3xcm，DQ＝（16﹣2x）cm，
根据题意得：（16﹣2x﹣3x）2+82＝102，
解得：x1＝2，x2＝．
答：当P、Q两点从出发开始到2秒或秒时，点P和点Q的距离是10cm．
故答案为：2或．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，利用勾股定理找出关于x的一元二次方程是解题的关键．
15．（2009•郑州模拟）有一个面积为54cm2的长方形，将它的一边剪短5cm，另一边剪短2cm，得到一个正方形．若设这个正方形的边长为x cm，则根据题意可得方程　（x+5）（x+2）＝54；（或x2+7x﹣44＝0）　．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
【专题】几何图形问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】设正方形的边长为xm，根据有一面积为54cm2的长方形，将它的一边剪短5cm，另一边剪短2cm，恰好变成一个正方形，可列方程．
【解答】解：设正方形的边长为xm，则
（x+5）（x+2）＝54（或x2+7x﹣44＝0）；
故答案为：（x+5）（x+2）＝54；（或x2+7x﹣44＝0）．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是表示出长方形的长和宽，然后根据面积列方程求解．
三、解答题（共7小题）
16．（2021•襄州区模拟）某地2021年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加．2021年在2021年的基础上增加投入资金1600万元，从2021年到2021年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
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【答案】见试题解答内容
【分析】设年平均增长率为x，根据：2021年投入资金给×（1+增长率）2＝2021年投入资金，列出方程组求解可得．
【解答】解：设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，
得：1280（1+x）2＝1280+1600，
解得：x＝0.5或x＝﹣2.5（舍），
答：从2021年到2021年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，由题意准确抓住相等关系并据此列出方程是解题的关键．
17．（2021秋•孝义市期中）据农业农村部新闻部办公室2021年10月15日消息，江宁省发现疑似非洲猪瘟疫情，此次猪瘟疫情发病急，蔓延速度快．当政府和企业迅速进行了猪瘟疫情排查和处置．在疫情排查过程中・某农场第一天发现3头生猪发病・两天后发现共有363头生猪发病，求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？
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【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】设每头发病生猪平均每天传染x头生猪，两天后发现共有363头生猪发病，为等量关系列出方程求出符合题意的值即可．
【解答】解：设每头发病生猪平均每天传染x头生猪
根据题意，得3（1+x）2＝363
解得x1＝10，x2＝﹣12（舍去）
答：每头发病生猪平均每天传染10头生猪．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于找出等量关系（经过两天感染患病的鸡一定）列出方程求解．
18．（2021秋•曲阜市期中）某中学为美化校园，准备在长32米，宽20米的长方形场地上修筑若干条道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与设计．小明同学方案如图，设计草坪的总面积为540平方米，求道路的宽．

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【答案】见试题解答内容
【分析】设路宽为xm，得出草坪的长应该为（32﹣x）米，宽应为（20﹣x）米，再根据草坪的面积为540平方米，即可得出方程，求解即可．
【解答】解：设道路的宽为x米．依题意得：
（32﹣x）（20﹣x）＝540，
解得：x1＝2，x2＝50（不合题意舍去）．
答：道路宽为2m．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，难度中等．可将草坪面积看作一整块的矩形的面积，根据矩形面积＝长×宽求解．
19．（2021秋•丹棱县期中）某居民小区要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成（如图所示）．若设AB为x（m）．
（1）用含x的代数式表示BC的长；
（2）如果墙长15m，满足条件的花园面积能达到200m2吗？若能，求出此时x的值；若不能，说明理由；
（3）如果墙长25m，利用配方法求x为何值时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为多少？

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【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用长方形的周长即可解答；
（2）利用长方形的面积列方程解答即可；
（3）设长方形的面积为S，利用面积计算方法列出二次函数，用配方法求最大值解答问题．
【解答】解：（1）BC＝40﹣2x；

（2）不能，理由是：
根据题意列方程的，
x（40﹣2x）＝200，
解得x1＝x2＝10；
40﹣2x＝20（米），而墙长15m，不合实际，
因此如果墙长15m，满足条件的花园面积不能达到200m2；

（3）设长方形的面积为S，列出二次函数得，
S＝x（40﹣2x）＝﹣2（x﹣10）2+200，
当x＝10时最大面积为200m2，
40﹣2x＝20，而墙长25m，符合实际，
因此当x＝10时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为200m2．

【点评】此题考查一元二次方程及二次函数求最大值问题，属于综合类题目．
20．（2021春•莱城区期末）商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加　2x　件，每件商品盈利　（60﹣x）　元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3000元？
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【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数＝原来的盈利﹣降低的钱数；
（2）等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数＝3000，把相关数值代入计算得到合适的解即可．
【解答】解：（1）由题意，可得商场日销售量增加2x件，每件商品盈利（60﹣x）元．
故答案为2x；（60﹣x）；

（2）由题意得：（60﹣x）（40+2x）＝3000，
化简得：x2﹣40x+300＝0，
解得x1＝10，x2＝30．
∵该商场为了尽快减少库存，
∴x＝10舍去，
∴x＝30．
答：每件商品降价30元时，商场日盈利可达到3000元．
【点评】考查一元二次方程的应用；得到可卖出商品数量是解决本题的易错点；得到总盈利3000的等量关系是解决本题的关键．
21．（2021•凉山州二模）某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．
（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？
（2）若商场经营该商品一天要获利润2160元，并让顾客得到实惠，则每件商品应降价多少元？
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【答案】见试题解答内容
【分析】（1）原来一天可获利润＝（原售价﹣原进价）×一天的销售量；
（2）降价后的单件利润×销售量＝总利润，列方程解答．
【解答】解：（1）（100﹣80）×100＝2000（元），
答：商场经营该商品原来一天可获利润2000元；

（2）依题意得：
（100﹣80﹣x）（100+10x）＝2160，
即x2﹣10x+16＝0，
解得：x1＝2，x2＝8，
因为让顾客得到实惠，所以应该降价8元．
答：商场经营该商品一天要获利润2160元，并让顾客得到实惠，则每件商品应降价8元．
【点评】此题考查一元二次方程的实际运用，掌握销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键．
22．（2021•亳州一模）端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m＜1）元．
（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出　（300+100×）　只粽子，利润为　（1﹣m）（300+100×）　元．
（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？
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【专题】销售问题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）每天的销售量等于原有销售量加上增加的销售量即可；利润等于销售量乘以单价即可得到；
（2）利用总利润等于销售量乘以每件的利润即可得到方程求解．
【解答】解：（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出（300+100×）只粽子，利润为 （1﹣m）（300+100×）元．
（2）令（1﹣m）（300+100×）＝420．
化简得，100m2﹣70m+12＝0．
即，m2﹣0.7m+0.12＝0．
解得m＝0.4或m＝0.3．
可得，当m＝0.4时卖出的粽子更多．
答：当m为0.4时，才能使商店每天销售该粽子获取的利润是420元并且卖出的粽子更多．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解总利润的计算方法，并用相关的量表示出来．

考点卡片
1．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
2．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
3．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
4．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
5．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
6．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．