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2021-2022学年上学期初中数学人教新版九年级期中必刷常考题之图象法求一元二次方程的近似根
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这是一份2021-2022学年上学期初中数学人教新版九年级期中必刷常考题之图象法求一元二次方程的近似根，共25页。试卷主要包含了的一个解x的取值范围是等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上学期初中数学人教新版九年级期中必刷常考题之图象法求一元二次方程的近似根
一．选择题（共5小题）
1．（2021秋•溧阳市期末）二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
x
…
0
1
3
4
…
y
…
2
4
2
﹣2
…
则下列判断中正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线与y轴交于负半轴
C．当x＝﹣1时y＞0
D．方程ax2+bx+c＝0的负根在0与﹣1之间
2．（2021秋•东阳市期末）如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（ ）
A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6
3．（2021秋•驿城区期中）观察下列表格，求一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个近似解是（ ）
x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
x2﹣x
0.11
0.24
0.39
0.56
0.75
0.96
1.19
1.44
1.71
A．0.11 B．1.6 C．1.7 D．1.19
4．（2021秋•濮阳期末）如表是二次函数y＝ax2+bx+c的几组对应值：
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y＝ax2+bx+c
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04
根据表中数据判断，方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
5．（2021秋•玉田县期末）如图，点A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54），在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，则方程ax2+bx+c＝0的一个近似值可能是（ ）
A．2.18 B．2.68 C．﹣0.51 D．2.45
二．填空题（共5小题）
6．（2021秋•恩施市期中）根据下列表格的对应值，判断ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的取值范围是
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
﹣0.06
﹣0.02
0.03
0.09
7．（2021•西城区校级模拟）根据下列表格中y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是 ．
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y＝ax2+bx+c
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04
8．（2021秋•思明区校级期中）在利用图象法求方程x2＝x+3的解x1，x2时，下面是四位同学的解法：
甲：函数y＝x2﹣x﹣3的图象与x轴交点的横坐标是x1，x2
乙：函数y＝x2与y＝x+3的图象交点的横坐标是x1，x2
丙：函数y＝x2﹣3与y＝x的图象交点的横坐标是x1，x2
丁：函数y＝x2+1与y＝x+4的图象交点的横坐标是x1，x2
你认为解法正确的同学有 ．
9．（2021秋•朝阳区校级期中）在实际问题中往往需要求得方程的近似解，这个时候，我们通常利用函数的图象来完成．如，求方程x2﹣2x﹣2＝0的实数根的近似解，观察函数y＝x2﹣2x﹣2的图象，发现，当自变量为2时，函数值小于0（点（2，﹣2）在x轴下方），当自变量为3时，函数值大于0（点（3，1）在x轴上方）．因为抛物线y＝x2﹣2x﹣2是一条连续不断的曲线，所以抛物线
y＝x2﹣2x﹣2在2＜x＜3这一段经过x轴，也就是说，当x取2、3之间的某个值时，函数值为0，即方程x2﹣2x﹣2＝0在2、3之间有根．
进一步，我们取2和3的平均数2.5，计算可知，对应的数值为﹣0.75，与自变量为3的函数值异号，所以这个根在2.5与3之间任意一个数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大于3﹣2.5＝0.5．
重复以上操作，随着操作次数增加，根的近似值越来越接近真实值．
用以上方法求得方程x2﹣2x﹣2＝0的小于0的解，并且使得所求的近似解与真实值的差不超过0.3，该近似解为
10．（2021秋•秦淮区期末）如表是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y的对应关系，一元二次方程ax2+bx+c＝（a≠0）的一个解x的取值范围是 ．
x
6.1
6.2
6.3
6.4
y＝ax2+bx+c
﹣0.3
﹣0.1
0.2
0.4
三．解答题（共5小题）
11．（2021秋•江北区期中）某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+2|x|+3的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
﹣5
0
3
4
3
4
m
0
﹣5
…
其中，m＝ ．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中，直接画出该函数的图象．
（3）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法正确的是 ．
①该函数是轴对称图形，它的对称轴为y轴．
②该函数在自变量的取值范围内有最小值，当x＝0时，函数取得最小值3．
③函数图象与直线y＝有4个交点，所以对应的方程﹣x2+2|x|+3＝有4个实数根．
（4）已知函数y＝﹣x+4的图象如图所示，结合你所画的函数图象．直接写出方程﹣x2+2|x|+3＝﹣x+4的解（保留一位小数，误差不超过0.2）
12．（2021秋•思明区校级期中）我们可以通过下列步骤估计方程x2﹣2x﹣2＝0方程的根所在的范围．
第一步：画出函数y＝x2﹣2x﹣2＝0的图象，发现函数图象是一条连续不断的曲线，且与x轴的一个交点的横坐标在0，﹣1之间．
第二步：因为当x＝0时，y＝﹣2＜0，当x＝﹣1时，y＝1＞0，
所以可确定方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根x1所在的范围是﹣1＜x1＜0
第三步：通过取0和﹣1的平均数缩小x1所在的范围：
取x＝，因为当x＝时，y＜0．又因为当x＝﹣1时，y＞0，所以
（1）请仿照第二步，通过运算验证方程x2﹣2x﹣2＝0的另一个根x2所在的范围是2＜x2＜3．
（2）在2＜x2＜3的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将x2所在的范围缩小至a＜x2＜b，使得．
13．（2021秋•如东县期中）可以用如下方法求方程x2﹣2x﹣2＝0的实数根的范围：
利用函数y＝x2﹣2x﹣2的图象可知，当x＝0时，y＜0，当x＝﹣1时，y＞0，所以方程有一个根在﹣1和0之间．
（1）参考上面的方法，求方程x2﹣2x﹣2＝0的另一个根在哪两个连续整数之间；
（2）若方程x2﹣2x+c＝0有一个根在0和1之间，求c的取值范围．
14．（2021秋•海淀区校级期中）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，
（1）请你将函数解析式化成y＝（x﹣h）2+k的形式，并在直角坐标系中画出y＝x2﹣2x﹣3的图象；
（2）利用（1）中的图象结合图象变换表示方程x2﹣2x﹣1＝0的根，要求保留画图痕迹，指出方程的图形意义．
15．（2011•杭州模拟）小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”整理了以下几种方法，请你将有关内容补充完整：
例题：求一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个解．
（1）解法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）．
（2）解法二：利用二次函数图象与两坐标轴的交点求解．
如图，把方程x2﹣x﹣1＝0的解看成是二次函数y＝ 的图象与x轴交点的横坐标即x1，x2就是方程的解．
（3）解法三：利用两个函数图象的交点求解①把方程x2﹣x﹣1＝0的解看成是二次函数y＝ 的图象与一个一次函数y＝ 的图象交点的横坐标②画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解．
2021-2022学年上学期初中数学人教新版九年级期中必刷常考题之图象法求一元二次方程的近似根
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2021秋•溧阳市期末）二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
x
…
0
1
3
4
…
y
…
2
4
2
﹣2
…
则下列判断中正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线与y轴交于负半轴
C．当x＝﹣1时y＞0
D．方程ax2+bx+c＝0的负根在0与﹣1之间
【考点】二次函数的性质；图象法求一元二次方程的近似根．菁优网版权所有
【分析】利用表格中数据得出抛物线对称轴以及对应坐标轴交点，进而根据图表内容找到方程ax2+bx+c＝0即y＝0时x的值取值范围，得出答案即可．
【解答】解：A、由图表中数据可得出：x＝1.5时，y有最大值，故此函数开口向下，故此选项错误；
B、∵x＝0时，y＝2，故抛物线与y轴交于正半轴，故此选项错误；
C、当x＝﹣1时与x＝4时对应y值相等，故y＜0，故此选项错误；
D、∵y＝0时，﹣1＜x＜0，∴方程ax2+bx+c＝0的负根在0与﹣1之间，此选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解，解答该题时，充分利用了二次函数图象的对称性得出是解题关键．
2．（2021秋•东阳市期末）如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（ ）
A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6
【考点】图象法求一元二次方程的近似根．菁优网版权所有
【分析】先根据图象得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴x＝1，可以算出右侧交点横坐标的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为（1，﹣4），
∴对称轴为x＝1，
而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是﹣3＜x＜﹣2，
∴右侧交点横坐标的取值范围是4＜x＜5．
故选：C．
【点评】此题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答本题首先需要观察得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围，再根据对称性算出右侧交点横坐标的取值范围．
3．（2021秋•驿城区期中）观察下列表格，求一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个近似解是（ ）
x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
x2﹣x
0.11
0.24
0.39
0.56
0.75
0.96
1.19
1.44
1.71
A．0.11 B．1.6 C．1.7 D．1.19
【考点】图象法求一元二次方程的近似根．菁优网版权所有
【分析】设y＝x2﹣x，根据表格，可以看出y＝x2﹣x在1.1≤x≤1.9上y的值随x的增大而增大，根据函数是增减性性，来确定一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个近似解．
【解答】解：令y＝x2﹣x，根据表格，可以看出y＝x2﹣x在1.1≤x≤1.9上y的值随x的增大而增大，
∴当x2﹣x＝1.1，即y＝1.1时，y＝x2﹣x的值域取值范围是0.96≤y≤1.19，它对应的定义域是1.6≤x≤1.7，
∵与0.96相比，y＝1.1更接近于1.19，
∴方程x2﹣x＝1.1的定义域更接近于1.7．
故选：C．
【点评】本题的考查的是二次函数与一元二次方程，在解题过程中，根据表格，来判断函数的单调性，然后根据单调性来解答问题．
4．（2021秋•濮阳期末）如表是二次函数y＝ax2+bx+c的几组对应值：
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y＝ax2+bx+c
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04
根据表中数据判断，方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
【考点】二次函数的性质；抛物线与x轴的交点；图象法求一元二次方程的近似根．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质进行解答即可．
【解答】解：由表可以看出，当x取6.18与6.19之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根．
ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为6.18＜x＜6.19．
故选：C．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，掌握用表格的方式求函数的值的范围是本题的关键．
5．（2021秋•玉田县期末）如图，点A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54），在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，则方程ax2+bx+c＝0的一个近似值可能是（ ）
A．2.18 B．2.68 C．﹣0.51 D．2.45
【考点】抛物线与x轴的交点；图象法求一元二次方程的近似根．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用．
【分析】根据自变量两个取值所对应的函数值是﹣0.51和0.54，可得当函数值为0时，x的取值应在所给的自变量两个值之间．
【解答】解：∵图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54），
∴当x＝2.18时，y＝﹣0.51；x＝2.68时，y＝0.54，
∴当y＝0时，2.18＜x＜2.68，
只有选项D符合，
故选：D．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，用到的知识点为：点在函数解析式上，点的横纵坐标适合这个函数解析式；二次函数值为0，就是函数图象与x轴的交点，跟所给的接近的函数值对应的自变量相关．
二．填空题（共5小题）
6．（2021秋•恩施市期中）根据下列表格的对应值，判断ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的取值范围是 3.24＜x＜3.25
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
﹣0.06
﹣0.02
0.03
0.09
【考点】图象法求一元二次方程的近似根．菁优网版权所有
【分析】根据上面的表格，可得二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标即为方程ax2+bx+c＝0的解，当x＝3.24时，y＝﹣0.02；当x＝3.25时，y＝0.03；则二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标应在3.24和3.25之间．
【解答】解：∵当x＝3.24时，y＝﹣0.02；
当x＝3.25时，y＝0.03；
∴方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是：3.24＜x＜3.25．
故答案为：3.24＜x＜3.25．
【点评】此题主要考查了用函数的图象求一元二次方程的近似根，要用到数形结合思想，应熟练掌握．
7．（2021•西城区校级模拟）根据下列表格中y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是 6.18＜x＜6.19 ．
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y＝ax2+bx+c
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04
【考点】图象法求一元二次方程的近似根．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．
【解答】解：由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．
故答案为：6.18＜x＜6.19．
【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．
8．（2021秋•思明区校级期中）在利用图象法求方程x2＝x+3的解x1，x2时，下面是四位同学的解法：
甲：函数y＝x2﹣x﹣3的图象与x轴交点的横坐标是x1，x2
乙：函数y＝x2与y＝x+3的图象交点的横坐标是x1，x2
丙：函数y＝x2﹣3与y＝x的图象交点的横坐标是x1，x2
丁：函数y＝x2+1与y＝x+4的图象交点的横坐标是x1，x2
你认为解法正确的同学有 甲乙丙丁 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点；图象法求一元二次方程的近似根．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】根据方程x2＝x+3的解为x1、x2，即方程x2﹣x﹣3＝0的两个根为x1、x2，即可求解．
【解答】解：方程x2＝x+3的解为x1、x2，即方程x2﹣x﹣3＝0的两个根为x1、x2，
甲：函数y＝x2﹣x﹣3的图象与x轴交点的横坐标x1、x2，即方程x2﹣x﹣3＝0的两个根为x1、x2，故甲正确；
乙：函数y＝x2和y＝x+3的图象交点的横坐标x1、x2，即方程x2﹣x﹣3＝0的两个根为x1、x2，故乙正确；
丙：函数y＝x2﹣3和y＝x的图象交点的横坐标x1、x2，即方程x2﹣x﹣3＝0的两个根为x1、x2，故丙正确；
丁：函数y＝x2+1和y＝x+4的图象交点的横坐标x1、x2，即方程x2﹣x﹣3＝0的两个根为x1、x2，故丁正确；
故答案为甲乙丙丁．
【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解，属于基础题，关键是掌握方程的根即为函数与x轴的交点．
9．（2021秋•朝阳区校级期中）在实际问题中往往需要求得方程的近似解，这个时候，我们通常利用函数的图象来完成．如，求方程x2﹣2x﹣2＝0的实数根的近似解，观察函数y＝x2﹣2x﹣2的图象，发现，当自变量为2时，函数值小于0（点（2，﹣2）在x轴下方），当自变量为3时，函数值大于0（点（3，1）在x轴上方）．因为抛物线y＝x2﹣2x﹣2是一条连续不断的曲线，所以抛物线
y＝x2﹣2x﹣2在2＜x＜3这一段经过x轴，也就是说，当x取2、3之间的某个值时，函数值为0，即方程x2﹣2x﹣2＝0在2、3之间有根．
进一步，我们取2和3的平均数2.5，计算可知，对应的数值为﹣0.75，与自变量为3的函数值异号，所以这个根在2.5与3之间任意一个数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大于3﹣2.5＝0.5．
重复以上操作，随着操作次数增加，根的近似值越来越接近真实值．
用以上方法求得方程x2﹣2x﹣2＝0的小于0的解，并且使得所求的近似解与真实值的差不超过0.3，该近似解为 ﹣0.75
【考点】解一元二次方程﹣配方法；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点；图象法求一元二次方程的近似根．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质．
【分析】观察函数y＝x2﹣2x﹣2的图象，发现，当自变量为0时，函数值小于0，当自变量为﹣1时，函数值大于0，求得﹣1和0的平均数﹣0.5，对应的数值为﹣0.75，与自变量为﹣1的函数值异号，再求﹣1和﹣0.5的平均数﹣0.75，对应的数值为0.0625，即可求得这个根在﹣0.75与﹣0.5之间任意一个数作为近似解，由﹣0.5﹣（﹣0.75）＝0.25＜0.3，即可求得近似值．
【解答】解：观察函数y＝x2﹣2x﹣2的图象，发现，当自变量为0时，函数值小于0，当自变量为﹣1时，函数值大于0，因为抛物线y＝x2﹣2x﹣2是一条连续不断的曲线，所以抛物线y＝x2﹣2x﹣2在﹣1＜x＜0这一段经过x轴，也就是说，当x取﹣1、0之间的某个值时，函数值为0，即方程x2﹣2x﹣2＝0在﹣1、0之间有根．
我们取﹣1和0的平均数﹣0.5，计算可知，对应的数值为﹣0.75，与自变量为﹣1的函数值异号，所以这个根在﹣1与﹣0.5之间，取﹣1和﹣0.5的平均数﹣0.75，计算可知，对应的数值为0.0625，与自变量为﹣0.5的函数值异号，所以这个根在﹣0.75与﹣0.5之间任意一个数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大于﹣0.5﹣（﹣0.75）＝0.25＜0.3，该近似解为﹣0.75，
故答案为﹣0.75．
【点评】本题考查的是根据图象求一元二次方程的解，读懂函数图象，从中获取正确的信息是解题的关键．
10．（2021秋•秦淮区期末）如表是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y的对应关系，一元二次方程ax2+bx+c＝（a≠0）的一个解x的取值范围是 6.3＜x＜6.4 ．
x
6.1
6.2
6.3
6.4
y＝ax2+bx+c
﹣0.3
﹣0.1
0.2
0.4
【考点】图象法求一元二次方程的近似根．菁优网版权所有
【分析】由表格可知，当6.3＜x＜6.4时，函数y＝ax2+bx+c取得y＝ax2+bx+c＝0.3＝，据此可得．
【解答】解：一元二次方程ax2+bx+c＝（a≠0）的解即为y＝ax2+bx+c＝0.3＝时x的值，
由表可知，当6.3＜x＜6.4时，函数y＝ax2+bx+c取得y＝ax2+bx+c＝0.3＝，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝（a≠0）的一个解x的取值范围是6.3＜x＜6.4
故答案为：6.3＜x＜6.4．
【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y＝0.3介于0.2与0.4之间所对应的x的值．
三．解答题（共5小题）
11．（2021秋•江北区期中）某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+2|x|+3的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
﹣5
0
3
4
3
4
m
0
﹣5
…
其中，m＝ 3 ．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中，直接画出该函数的图象．
（3）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法正确的是 ①③ ．
①该函数是轴对称图形，它的对称轴为y轴．
②该函数在自变量的取值范围内有最小值，当x＝0时，函数取得最小值3．
③函数图象与直线y＝有4个交点，所以对应的方程﹣x2+2|x|+3＝有4个实数根．
（4）已知函数y＝﹣x+4的图象如图所示，结合你所画的函数图象．直接写出方程﹣x2+2|x|+3＝﹣x+4的解（保留一位小数，误差不超过0.2）
【考点】根的判别式；一次函数的图象；一次函数的性质；二次函数的性质；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点；图象法求一元二次方程的近似根；轴对称图形．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；运算能力．
【分析】（1）把x＝2代入函数y＝﹣x2+2|x|+3中，求得y值便可；
（2）用光滑的曲线连接所描的点便可；
（3）根据函数图象便可判断；
（4）通过观察函数图象，即可求得．
【解答】解：（1）把x＝2代入函数y＝﹣x2+2|x|+3中，得y＝﹣4+4+3＝3，
∴m＝3，
故答案为：3；
（2）描点，连线得出函数图象如图：
（3）由函数图象可知①③正确，
故答案为①③；
（4）由图象可知方程﹣x2+2|x|+3＝﹣x+4的解为x1＝0.4，x2＝2.6．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与性质，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．
12．（2021秋•思明区校级期中）我们可以通过下列步骤估计方程x2﹣2x﹣2＝0方程的根所在的范围．
第一步：画出函数y＝x2﹣2x﹣2＝0的图象，发现函数图象是一条连续不断的曲线，且与x轴的一个交点的横坐标在0，﹣1之间．
第二步：因为当x＝0时，y＝﹣2＜0，当x＝﹣1时，y＝1＞0，
所以可确定方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根x1所在的范围是﹣1＜x1＜0
第三步：通过取0和﹣1的平均数缩小x1所在的范围：
取x＝，因为当x＝时，y＜0．又因为当x＝﹣1时，y＞0，所以
（1）请仿照第二步，通过运算验证方程x2﹣2x﹣2＝0的另一个根x2所在的范围是2＜x2＜3．
（2）在2＜x2＜3的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将x2所在的范围缩小至a＜x2＜b，使得．
【考点】根的判别式；根与系数的关系；图象法求一元二次方程的近似根．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【分析】（1）计算x＝2和x＝3时，y的值，确定其x2所在范围是2＜x2＜3；
（2）先根据第三步2和3的平均数确定x＝2.5，计算x＝2.5时y的值，得以2.5＜x2＜3，同理再求2.5和3的平均数为2.75，计算x＝2.75时y的值，从而得结论．
【解答】解：（1）因为当x＝2时，y＝﹣2＜0，当x＝3时，y＝1＞0，
所以可确定方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根x2所在的范围是2＜x2＜3；
（2）取x＝＝2.5，因为当x＝2.5时，y＜0．又因为当x＝3时，y＞0，所以2.5＜x2＜3，
取x＝＝2.75，因为当x＝2.75时，y＞0．又因为当x＝2.5时，y＜0，所以2.5＜x2＜2.75，
因为2.75﹣2.5＝．
取x＝＝2.625，因为当x＝2.625时，y＜0．又因为当x＝2.75时，y＞0，所以2.625＜x2＜2.75，
因为2.75﹣2.625＝＜，
所以2.625＜x2＜2.75即为所求x2 的范围
【点评】本题为阅读理解题，主要考查利用图象法求一元二次方程的近似值、二次函数图象上的点的坐标等知识的综合应用．在解题时注意对题目中所给知识的正确理解，考查了阅读所给材料的理解和运用的能力，运用类比的方法，有一定的难度，注意数形结合、
13．（2021秋•如东县期中）可以用如下方法求方程x2﹣2x﹣2＝0的实数根的范围：
利用函数y＝x2﹣2x﹣2的图象可知，当x＝0时，y＜0，当x＝﹣1时，y＞0，所以方程有一个根在﹣1和0之间．
（1）参考上面的方法，求方程x2﹣2x﹣2＝0的另一个根在哪两个连续整数之间；
（2）若方程x2﹣2x+c＝0有一个根在0和1之间，求c的取值范围．
【考点】二次函数的性质；抛物线与x轴的交点；图象法求一元二次方程的近似根．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【分析】（1）计算x＝2和x＝3时，y的值，确定其x2所在范围是2＜x2＜3；
（2）根据题意得到，解得即可．
【解答】解：（1）利用函数y＝x2﹣2x﹣2的图象可知，
当x＝2时，y＜0，当x＝3时，y＞0，
所以方程的另一个根在2和3之间；
（2）函数y＝x2﹣2x+c的图象的对称轴为直线x＝1，
由题意，得，
解得0＜c＜1．
【点评】本题主要考查利用图象法求一元二次方程的近似值、二次函数图象上的点的坐标等知识的综合应用．
14．（2021秋•海淀区校级期中）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，
（1）请你将函数解析式化成y＝（x﹣h）2+k的形式，并在直角坐标系中画出y＝x2﹣2x﹣3的图象；
（2）利用（1）中的图象结合图象变换表示方程x2﹣2x﹣1＝0的根，要求保留画图痕迹，指出方程的图形意义．
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的三种形式；图象法求一元二次方程的近似根．菁优网版权所有
【专题】函数及其图象．
【分析】（1）根据配方法整理即可，再求出x＝﹣1、0、1、2、3时的函数值，然后画出函数图象即可；
（2）求出y＝﹣2时对应的x的近似值即可．
【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
函数图象如图所示；
（2）y＝﹣2时，x2﹣2x﹣3＝﹣2，
x2﹣2x﹣1＝0，
方程x2﹣2x﹣1＝0的根如图所示．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，图象法求一元二次方程的近似根，通常利用“五点法”作二次函数图象．
15．（2011•杭州模拟）小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”整理了以下几种方法，请你将有关内容补充完整：
例题：求一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个解．
（1）解法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）．
（2）解法二：利用二次函数图象与两坐标轴的交点求解．
如图，把方程x2﹣x﹣1＝0的解看成是二次函数y＝ x2﹣x﹣1 的图象与x轴交点的横坐标即x1，x2就是方程的解．
（3）解法三：利用两个函数图象的交点求解①把方程x2﹣x﹣1＝0的解看成是二次函数y＝ x2﹣1 的图象与一个一次函数y＝ x 的图象交点的横坐标②画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解．
【考点】图象法求一元二次方程的近似根．菁优网版权所有
【分析】（1）用配方法解答一元二次方程；
（2）二次函数方程为y＝ax2+bx+c与x轴交点的横坐标就是方程x2﹣x﹣1＝0的解，所以，只要求出方程x2﹣x﹣1＝0的根，就可以求出二次函数方程为y＝ax2+bx+c与x轴交点；
（3）由（1）（2）解得x1、x2，再根据题意画出图象．
【解答】解：（1）由原方程，得：
＝0，即＝；
解得x1＝，x2＝．
（2）设二次函数方程为y＝ax2+bx+c（a，b，c均为实数，且a≠0）．
由图象得知，该函数过点（0，﹣1），所以该点满足方程y＝ax2+bx+c，
∴把（0，﹣1）代入方程y＝ax2+bx+c，得c＝﹣1，①
二次函数方程为y＝ax2+bx+c与x轴交点的横坐标就是方程x2﹣x﹣1＝0的解；
∴x1•x2＝＝﹣1，即c＝﹣a；②
x1+x2＝＝1；③
由①②③，得：
；
∴二次函数方程为y＝x2﹣x﹣1．
（3）
【点评】本题考查的是二次函数与一元二次方程，在解答过程中，注意二次函数与一元二次方程之间的联系，并从中择取有用信息解题．
考点卡片
1．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
2．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
3．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
4．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
5．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
6．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
7．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
8．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
9．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
10．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
11．二次函数的三种形式
二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；
②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；
③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．
12．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
13．图象法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
14．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等
2021-2022学年上学期初中数学人教新版九年级期中必刷常考题之图象法求一元二次方程的近似根
一．选择题（共5小题）
1．（2021秋•溧阳市期末）二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
x
…
0
1
3
4
…
y
…
2
4
2
﹣2
…
则下列判断中正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线与y轴交于负半轴
C．当x＝﹣1时y＞0
D．方程ax2+bx+c＝0的负根在0与﹣1之间
2．（2021秋•东阳市期末）如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（ ）
A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6
3．（2021秋•驿城区期中）观察下列表格，求一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个近似解是（ ）
x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
x2﹣x
0.11
0.24
0.39
0.56
0.75
0.96
1.19
1.44
1.71
A．0.11 B．1.6 C．1.7 D．1.19
4．（2021秋•濮阳期末）如表是二次函数y＝ax2+bx+c的几组对应值：
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y＝ax2+bx+c
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04
根据表中数据判断，方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
5．（2021秋•玉田县期末）如图，点A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54），在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，则方程ax2+bx+c＝0的一个近似值可能是（ ）
A．2.18 B．2.68 C．﹣0.51 D．2.45
二．填空题（共5小题）
6．（2021秋•恩施市期中）根据下列表格的对应值，判断ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的取值范围是
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
﹣0.06
﹣0.02
0.03
0.09
7．（2021•西城区校级模拟）根据下列表格中y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是 ．
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y＝ax2+bx+c
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04
8．（2021秋•思明区校级期中）在利用图象法求方程x2＝x+3的解x1，x2时，下面是四位同学的解法：
甲：函数y＝x2﹣x﹣3的图象与x轴交点的横坐标是x1，x2
乙：函数y＝x2与y＝x+3的图象交点的横坐标是x1，x2
丙：函数y＝x2﹣3与y＝x的图象交点的横坐标是x1，x2
丁：函数y＝x2+1与y＝x+4的图象交点的横坐标是x1，x2
你认为解法正确的同学有 ．
9．（2021秋•朝阳区校级期中）在实际问题中往往需要求得方程的近似解，这个时候，我们通常利用函数的图象来完成．如，求方程x2﹣2x﹣2＝0的实数根的近似解，观察函数y＝x2﹣2x﹣2的图象，发现，当自变量为2时，函数值小于0（点（2，﹣2）在x轴下方），当自变量为3时，函数值大于0（点（3，1）在x轴上方）．因为抛物线y＝x2﹣2x﹣2是一条连续不断的曲线，所以抛物线
y＝x2﹣2x﹣2在2＜x＜3这一段经过x轴，也就是说，当x取2、3之间的某个值时，函数值为0，即方程x2﹣2x﹣2＝0在2、3之间有根．
进一步，我们取2和3的平均数2.5，计算可知，对应的数值为﹣0.75，与自变量为3的函数值异号，所以这个根在2.5与3之间任意一个数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大于3﹣2.5＝0.5．
重复以上操作，随着操作次数增加，根的近似值越来越接近真实值．
用以上方法求得方程x2﹣2x﹣2＝0的小于0的解，并且使得所求的近似解与真实值的差不超过0.3，该近似解为
10．（2021秋•秦淮区期末）如表是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y的对应关系，一元二次方程ax2+bx+c＝（a≠0）的一个解x的取值范围是 ．
x
6.1
6.2
6.3
6.4
y＝ax2+bx+c
﹣0.3
﹣0.1
0.2
0.4
三．解答题（共5小题）
11．（2021秋•江北区期中）某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+2|x|+3的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
﹣5
0
3
4
3
4
m
0
﹣5
…
其中，m＝ ．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中，直接画出该函数的图象．
（3）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法正确的是 ．
①该函数是轴对称图形，它的对称轴为y轴．
②该函数在自变量的取值范围内有最小值，当x＝0时，函数取得最小值3．
③函数图象与直线y＝有4个交点，所以对应的方程﹣x2+2|x|+3＝有4个实数根．
（4）已知函数y＝﹣x+4的图象如图所示，结合你所画的函数图象．直接写出方程﹣x2+2|x|+3＝﹣x+4的解（保留一位小数，误差不超过0.2）
12．（2021秋•思明区校级期中）我们可以通过下列步骤估计方程x2﹣2x﹣2＝0方程的根所在的范围．
第一步：画出函数y＝x2﹣2x﹣2＝0的图象，发现函数图象是一条连续不断的曲线，且与x轴的一个交点的横坐标在0，﹣1之间．
第二步：因为当x＝0时，y＝﹣2＜0，当x＝﹣1时，y＝1＞0，
所以可确定方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根x1所在的范围是﹣1＜x1＜0
第三步：通过取0和﹣1的平均数缩小x1所在的范围：
取x＝，因为当x＝时，y＜0．又因为当x＝﹣1时，y＞0，所以
（1）请仿照第二步，通过运算验证方程x2﹣2x﹣2＝0的另一个根x2所在的范围是2＜x2＜3．
（2）在2＜x2＜3的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将x2所在的范围缩小至a＜x2＜b，使得．
13．（2021秋•如东县期中）可以用如下方法求方程x2﹣2x﹣2＝0的实数根的范围：
利用函数y＝x2﹣2x﹣2的图象可知，当x＝0时，y＜0，当x＝﹣1时，y＞0，所以方程有一个根在﹣1和0之间．
（1）参考上面的方法，求方程x2﹣2x﹣2＝0的另一个根在哪两个连续整数之间；
（2）若方程x2﹣2x+c＝0有一个根在0和1之间，求c的取值范围．
14．（2021秋•海淀区校级期中）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，
（1）请你将函数解析式化成y＝（x﹣h）2+k的形式，并在直角坐标系中画出y＝x2﹣2x﹣3的图象；
（2）利用（1）中的图象结合图象变换表示方程x2﹣2x﹣1＝0的根，要求保留画图痕迹，指出方程的图形意义．
15．（2011•杭州模拟）小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”整理了以下几种方法，请你将有关内容补充完整：
例题：求一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个解．
（1）解法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）．
（2）解法二：利用二次函数图象与两坐标轴的交点求解．
如图，把方程x2﹣x﹣1＝0的解看成是二次函数y＝ 的图象与x轴交点的横坐标即x1，x2就是方程的解．
（3）解法三：利用两个函数图象的交点求解①把方程x2﹣x﹣1＝0的解看成是二次函数y＝ 的图象与一个一次函数y＝ 的图象交点的横坐标②画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解．
2021-2022学年上学期初中数学人教新版九年级期中必刷常考题之图象法求一元二次方程的近似根
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2021秋•溧阳市期末）二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
x
…
0
1
3
4
…
y
…
2
4
2
﹣2
…
则下列判断中正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线与y轴交于负半轴
C．当x＝﹣1时y＞0
D．方程ax2+bx+c＝0的负根在0与﹣1之间
【考点】二次函数的性质；图象法求一元二次方程的近似根．菁优网版权所有
【分析】利用表格中数据得出抛物线对称轴以及对应坐标轴交点，进而根据图表内容找到方程ax2+bx+c＝0即y＝0时x的值取值范围，得出答案即可．
【解答】解：A、由图表中数据可得出：x＝1.5时，y有最大值，故此函数开口向下，故此选项错误；
B、∵x＝0时，y＝2，故抛物线与y轴交于正半轴，故此选项错误；
C、当x＝﹣1时与x＝4时对应y值相等，故y＜0，故此选项错误；
D、∵y＝0时，﹣1＜x＜0，∴方程ax2+bx+c＝0的负根在0与﹣1之间，此选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解，解答该题时，充分利用了二次函数图象的对称性得出是解题关键．
2．（2021秋•东阳市期末）如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（ ）
A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6
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【分析】先根据图象得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴x＝1，可以算出右侧交点横坐标的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为（1，﹣4），
∴对称轴为x＝1，
而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是﹣3＜x＜﹣2，
∴右侧交点横坐标的取值范围是4＜x＜5．
故选：C．
【点评】此题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答本题首先需要观察得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围，再根据对称性算出右侧交点横坐标的取值范围．
3．（2021秋•驿城区期中）观察下列表格，求一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个近似解是（ ）
x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
x2﹣x
0.11
0.24
0.39
0.56
0.75
0.96
1.19
1.44
1.71
A．0.11 B．1.6 C．1.7 D．1.19
【考点】图象法求一元二次方程的近似根．菁优网版权所有
【分析】设y＝x2﹣x，根据表格，可以看出y＝x2﹣x在1.1≤x≤1.9上y的值随x的增大而增大，根据函数是增减性性，来确定一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个近似解．
【解答】解：令y＝x2﹣x，根据表格，可以看出y＝x2﹣x在1.1≤x≤1.9上y的值随x的增大而增大，
∴当x2﹣x＝1.1，即y＝1.1时，y＝x2﹣x的值域取值范围是0.96≤y≤1.19，它对应的定义域是1.6≤x≤1.7，
∵与0.96相比，y＝1.1更接近于1.19，
∴方程x2﹣x＝1.1的定义域更接近于1.7．
故选：C．
【点评】本题的考查的是二次函数与一元二次方程，在解题过程中，根据表格，来判断函数的单调性，然后根据单调性来解答问题．
4．（2021秋•濮阳期末）如表是二次函数y＝ax2+bx+c的几组对应值：
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y＝ax2+bx+c
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04
根据表中数据判断，方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
【考点】二次函数的性质；抛物线与x轴的交点；图象法求一元二次方程的近似根．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质进行解答即可．
【解答】解：由表可以看出，当x取6.18与6.19之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根．
ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为6.18＜x＜6.19．
故选：C．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，掌握用表格的方式求函数的值的范围是本题的关键．
5．（2021秋•玉田县期末）如图，点A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54），在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，则方程ax2+bx+c＝0的一个近似值可能是（ ）
A．2.18 B．2.68 C．﹣0.51 D．2.45
【考点】抛物线与x轴的交点；图象法求一元二次方程的近似根．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用．
【分析】根据自变量两个取值所对应的函数值是﹣0.51和0.54，可得当函数值为0时，x的取值应在所给的自变量两个值之间．
【解答】解：∵图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54），
∴当x＝2.18时，y＝﹣0.51；x＝2.68时，y＝0.54，
∴当y＝0时，2.18＜x＜2.68，
只有选项D符合，
故选：D．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，用到的知识点为：点在函数解析式上，点的横纵坐标适合这个函数解析式；二次函数值为0，就是函数图象与x轴的交点，跟所给的接近的函数值对应的自变量相关．
二．填空题（共5小题）
6．（2021秋•恩施市期中）根据下列表格的对应值，判断ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的取值范围是 3.24＜x＜3.25
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
﹣0.06
﹣0.02
0.03
0.09
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【分析】根据上面的表格，可得二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标即为方程ax2+bx+c＝0的解，当x＝3.24时，y＝﹣0.02；当x＝3.25时，y＝0.03；则二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标应在3.24和3.25之间．
【解答】解：∵当x＝3.24时，y＝﹣0.02；
当x＝3.25时，y＝0.03；
∴方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是：3.24＜x＜3.25．
故答案为：3.24＜x＜3.25．
【点评】此题主要考查了用函数的图象求一元二次方程的近似根，要用到数形结合思想，应熟练掌握．
7．（2021•西城区校级模拟）根据下列表格中y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是 6.18＜x＜6.19 ．
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y＝ax2+bx+c
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04
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【专题】计算题．
【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．
【解答】解：由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．
故答案为：6.18＜x＜6.19．
【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．
8．（2021秋•思明区校级期中）在利用图象法求方程x2＝x+3的解x1，x2时，下面是四位同学的解法：
甲：函数y＝x2﹣x﹣3的图象与x轴交点的横坐标是x1，x2
乙：函数y＝x2与y＝x+3的图象交点的横坐标是x1，x2
丙：函数y＝x2﹣3与y＝x的图象交点的横坐标是x1，x2
丁：函数y＝x2+1与y＝x+4的图象交点的横坐标是x1，x2
你认为解法正确的同学有 甲乙丙丁 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点；图象法求一元二次方程的近似根．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】根据方程x2＝x+3的解为x1、x2，即方程x2﹣x﹣3＝0的两个根为x1、x2，即可求解．
【解答】解：方程x2＝x+3的解为x1、x2，即方程x2﹣x﹣3＝0的两个根为x1、x2，
甲：函数y＝x2﹣x﹣3的图象与x轴交点的横坐标x1、x2，即方程x2﹣x﹣3＝0的两个根为x1、x2，故甲正确；
乙：函数y＝x2和y＝x+3的图象交点的横坐标x1、x2，即方程x2﹣x﹣3＝0的两个根为x1、x2，故乙正确；
丙：函数y＝x2﹣3和y＝x的图象交点的横坐标x1、x2，即方程x2﹣x﹣3＝0的两个根为x1、x2，故丙正确；
丁：函数y＝x2+1和y＝x+4的图象交点的横坐标x1、x2，即方程x2﹣x﹣3＝0的两个根为x1、x2，故丁正确；
故答案为甲乙丙丁．
【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解，属于基础题，关键是掌握方程的根即为函数与x轴的交点．
9．（2021秋•朝阳区校级期中）在实际问题中往往需要求得方程的近似解，这个时候，我们通常利用函数的图象来完成．如，求方程x2﹣2x﹣2＝0的实数根的近似解，观察函数y＝x2﹣2x﹣2的图象，发现，当自变量为2时，函数值小于0（点（2，﹣2）在x轴下方），当自变量为3时，函数值大于0（点（3，1）在x轴上方）．因为抛物线y＝x2﹣2x﹣2是一条连续不断的曲线，所以抛物线
y＝x2﹣2x﹣2在2＜x＜3这一段经过x轴，也就是说，当x取2、3之间的某个值时，函数值为0，即方程x2﹣2x﹣2＝0在2、3之间有根．
进一步，我们取2和3的平均数2.5，计算可知，对应的数值为﹣0.75，与自变量为3的函数值异号，所以这个根在2.5与3之间任意一个数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大于3﹣2.5＝0.5．
重复以上操作，随着操作次数增加，根的近似值越来越接近真实值．
用以上方法求得方程x2﹣2x﹣2＝0的小于0的解，并且使得所求的近似解与真实值的差不超过0.3，该近似解为 ﹣0.75
【考点】解一元二次方程﹣配方法；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点；图象法求一元二次方程的近似根．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质．
【分析】观察函数y＝x2﹣2x﹣2的图象，发现，当自变量为0时，函数值小于0，当自变量为﹣1时，函数值大于0，求得﹣1和0的平均数﹣0.5，对应的数值为﹣0.75，与自变量为﹣1的函数值异号，再求﹣1和﹣0.5的平均数﹣0.75，对应的数值为0.0625，即可求得这个根在﹣0.75与﹣0.5之间任意一个数作为近似解，由﹣0.5﹣（﹣0.75）＝0.25＜0.3，即可求得近似值．
【解答】解：观察函数y＝x2﹣2x﹣2的图象，发现，当自变量为0时，函数值小于0，当自变量为﹣1时，函数值大于0，因为抛物线y＝x2﹣2x﹣2是一条连续不断的曲线，所以抛物线y＝x2﹣2x﹣2在﹣1＜x＜0这一段经过x轴，也就是说，当x取﹣1、0之间的某个值时，函数值为0，即方程x2﹣2x﹣2＝0在﹣1、0之间有根．
我们取﹣1和0的平均数﹣0.5，计算可知，对应的数值为﹣0.75，与自变量为﹣1的函数值异号，所以这个根在﹣1与﹣0.5之间，取﹣1和﹣0.5的平均数﹣0.75，计算可知，对应的数值为0.0625，与自变量为﹣0.5的函数值异号，所以这个根在﹣0.75与﹣0.5之间任意一个数作为近似解，该近似解与真实值的差都不会大于﹣0.5﹣（﹣0.75）＝0.25＜0.3，该近似解为﹣0.75，
故答案为﹣0.75．
【点评】本题考查的是根据图象求一元二次方程的解，读懂函数图象，从中获取正确的信息是解题的关键．
10．（2021秋•秦淮区期末）如表是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y的对应关系，一元二次方程ax2+bx+c＝（a≠0）的一个解x的取值范围是 6.3＜x＜6.4 ．
x
6.1
6.2
6.3
6.4
y＝ax2+bx+c
﹣0.3
﹣0.1
0.2
0.4
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【分析】由表格可知，当6.3＜x＜6.4时，函数y＝ax2+bx+c取得y＝ax2+bx+c＝0.3＝，据此可得．
【解答】解：一元二次方程ax2+bx+c＝（a≠0）的解即为y＝ax2+bx+c＝0.3＝时x的值，
由表可知，当6.3＜x＜6.4时，函数y＝ax2+bx+c取得y＝ax2+bx+c＝0.3＝，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝（a≠0）的一个解x的取值范围是6.3＜x＜6.4
故答案为：6.3＜x＜6.4．
【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y＝0.3介于0.2与0.4之间所对应的x的值．
三．解答题（共5小题）
11．（2021秋•江北区期中）某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+2|x|+3的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
﹣5
0
3
4
3
4
m
0
﹣5
…
其中，m＝ 3 ．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中，直接画出该函数的图象．
（3）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法正确的是 ①③ ．
①该函数是轴对称图形，它的对称轴为y轴．
②该函数在自变量的取值范围内有最小值，当x＝0时，函数取得最小值3．
③函数图象与直线y＝有4个交点，所以对应的方程﹣x2+2|x|+3＝有4个实数根．
（4）已知函数y＝﹣x+4的图象如图所示，结合你所画的函数图象．直接写出方程﹣x2+2|x|+3＝﹣x+4的解（保留一位小数，误差不超过0.2）
【考点】根的判别式；一次函数的图象；一次函数的性质；二次函数的性质；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点；图象法求一元二次方程的近似根；轴对称图形．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；运算能力．
【分析】（1）把x＝2代入函数y＝﹣x2+2|x|+3中，求得y值便可；
（2）用光滑的曲线连接所描的点便可；
（3）根据函数图象便可判断；
（4）通过观察函数图象，即可求得．
【解答】解：（1）把x＝2代入函数y＝﹣x2+2|x|+3中，得y＝﹣4+4+3＝3，
∴m＝3，
故答案为：3；
（2）描点，连线得出函数图象如图：
（3）由函数图象可知①③正确，
故答案为①③；
（4）由图象可知方程﹣x2+2|x|+3＝﹣x+4的解为x1＝0.4，x2＝2.6．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与性质，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．
12．（2021秋•思明区校级期中）我们可以通过下列步骤估计方程x2﹣2x﹣2＝0方程的根所在的范围．
第一步：画出函数y＝x2﹣2x﹣2＝0的图象，发现函数图象是一条连续不断的曲线，且与x轴的一个交点的横坐标在0，﹣1之间．
第二步：因为当x＝0时，y＝﹣2＜0，当x＝﹣1时，y＝1＞0，
所以可确定方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根x1所在的范围是﹣1＜x1＜0
第三步：通过取0和﹣1的平均数缩小x1所在的范围：
取x＝，因为当x＝时，y＜0．又因为当x＝﹣1时，y＞0，所以
（1）请仿照第二步，通过运算验证方程x2﹣2x﹣2＝0的另一个根x2所在的范围是2＜x2＜3．
（2）在2＜x2＜3的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将x2所在的范围缩小至a＜x2＜b，使得．
【考点】根的判别式；根与系数的关系；图象法求一元二次方程的近似根．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用；二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【分析】（1）计算x＝2和x＝3时，y的值，确定其x2所在范围是2＜x2＜3；
（2）先根据第三步2和3的平均数确定x＝2.5，计算x＝2.5时y的值，得以2.5＜x2＜3，同理再求2.5和3的平均数为2.75，计算x＝2.75时y的值，从而得结论．
【解答】解：（1）因为当x＝2时，y＝﹣2＜0，当x＝3时，y＝1＞0，
所以可确定方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根x2所在的范围是2＜x2＜3；
（2）取x＝＝2.5，因为当x＝2.5时，y＜0．又因为当x＝3时，y＞0，所以2.5＜x2＜3，
取x＝＝2.75，因为当x＝2.75时，y＞0．又因为当x＝2.5时，y＜0，所以2.5＜x2＜2.75，
因为2.75﹣2.5＝．
取x＝＝2.625，因为当x＝2.625时，y＜0．又因为当x＝2.75时，y＞0，所以2.625＜x2＜2.75，
因为2.75﹣2.625＝＜，
所以2.625＜x2＜2.75即为所求x2 的范围
【点评】本题为阅读理解题，主要考查利用图象法求一元二次方程的近似值、二次函数图象上的点的坐标等知识的综合应用．在解题时注意对题目中所给知识的正确理解，考查了阅读所给材料的理解和运用的能力，运用类比的方法，有一定的难度，注意数形结合、
13．（2021秋•如东县期中）可以用如下方法求方程x2﹣2x﹣2＝0的实数根的范围：
利用函数y＝x2﹣2x﹣2的图象可知，当x＝0时，y＜0，当x＝﹣1时，y＞0，所以方程有一个根在﹣1和0之间．
（1）参考上面的方法，求方程x2﹣2x﹣2＝0的另一个根在哪两个连续整数之间；
（2）若方程x2﹣2x+c＝0有一个根在0和1之间，求c的取值范围．
【考点】二次函数的性质；抛物线与x轴的交点；图象法求一元二次方程的近似根．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【分析】（1）计算x＝2和x＝3时，y的值，确定其x2所在范围是2＜x2＜3；
（2）根据题意得到，解得即可．
【解答】解：（1）利用函数y＝x2﹣2x﹣2的图象可知，
当x＝2时，y＜0，当x＝3时，y＞0，
所以方程的另一个根在2和3之间；
（2）函数y＝x2﹣2x+c的图象的对称轴为直线x＝1，
由题意，得，
解得0＜c＜1．
【点评】本题主要考查利用图象法求一元二次方程的近似值、二次函数图象上的点的坐标等知识的综合应用．
14．（2021秋•海淀区校级期中）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，
（1）请你将函数解析式化成y＝（x﹣h）2+k的形式，并在直角坐标系中画出y＝x2﹣2x﹣3的图象；
（2）利用（1）中的图象结合图象变换表示方程x2﹣2x﹣1＝0的根，要求保留画图痕迹，指出方程的图形意义．
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的三种形式；图象法求一元二次方程的近似根．菁优网版权所有
【专题】函数及其图象．
【分析】（1）根据配方法整理即可，再求出x＝﹣1、0、1、2、3时的函数值，然后画出函数图象即可；
（2）求出y＝﹣2时对应的x的近似值即可．
【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
函数图象如图所示；
（2）y＝﹣2时，x2﹣2x﹣3＝﹣2，
x2﹣2x﹣1＝0，
方程x2﹣2x﹣1＝0的根如图所示．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，图象法求一元二次方程的近似根，通常利用“五点法”作二次函数图象．
15．（2011•杭州模拟）小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”整理了以下几种方法，请你将有关内容补充完整：
例题：求一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个解．
（1）解法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）．
（2）解法二：利用二次函数图象与两坐标轴的交点求解．
如图，把方程x2﹣x﹣1＝0的解看成是二次函数y＝ x2﹣x﹣1 的图象与x轴交点的横坐标即x1，x2就是方程的解．
（3）解法三：利用两个函数图象的交点求解①把方程x2﹣x﹣1＝0的解看成是二次函数y＝ x2﹣1 的图象与一个一次函数y＝ x 的图象交点的横坐标②画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解．
【考点】图象法求一元二次方程的近似根．菁优网版权所有
【分析】（1）用配方法解答一元二次方程；
（2）二次函数方程为y＝ax2+bx+c与x轴交点的横坐标就是方程x2﹣x﹣1＝0的解，所以，只要求出方程x2﹣x﹣1＝0的根，就可以求出二次函数方程为y＝ax2+bx+c与x轴交点；
（3）由（1）（2）解得x1、x2，再根据题意画出图象．
【解答】解：（1）由原方程，得：
＝0，即＝；
解得x1＝，x2＝．
（2）设二次函数方程为y＝ax2+bx+c（a，b，c均为实数，且a≠0）．
由图象得知，该函数过点（0，﹣1），所以该点满足方程y＝ax2+bx+c，
∴把（0，﹣1）代入方程y＝ax2+bx+c，得c＝﹣1，①
二次函数方程为y＝ax2+bx+c与x轴交点的横坐标就是方程x2﹣x﹣1＝0的解；
∴x1•x2＝＝﹣1，即c＝﹣a；②
x1+x2＝＝1；③
由①②③，得：
；
∴二次函数方程为y＝x2﹣x﹣1．
（3）
【点评】本题考查的是二次函数与一元二次方程，在解答过程中，注意二次函数与一元二次方程之间的联系，并从中择取有用信息解题．
考点卡片
1．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
2．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
3．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
4．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
5．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
6．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
7．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
8．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
9．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
10．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
11．二次函数的三种形式
二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；
②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；
③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．
12．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
13．图象法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
14．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等
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