2021-2022学年上学期初中数学人教新版九年级期中必刷常考题之一元二次方程的应用

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2021-2022学年上学期初中数学人教新版九年级期中必刷常考题之一元二次方程的应用
一．选择题（共5小题）
1．（2021秋•洪江市期末）一个两位数等于其各数位上数字的积的3倍，且个位上数字比十位上数字大2，则这个两位数是（　　）
A．24 B．35 C．42 D．53
2．（2021秋•平阴县期末）一件商品标价100元，连续两次降价后的价格为81元，则两次平均降价的百分率是（　　）
A．10% B．15% C．18% D．20%
3．（2021秋•原州区期末）某商品的价格为100元，连续两次降x%后的价格是81元，则x为（　　）
A．9 B．10 C．19 D．8
4．（2021•花溪区模拟）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．若生产的产品一天的总利润为1120元，且同一天所生产的产品为同一档次，则该产品的质量档次是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．（2021秋•阳山县期末）某电动自行车厂四月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，六月份的产量提高到1210辆，则该厂五、六月份的月平均增长率为（　　）
A．10% B．11% C．12.1% D．21%
二．填空题（共5小题）
6．（2021秋•泰兴市期末）某小区2021年的绿化面积为3000m2，计划2021年的绿化面积为4320m2，如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是　 　．
7．（2021春•济南期末）某文具店三月份销售铅笔100支，四，五两个月销售量连续增长．若四，五月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是　 　．（用含x的代数式表示）
8．（2021•莱芜区一模）近期随着国家抑制房价新政策的出台，某楼盘房价连续两次下跌，由原来的每平方米10000元降至每平方米8100元，设每次降价的百分率相同，则降价百分率为　 　．
9．（2021春•鹿城区校级期中）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加，2021年我国快递业务收入为4000亿元，2021年增长至5760亿元．则我国2021年至2021年快递业务收入的年平均增长率为　 　．
10．（2021•哈尔滨模拟）由于受“一带一路”国家战略策略的影响，某种商品的进口关税连续两次下调，由4000美元下调至2560美元，则平均每次下调的百分率为　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2021春•昆明期末）2017年8月，某市参加了由中央电视台主办的大型城市文化旅游品牌竞演特别节目《魅力中国城》，并通过竞演，成功入选《魅力中国城》名单为助力该市争创“魅力中国城”活动，该市积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程，已知2015年投资1000万元，2017年投资1210万元若这两年内平均每年投资增长的百分率相同
（1）求平均每年投资增长的百分率；
（2）按此增长率，计算2021年投资额能否达到1360万元？
12．（2021秋•开江县期末）某商店进了一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，使库存减少最快，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天多售出2件，当每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利达到1200元？
13．（2021春•南湖区校级期中）为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子的售价不能超过进价的200%．
（1）该品牌粽子每个售价为5元，则每天出售多少个？
（2）该品牌粽子定价为多少元时，该超市每天的销售利润为800元．
（3）该超市每天的销售利润能否达到1000元，若能，请求出该品牌每个粽子的售价，若不能，请说明理由．
14．（2021秋•麦积区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．
（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？
（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某点时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．

15．（2021•永州模拟）列方程解应用题．
福州市某楼盘准备以每平方米10000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米8100元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：
①打9.9折销售；
②不打折，送两年物业管理费．物业管理费是每平方米每月1元．请问哪种方案更优惠？

2021-2022学年上学期初中数学人教新版九年级期中必刷常考题之一元二次方程的应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2021秋•洪江市期末）一个两位数等于其各数位上数字的积的3倍，且个位上数字比十位上数字大2，则这个两位数是（　　）
A．24 B．35 C．42 D．53
【考点】一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【专题】数字问题．
【分析】设十位上的数字为未知数，得到两位数个位上的数字，根据关系式两位数等于其各数位上数字的积的3倍列出方程求得十位上的数字，进而求得两位数即可．
【解答】解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为x+2，
10x+x+2＝3x（x+2），
（x﹣2）（3x+1）＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣（不合题意，舍去），
故x＝2，
∴这个两位数为2×10+4＝24．
故选：A．
【点评】考查一元二次方程的应用；得到两位数的两种表达方式是解决本题的关键．
2．（2021秋•平阴县期末）一件商品标价100元，连续两次降价后的价格为81元，则两次平均降价的百分率是（　　）
A．10% B．15% C．18% D．20%
【考点】一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【专题】一元二次方程及应用．
【分析】设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的单价是原来的（1﹣x），那么第二次降价后的单价是原来的（1﹣x）2，根据题意列方程解答即可．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得：
100×（1﹣x）2＝81，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去），
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍，难度一般．
3．（2021秋•原州区期末）某商品的价格为100元，连续两次降x%后的价格是81元，则x为（　　）
A．9 B．10 C．19 D．8
【考点】一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【专题】增长率问题．
【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是100（1﹣x），第二次后的价格是100（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
【解答】解：根据题意得：100（1﹣x%）2＝81，
解之，得x1＝190（舍去），x2＝10．
即平均每次降价率是10%．
故选：B．
【点评】本题考查了增长率问题的数量关系的运用，运用增长率的数量关系建立一元二次方程的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出平均增长率是关键．
4．（2021•花溪区模拟）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．若生产的产品一天的总利润为1120元，且同一天所生产的产品为同一档次，则该产品的质量档次是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
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【专题】方程思想；一元二次方程及应用．
【分析】设该产品的质量档次是x档，则每天的产量为[95﹣5（x﹣1）]件，每件的利润是[6+2（x﹣1）]元，根据总利润＝单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于等于10的值即可得出结论．
【解答】解：设该产品的质量档次是x档，则每天的产量为[95﹣5（x﹣1）]件，每件的利润是[6+2（x﹣1）]元，
根据题意得：[6+2（x﹣1）][95﹣5（x﹣1）]＝1120，
整理得：x2﹣18x+72＝0，
解得：x1＝6，x2＝12（舍去）．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．（2021秋•阳山县期末）某电动自行车厂四月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，六月份的产量提高到1210辆，则该厂五、六月份的月平均增长率为（　　）
A．10% B．11% C．12.1% D．21%
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【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设该厂五、六月份的月平均增长率为x，根据该厂四月份及六月份的产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设该厂五、六月份的月平均增长率为x，
依题意，得：1000（1+x）2＝1210，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2021秋•泰兴市期末）某小区2021年的绿化面积为3000m2，计划2021年的绿化面积为4320m2，如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是　20%　．
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【专题】方程思想；一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设每年绿化面积的增长率为x，根据该小区2021年及2021年的绿化面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设每年绿化面积的增长率为x，
依题意，得：3000（1+x）2＝4320，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
故答案为：20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（2021春•济南期末）某文具店三月份销售铅笔100支，四，五两个月销售量连续增长．若四，五月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是　100（1+x）2　．（用含x的代数式表示）
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【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设出四、五月份的平均增长率，则四月份的市场需求量是100（1+x），五月份的产量是100（1+x）2，
【解答】解：若月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是：100（1+x）2，
故答案为：100（1+x）2．
【点评】本题考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）＝a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”．
8．（2021•莱芜区一模）近期随着国家抑制房价新政策的出台，某楼盘房价连续两次下跌，由原来的每平方米10000元降至每平方米8100元，设每次降价的百分率相同，则降价百分率为　10%　．
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【专题】增长率问题．
【分析】设每次降价的百分率为x，则第一次降价后的单价是原价的1﹣x，第二次降价后的单价是原价的（1﹣x）2，根据题意列方程解答即可．
【解答】解：设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得
10000×（1﹣x）2＝8100，
解得x1＝0.1，x2＝1.9（不符合题意，舍去），
则降价百分率为10%．
故答案为：10%．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，注意第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上进行降价的．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
9．（2021春•鹿城区校级期中）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加，2021年我国快递业务收入为4000亿元，2021年增长至5760亿元．则我国2021年至2021年快递业务收入的年平均增长率为　20%　．
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【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】根据题意可得等量关系：2021年的快递业务量×（1+增长率）2＝2021年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设我国2021年至2021年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：4000（1+x）2＝5760，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意舍去），
答：我国2021年至2021年快递业务收入的年平均增长率为20%，
故答案为：20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（2021•哈尔滨模拟）由于受“一带一路”国家战略策略的影响，某种商品的进口关税连续两次下调，由4000美元下调至2560美元，则平均每次下调的百分率为　20%　．
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【专题】增长率问题．
【分析】设平均每次下调的百分率为x，则两次降价后的关税为4000（1﹣x）2，根据降低率问题的数量关系建立方程求出其解即可．
【解答】解：设平均每次下调的百分率为x，由题意，得
4000（1﹣x）2＝2560，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（舍去）．
故答案是：20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，降低率问题的数量关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据降低率问题的数量关系建立方程是关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2021春•昆明期末）2017年8月，某市参加了由中央电视台主办的大型城市文化旅游品牌竞演特别节目《魅力中国城》，并通过竞演，成功入选《魅力中国城》名单为助力该市争创“魅力中国城”活动，该市积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程，已知2015年投资1000万元，2017年投资1210万元若这两年内平均每年投资增长的百分率相同
（1）求平均每年投资增长的百分率；
（2）按此增长率，计算2021年投资额能否达到1360万元？
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【专题】方程思想；一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】（1）设平均每年投资增长的百分率为x，根据2015年及2017年的投资额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据2021年投资额＝2017年投资额×（1+增长率），可求出2021年投资额，再与1360万元进行比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设平均每年投资增长的百分率为x，
依题意，得：1000（1+x）2＝1210，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：平均每年投资增长的百分率为10%．
（2）1210×（1+10%）＝1331（万元），
∵1331＜1360，
∴2021年投资额不能达到1360万元．
答：2021年投资额不能达到1360万元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．（2021秋•开江县期末）某商店进了一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，使库存减少最快，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天多售出2件，当每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利达到1200元？
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【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】设每件衬衫应降价x元，则销售每件衬衫的利润为（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，根据总利润＝销售每件的利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【解答】解：设每件衬衫应降价x元，则销售每件衬衫的利润为（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，
依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
解得：x1＝10，x2＝20．
当x＝10时，20+2x＝40；
当x＝20时，20+2x＝60．
∵要使库存减少最快，
∴x＝20．
答：当每件衬衫应降价20元时，商场平均每天盈利达到1200元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．（2021春•南湖区校级期中）为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子的售价不能超过进价的200%．
（1）该品牌粽子每个售价为5元，则每天出售多少个？
（2）该品牌粽子定价为多少元时，该超市每天的销售利润为800元．
（3）该超市每天的销售利润能否达到1000元，若能，请求出该品牌每个粽子的售价，若不能，请说明理由．
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【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】（1）售价提高1元，销售量降低100个；
（2）根据每个粽子的利润×销售量＝总利润列方程解答；
（3）利用配方法求出利润的最大值即可判断．
【解答】解：（1）500﹣10×10＝400（个），
答：每天出售400个；

（2）设每个粽子的定价为x元时，每天的利润为800元，
根据题意得：（x﹣3）（500﹣10×）＝800，
解得x1＝7，x2＝5，
∵售价不能超过进价的200%，
∴x≤3×200%，即x≤6，
∴x＝5，
∴定价为5元时，每天的利润为800元；
（3）不能．
理由：设每个粽子的定价为m元，则每天的利润为w，则有：
w＝（m﹣3）（500﹣10×）
＝（m﹣3）（500﹣100m+400）
＝﹣100（m﹣3）（m﹣9）
＝﹣100（m2﹣12m+27）
＝﹣100[（m﹣6）2﹣9]
＝﹣100（m﹣6）2+900，
∵二次项系数为﹣100＜0，m≤6，
∴当定价为6元时，每天的利润最大，最大的利润是900元，不能达到1000元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据每个粽子的利润×销售量＝总利润列方程是解题的关键．
14．（2021秋•麦积区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．
（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？
（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某点时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．

【考点】一元二次方程的应用；勾股定理．菁优网版权所有
【分析】（1）设x秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米，用x表示出△PCQ的边长，根据面积是8可列方程求解．
（2）假设y秒时，△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半，列出方程看看解的情况，可知是否有解．
【解答】解：（1）设x秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米，由题意得：
（6﹣x）•2x＝8，
x＝2或x＝4，
当2秒或4秒时，面积可为8平方厘米；

（2）不存在．
理由：设y秒时，△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半，由题意得：
（6﹣y）•2y＝××6×8
y2﹣6y+12＝0．
Δ＝36﹣4×12＜0．
方程无实数根，所以不存在．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式的求法，和一元二次方程的解的情况．
15．（2021•永州模拟）列方程解应用题．
福州市某楼盘准备以每平方米10000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米8100元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：
①打9.9折销售；
②不打折，送两年物业管理费．物业管理费是每平方米每月1元．请问哪种方案更优惠？
【考点】一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【专题】增长率问题．
【分析】（1）根据每次的均价等于上一次的价格乘以（1﹣x）（x为平均每次下调的百分率），可列出一个一元二次方程，解此方程可得平均每次下调的百分率；
（2）根据两种优惠方案分别算出两种不同方案的优惠价格，比较其大小即可知哪种方案更优惠．
【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，
依题意得：10000（1﹣x）2＝8100，
解得：x1＝10%，x2＝190%（不合题意舍去）
答：平均每次下调的百分率为10%；

（2）第①种方案：
8100×100×0.99+1×100×24＝801900+2400＝804300（元），
第②种方案：
8100×100＝810000（元），
∵804300＜810000，
∴第①种方案更优惠．
【点评】本题主要考查一元二次方程在实际中的应用：列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．

考点卡片
1．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
2．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．