备战2022 中考数学 人教版 第七讲 一元二次方程 专题练

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第七讲　一元二次方程1．(2021·新疆生产建设兵团中考)一元二次方程x2－4x＋3＝0的解为(B)A．x1＝－1，x2＝3      B．x1＝1，x2＝3　C．x1＝1，x2＝－3      D．x1＝－1，x2＝－32．(2021·福建中考)某市2018年底森林覆盖率为63%.为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是(B)A．0.63(1＋x)＝0.68     B．0.63(1＋x)2＝0.68C．0.63(1＋2x)＝0.68     D．0.63(1＋2x)2＝0.683．(2021·云南中考)若一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是(D)A．a＜1        B．a≤1C．a≤1且a≠0      D．a＜1且a≠04．(2021·南充中考)已知方程x2－2 021x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则x－的值为(B)A．1         B．－1　C．2 021        D．－2 0215．(2021·广东中考)若一元二次方程x2＋bx＋c＝0(b，c为常数)的两根x1，x2满足－3＜x1＜－1，1＜x2＜3，则符合条件的一个方程为__x2－2＝0(答案不唯一)__．6．(2021·上海中考)若一元二次方程2x2－3x＋c＝0无解，则c的取值范围为．7．(2021·成都中考)若m，n是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两个实数根，则m2＋4m＋2n的值是__－3__．8．(2021·嘉兴中考)小敏与小霞两位同学解方程3(x－3)＝(x－3)2的过程如下框：小敏：两边同除以(x－3)，得3＝x－3，则x＝6.小霞：移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0，提取公因式，得(x－3)(3－x－3)＝0.则x－3＝0或3－x－3＝0，解得x1＝3，x2＝0.你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．【解析】小敏：×；小霞：×.正确的解答方法：移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0，提取公因式，得(x－3)(3－x＋3)＝0.则x－3＝0或3－x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝6.9．(2021·泰安中考)已知关于x的一元二次方程kx2－(2k－1)x＋k－2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是(C)A．k＞－        B．k＜C．k＞－且k≠0      D．k＜且k≠010.(2021·凉山州中考)函数y＝kx＋b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2＋bx＋k－1＝0的根的情况是(C)A．没有实数根　B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根　D．无法确定11．(2021·随州中考)已知关于x的方程x2－(k＋4)x＋4k＝0(k≠0)的两实数根为x1，x2，若＋＝3，则k＝．12．(2021·荆州中考)定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q.有[m，p]※[q，n]＝mn＋pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5＋3×4＝22.若关于x的方程[x2＋1，x]※[5－2k，k]＝0有两个实数根，则k的取值范围是(C)A．k＜且k≠0      B．k≤C．k≤且k≠0      D．k≥13．(2021·荆门中考)已知关于x的一元二次方程x2－6x＋2m－1＝0有x1，x2两实数根．(1)若x1＝1，求x2及m的值；(2)是否存在实数m，满足(x1－1)(x2－1)＝？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．【解析】(1)根据题意得Δ＝(－6)2－4(2m－1)≥0，解得m≤5，x1＋x2＝6，x1x2＝2m－1，∵x1＝1，∴1＋x2＝6，x2＝2m－1，∴x2＝5，m＝3；(2)存在．∵(x1－1)(x2－1)＝，∴x1x2－(x1＋x2)＋1＝，即2m－6＝，整理得m2－8m＋12＝0，解得m1＝2，m2＝6，∵m≤5且m≠5，∴m＝2.1．(2021·潍坊模拟)一元二次方程x2－5x＋6＝0的解为(D)A．x1＝2，x2＝－3       B．x1＝－2，x2＝3C．x1＝－2，x2＝－3      D．x1＝2，x2＝32．(2021·怀化模拟)已知一元二次方程x2－kx＋4＝0有两个相等的实数根，则k的值为(C)A.k＝4    B．k＝－4    C．k＝±4    D．k＝±23．(2021·娄底模拟)某电动自行车厂四月份的产量为1 000辆，由于市场需求量不断增大，六月份的产量提高到1 210辆，则该厂五、六月份的月平均增长率为(A)A．10%    B．11%    C．12.1%    D．21%4．(2021·重庆模拟)若方程(m－1)xm2＋1－(m＋1)x－2＝0是一元二次方程，则m的值为(D)A．0    B．±1    C．1    D．－15．(2021·威海模拟)一元二次方程4x(x－2)＝x－2的解为．6．(2021·宁夏模拟)我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为__x(x＋12)＝864__．7.(2020·德州模拟)如图，在Rt△ABC中，AC＝50 m，CB＝40 m，∠C＝90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2 m/s的速度移动，同时另一个点Q从点C开始沿CB以3 m/s的速度移动，当△PCQ的面积等于450 m2时，经过的时间是__10s__．8．(2021·资阳模拟)已知关于x的一元二次方程：x2－2x－a＝0，有下列结论：①当a＞－1时，方程有两个不相等的实根；②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；③当a＞－1时，方程的两个实根不可能都小于1；④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3.以上4个结论中，正确的个数为__3__．9．(2021·株洲模拟)在解一元二次方程x2＋bx＋c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝5.请你写出正确的一元二次方程__x2－6x＋6＝0__．10．(2021·太原模拟)2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店以每袋8元(一袋十个)的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．(1)求三、四这两个月销售量的月平均增长率．(2)为回馈客户．该网店决定五月降价促销．经调查发现．在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1 920元？【解析】(1)设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，依题意，得：256(1＋x)2＝400，解得x1＝0.25＝25%，x2＝－2.25(不合题意，舍去).答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%.(2)设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为(400＋40y)袋，依题意，得：(14－y－8)(400＋40y)＝1920，化简，得：y2＋4y－12＝0，解得y1＝2，y2＝－6(不合题意，舍去).答：当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1 920元．11．(2021·无锡模拟)已知关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围．(2)若方程的两个不相等的实数根是a，b，求－的值．【解析】(1)根据题意得Δ＝22＋4k＞0，解得k＞－1，∴k的取值范围为k＞－1.(2)由根与系数关系得a＋b＝－2，a·b＝－k，－＝＝＝－1.12．(易错警示题)(2021·十堰模拟)已知关于x的一元二次方程x2－4x－2k＋8＝0有两个实数根x1，x2.(1)求k的取值范围；(2)若xx2＋x1x＝24，求k的值．【解析】(1)由题意可知，Δ＝(－4)2－4×1×(－2k＋8)≥0，整理得：16＋8k－32≥0，解得k≥2，∴k的取值范围是：k≥2.(2)由题意得：xx2＋x1x＝x1x2[(x1＋x2)2－2x1x2]＝24，由根与系数的关系可知：x1＋x2＝4，x1x2＝－2k＋8，故有：(－2k＋8)[42－2(－2k＋8)]＝24，整理得：k2－4k＋3＝0，解得k1＝3，k2＝1，又由(1)可知k≥2，∴k的值为3.13．(新方法拓展题)(2021·呼和浩特模拟)“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程x－＝0，就可以利用该思维方式，设＝y，将原方程转化为：y2－y＝0这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．已知实数x，y满足，求x2＋y2的值．【解析】令xy＝a，x＋y＝b，则原方程组可化为：，整理得：，②－①得：11a2＝275，解得a2＝25，代入②可得：b＝4，∴方程组的解为：或，x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝b2－2a，当a＝5时，x＋y＝4，xy＝5，∴x＝4－y，代入xy＝5，可得y2－4y＋5＝0，此时Δ＝16－20＜0，方程无解，故不符合题意，当a＝－5时，x2＋y2＝26，因此x2＋y2的值为26.14．(2021·贵港模拟)阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．【问题】解方程：x2＋2x＋4－5＝0.【提示】可以用“换元法”解方程．解：设＝t(t≥0)，则有x2＋2x＝t2原方程可化为：t2＋4t－5＝0【续解】【解析】(t＋5)(t－1)＝0，t＋5＝0或t－1＝0，∴t1＝－5，t2＝1，当t＝－5时，＝－5，此方程无解；当t＝1时，＝1，则x2＋2x＝1，配方得(x＋1)2＝2，解得x1＝－1＋，x2＝－1－；经检验，原方程的解为x1＝－1＋，x2＝－1－.15．(新情境素养题)(2021·泰安模拟)资料：公司营销区域面积是指公司营销活动范围内的地方面积，公共营销区域面积是指两家及以上公司营销活动重叠范围内的地方面积．材料：某地有A，B两家商贸公司(以下简称A，B公司).去年下半年A，B公司营销区域面积分别为m平方千米，n平方千米，其中m＝3n，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为；今年上半年，受政策鼓励，各公司决策调整，A公司营销区域面积比去年下半年增长了x%，B公司营销区域面积比去年下半年增长的百分数是A公司的4倍，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为，同时公共营销区域面积与A，B两公司总营销区域面积的比比去年下半年增加了x个百分点．问题：(1)根据上述材料，针对去年下半年，提出一个你喜欢的数学问题(如求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比)，并解答；(2)若同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，且A公司每半年每平方千米产生的经济收益均为B公司的1.5倍，求去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比．【解析】(1)问题：求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比？3n×＝n，n∶n＝；(2)依题意有×3n(1＋x%)＝[3n(1＋x%)＋n(1＋4x%)－×3n(1＋x%)][3n×÷(3n＋n－n)＋x%]，100(x%)2＋45x%－13＝0，解得x%＝20%，x%＝－65%(舍去)，设B公司每半年每平方千米产生的经济收益为a，则A公司每半年每平方千米产生的经济收益为1.5a，今年上半年两公司总经济收益为1.5a×3n×(1＋20%)＋an×(1＋4×20%)＝7.2na，去年下半年两公司总经济收益为1.5a×3n＋an＝5.5na，故去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比为(5.5na)∶(7.2na)＝55∶72.故去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比为55∶72.