备战2022高考数学圆锥曲线专题5：椭圆的对称性问题22页（含解析）

这是一份备战2022高考数学圆锥曲线专题5：椭圆的对称性问题22页（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．椭圆的左右焦点为，，为椭圆上第一象限内任意一点，关于的对称点为，关于的对称点为，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，椭圆的方程为，，分别为椭圆的左、右焦点，点、是椭圆上位于轴上方的两点，且，则的取值范围为（ ）.
A．B．C．D．
3．椭圆的左、右焦点分别为，过作x轴的垂线交椭圆于点P，过P与原点的直线交椭圆于另一点Q，则△的周长为（ ）
A．4B．8C．D．
4．已知分别是椭圆的左､右顶点，是椭圆上两点关于轴对称，若的斜率之积为，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
5．已知椭圆及以下3个函数：①；②；③，其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．0个
6．设椭圆，若四点，，，中恰有三点在椭圆上，则不在上的点为（ ）．
A．B．C．D．
7．设、是椭圆上相异的两点.设、.
命题甲：若，则与关于轴对称；
命题乙：若，则与关于轴对称.
关于这两个命题的真假，以下四个论述中，正确的是（ ）
A．甲和乙都是真命题B．甲是真命题，乙是假命题
C．甲是假命题，乙是真命题D．甲和乙都是假命题
8．若点，是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则面积的最大值是（ ）
A．4B．C．D．
9．已知椭圆：，其左右焦点分别为、，为椭圆上一动点，则满足为的点有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．4个
10．椭圆的离心率为，为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在一点与关于直线对称，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
二、填空题
11．已知椭圆上存在相异两点关于直线对称，请写出两个符合条件的实数的值______．
12．如图，两个椭圆内部重叠区域的边界记为曲线C,P是曲线C上任意一点，给出下列三个判断：
①P到四点的距离之和为定值；
②曲线C关于直线均对称；
③曲线C所围成区域面积必小于36.
上述判断中所有正确命题的序号为_______.
13．已知椭圆是椭圆的上顶点，过点P作直线，交椭圆于另一点A，设点A关于原点的对称点为B，则的最大值为________．
14．如图，已知F1,F2分别是椭圆x24+y23=1的左，右焦点，A，B，C 是椭圆上x轴上方的三点，且AF1∥BO∥CF2（O为坐标原点），则AF1+CF2OB的取值范围是_______．
15．已知椭圆的左、右焦点为、，点关于直线的对称点仍在椭圆上，则的周长为__________．
16．椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是____．
三、双空题
17．已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于两点，是椭圆右焦点，则的周长的最小值为__________，的面积的最大值为__________．
四、解答题
18．已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称.
19．已知椭圆上两个不同的点、关于直线对称．
（1）若已知，为椭圆上动点，证明：；
（2）求实数的取值范围；
（3）求面积的最大值（为坐标原点）．
20．已知椭圆C：（）经过点，离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点（）在椭圆C上，求证；直线与直线关于直线l：对称.
参考答案
1．C
【分析】根据对称关系可知为△的中位线,再利用椭圆定义可得,从而可得的周长.
【解析】因为关于的对称点为，关于的对称点为,
所以为△的中位线,
所以,
,
所以的周长为12+4=16.
故选:C.
【点评】本题考查了点与点的对称性,椭圆的定义,属于基础题.
2．B
【分析】延长射线、分别与椭圆相交于、两点，由椭圆的对称性，则，若直线的斜率不存在易得；若直线的斜率存在，设直线的方程为，与椭圆方程联立， 利用两点间的距离公式结合韦达定理建立求解.
【解析】如图，延长射线、分别与椭圆相交于、两点，
由椭圆的对称性可知，，
设点的坐标为，点的坐标为，
则点的坐标为.
①若直线的斜率不存在，则点、的坐标分别为、，
有
②若直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立方程，消去后整理为，
有，，
，
，
，
，
则的取值范围为.
故选：B
【点评】本题主要考查椭圆的对称性以及直线与椭圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于较难题.
3．C
【解析】由椭圆对称性得 ,因为轴，所以 ，因此△的周长为，选C.
4．B
【分析】设出椭圆的左右顶点，以及利用椭圆的对称性设出的坐标，运用椭圆方程和直线的斜率公式，化简变形，即可求解.
【解析】分别是椭圆的左､右顶点，
又是椭圆上关于轴对称的两点，设则且，即.
故的斜率之积为
所以椭圆离心率是
故选：B
【点评】本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．
5．B
【分析】对于①；②都是奇函数，而椭圆图像关于原点成中心对称，①②满足要求；对于③是偶函数，图像关于轴对称，若要满足条件，当时函数的图像要把椭圆在轴右侧部分平分，分析其图像不满足要求，即可得出结论.QQ群333528558
【解析】∵①为奇函数，作出其图象，
由图可知能等分该椭圆面积；
同理，②为奇函数，能等分该椭圆面积；
③为偶函数，其图象关于轴对称，
在轴右侧时，，
时，故不能等分该椭圆面积.
故选：B
【点评】关键点点睛：根据椭圆的对称性，函数图象的对称性，结合数形结合的思想，判定能否平分椭圆的面积，考查了函数的奇偶性，属于中档题.
6．A
【分析】由，关于y轴对称，利用椭圆的对称性，椭圆必经过，，得到，再根据，得到椭圆不经过的结论.
【解析】因为，关于y轴对称，
所以椭圆经过，，
所以，
当在椭圆上时，，
解得，
椭圆方程为：成立.
因为，
所以椭圆不经过，
故选：A
【点评】本题主要考查椭圆的方程以及几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
7．A
【分析】设点、，则或，利用两点间的距离公式结合命题中的等式，化简计算可判断出两个命题的真假.
【解析】设点、，则，可得，.
对于命题甲：，
同理可得，
，则，整理得，
，，所以，，则，必有，
所以，则与关于轴对称，命题甲正确；
同理可知命题乙也正确.
故选：A.
【点评】本题主要考查椭圆的对称性的应用，考查椭圆方程的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.
8．D
【分析】利用中线段是定值，然后把问题转化为求到直线的距离的最大值，由椭圆性质即得．
【解析】是坐标原点，由对称性得，当是短轴端点时，到的距离最大，即面积最大，又由题意，则，
∴的最大值为．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的对称性，掌握椭圆的几何性质是解题基础．
9．D
【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得、的值，计算可得的值，设为椭圆的上顶点，求出的坐标，据此分析可得中，，结合椭圆的几何性质分析可得答案．
【解析】解：根据题意，椭圆：中，，，
则，则，，
设为椭圆的上顶点，其坐标为，
在中，，，
则，
为椭圆上任意一点，则，
则满足为的点有4个，点P可以在四个象限.
故选D．
【点评】本题考查椭圆的性质，涉及椭圆的对称性，注意分析椭圆的焦点三角形的性质，属于基础题．
10．C
【解析】
由题意知，得，不妨设椭圆的方程为，椭圆上任取点，取焦点，则中点，根据条件可得，，联立两式解得，代入椭圆方程解得，，由此可得椭圆的方程为或.故选C．
11．或（答案不唯一在内任取两个实数）
【分析】由对称性可知，线段AB被直线垂直平分，则AB的中点M在直线上，且，设直线AB的方程，联立直线AB的方程和椭圆方程，由韦达定理表示中点M的坐标，由相交于相异两点，可由判别式得到b的取值范围，由M在直线上，用b表示t，则任取范围内两个实数即可.
【解析】设上存在关于直线对称的两点
由对称性可知，线段AB被直线垂直平分，
则AB的中点在直线上，且
故可设直线AB的方程为：
联立方程：
由韦达定理可知：，即中点M的坐标为
由，得
因为M在直线上，所以
任取或（答案不唯一，在内的任意两个实数均可）
【点评】本题考查直线与椭圆位置关系的综合应用，涉及对称性的性质，属于难题.
12．②③
【分析】当在上时，不为定值，①错误；根据对称性得到②正确；图形在边长为的正方形内部，③正确，得到答案.
【解析】①不考虑交点的情况，当在上时，，不为定值，错误；
②两个椭圆均关于对称，故曲线C关于直线均对称，正确；
③曲线C在边长为的正方形内部，故面积小于，正确；
故答案为②③
【点评】本题考查了椭圆的相关知识，判断命题的正误，意在考查学生的计算能力和推断能力.
13．2
【分析】由题意设直线的方程代入椭圆中，求出点的坐标，进而由题意得点的坐标，，再整理成用到均值不等式形式，求出面积的最大值.
【解析】由题意可知直线的斜率一定存在，因此设直线的方程为，
代入椭圆方程整理得，
所以，
所以所以，，
由题意得，，
所以三角形的面积因为，
所以.
故答案为：2.
【点评】关键点睛：一是要构建三角形面积的方案，采用了割补思想，二是在求最值时转化为基本不等式问题，这些都是解决本问题的关键.
14．3 ， 2
【解析】
【分析】延长CF2交椭圆于D,有对称性可知当CD垂直于x轴时，比值最小，
当倾斜角为0时比值最大，但取不到．
【解析】延长CF2交椭圆于D,有对称性可知AF1+CF2=CD，当CD垂直于x轴时，CDOB最小，此时CDOB=33=3，当倾斜角为0时比值最大，此时CDOB=42=2，但取不到．
故答案为3 ， 2.
【点评】本题考查椭圆的对称性的运用，考查小题小做的技巧，是中档题．
15．
【解析】
【分析】由题意首先求得点P的坐标，然后结合椭圆的定义求解焦点三角形的周长即可.
【解析】设，
F1关于直线的对称点P坐标为（0，c），
点P在椭圆上，则：，
则c=b=1,，则，
故的周长为：.
【点评】椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系．
16．．
【解析】
试题分析：设出Q的坐标，利用对称知识，集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，然后求解离心率即可．
解：设Q（m，n），由题意可得，
由①②可得：m=，n=，代入③可得：，
解得e2（4e4﹣4e2+1）+4e2=1，
可得，4e6+e2﹣1=0．
即4e6﹣2e4+2e4﹣e2+2e2﹣1=0，
可得（2e2﹣1）（2e4+e2+1）=0
解得e=．
故答案为．
考点：椭圆的简单性质．
17．10 .
【解析】
连接，则由椭圆的中心对称性可得
．
18．取值范围为
【分析】根据对称性可知线段被直线垂直平分，从而可得直线的斜率，直线与椭圆有两个交点，且的中点在直线，可设直线的方程为，联立方程组，整理可得可求中点，由可求的范围，由中点在直线可得， 的关系，从而可求的范围．
【解析】设椭圆上关于直线对称的点，，
则根据对称性可知线段被直线垂直平分，故直线的斜率，
直线与椭圆有两个交点，且的中点在直线，
故可设直线 的方程为，联立方程组，
整理可得
，，
，解得：，
，，代入，解得：，
，
的取值范围是．
【点评】本题重点考查了椭圆的基本性质、直线与椭圆的位置关系等知识，解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题，涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．属于中档题．
19．（1）证明见解析；（2）；（3）.
【分析】（1）设点，则有，代入椭圆的方程得出，然后利用两点间的距离公式和二次函数的基本性质可求出的最大值，从而证明；
（2）由、关于直线对称，可得出直线与直线，从而可得出直线的斜率为，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，得出，并列出韦达定理，求出线段的中点，再由点在直线上列出不等式，结合可求出的取值范围；
（3）令，可得出直线的方程为，利用韦达定理结合弦长公式计算出，利用点到直线的距离公式计算出的高的表达式，然后利用三角形的面积公式得出面积的表达式，利用基本不等式可求出面积的最大值.
【解析】（1）设，则，得，于是
因，所以当时，，即；
（2）由题意知，可设直线的方程为．
由消去，得．
因为直线与椭圆有两个不同的交点，
所以，，即，①
由韦达定理得，，
，所以，线段的中点.
将中点代入直线方程，解得②，
将②代入①得，化简得.
解得或，因此，实数的取值范围是；
（3）令，即，且.
则，，
则，
且到直线的距离为，
设的面积为，所以，
当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为．
【点评】本题考查椭圆的定义及其标准方程、直线与椭圆相交所得弦长问题、直线与椭圆的位置关系以及椭圆中的三角形面积的计算，考查计算能力，属于难题.
20．（1）（2）见解析
【分析】（1）将点代入椭圆方程，由离心率得到关系，结合，即可求解；
（2）若，根据椭圆的对称性即可得证，若，只需证明关于直线l的对称点在直线上，根据点关于直线对称关系求出点坐标，而后证明三点共线，即可证明结论.
【解析】（1）解：由题意知可得，，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）证明：若，则，
此时直线与直线关于直线l对称.
设关于直线l的对称点为，
若，则
则，，
要证直线与直线关于直线l对称，只需证Q，P，三点共线，
即证，即证，
因为
，
综上，直线与直线关于直线l对称.
【点评】本题考查椭圆标准方程及方程的应用、点关于直线对称问题，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.