高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理本章综合与测试教学设计及反思

《计数原理》全章复习与巩固

【学习目标】  

1. 正确使用加法原理和乘法原理，正确区分排列和组合问题，熟练掌握二项式定理的形式和二项式系数的性质.

2. 能把所学知识使用到实际问题中，并能熟练运用.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一：计数方法

排列与组合

    (1)分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理与分步有关，分类计数原理与分类有关．

    (2)排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题．区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属排列问题，与顺序无关的属组合问题．

    (3)排列与组合的主要公式

①排列数公式：，

．

②组合数公式：．

③组合数性质：(i)，；

(ii)；

(iii)．

排列组合应用题的处理方法和策略

    (1)正确选择使用分类计数原理还是分步计数原理．“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事件，而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件．所以准确理解两个原理的关键在于明确：分类计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，彼此之间交集为空集，并集为全集，不论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成事件；分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成事件，步与步之间互不影响，即前一步用什么方法不影响后一步采取什么方法．

    (2)排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关．

    (3)复杂的排列问题常常通过试验、画简图、小数字简化等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难以直接检验，因而常需要用不同的方法求解来获得检验．

    (4)按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步，是处理组合问题的基本思想方法，要注意题设中“至少”“至多”等限制词的意义．

    (5)处理排列组合的综合性问题，一般思路方法是先选元素(组合)，后排列，按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本方法和原理，通过解题训练要注意积累分类和分步的基本技能．

    (6)在解决排列组合综合性问题时，必须深刻理解排列与组合的概念，能够熟练确定问题是排列问题还是组合问题，牢记排列数、组合数计算公式与组合数性质．容易产生的错误是重复和遗漏计数．

    常见的解题策略有以下几种：

    ①特殊元素优先安排的策略；

    ②合理分类与准确分步的策略；

    ③排列、组合混合问题先选后排的策略；

    ④正难则反、等价转化的策略；

    ⑤相邻问题捆绑处理的策略；

    ⑥不相邻问题插空处理的策略；

    ⑦定序问题除法处理的策略；

    ⑧分排问题直排处理的策略；

    ⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；

    ⑩构造模型的策略．

要点诠释：

主要的计数思想有分类与分步、模型处理思想、优限法思想、正难则反思想、先选后排思想等；常见问题的类型基本上是组合与排列问题、至多与至少问题、相邻与不相邻问题等.

要点二：二项式定理

关于二项式定理的知识

(1)二项式定理

，其中各项系数就是组合数，展开式共有(n+1)项，第r+1项是．

    (2)二项展开式的通项公式

    二项展开式的第r+1项(r＝0，1，…，n)叫做二项展开式的通项公式．

    (3)二项式系数的性质

    ①对称性：(r＝0，1，2，…，n)．

②递推性：

③增减性与最大值：逐渐增大,随后又逐渐减小

若n是偶数，则中间项的二项式系数最大，其值为．

若n是奇数，则中间两项的二项式系数相等，并且最大，其值为．

    ④所有二项式系数和等于，即．

     奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即．

要点诠释：

熟记二项式定理，是解答与二项式定理有关问题的前提条件,对比较复杂的二项式，有时先化简再展开更便于计算. 注意二项式系数与项的系数是有区别的.

类型一：两个计数原理

例1. 某学习小组有8名同学，从男生中选2人，女生中选1人参加数学、物理、化学三种竞赛，要求每科均有1人参加，共有180种不同的选法，那么该小组中男、女同学各有多少人？

【解析】设男生有x人，则女生有(8-x)人，依题意，得：

，

即，

解得（舍），

故男生有5人，女生有3人；或男生有6人，女生有2人.

【变式1】计算.

【答案】362879

【解析】由，故原式=.

【变式2】某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有 (    )

A．504种    B．960种    C．1008种    D．1108种

 【答案】 C

    【解析】分两类：甲、乙排1、2号或6、7号，共有2×种方法；甲、乙排中间，丙排7号或不排7号，共有种方法；故共有1008种不同的排法．

例2. 同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有（  ）

　　  A．6种     B．9种     C．11种     D．23种

【解析】解法1：设四人A，B，C，D写的贺年卡分别是a，b，c，d，当A拿贺年卡b，则B可拿a，c，d中的任何一个，即B拿a，C拿d，D拿c或B拿c，D拿a，C拿d或B拿d，C拿a，D拿c，所以A拿b时有三种不同分配方法．同理，A拿c ，d时也各有三种不同的分配方式．由分类计数原理，四张贺年卡共有3＋3＋3=9种分配方式．

解法2：让四人A，B，C，D依次拿一张别人送出的贺年卡．如果A先拿有3种，此时写被A拿走的那张贺年卡的人也有3种不同的取法．接下来，剩下的两个人都各只有一种取法．由分步计数原理，四张贺年卡不同的分配方式有3×3×1×1=9种．

　　∴ 应选B．

【变式1】现有6名同学同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是(   )

    A．56    B．65    C．    D．6×5×4×3×2

   【答案】 A

   【解析】因为每名同学有5个讲座可选，6位同学共有5×5×5×5×5×5＝56种选法．

【变式2】用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为  (    )

       A．324    B．328    C．360    D．648

    【答案】 B

    【解析】利用分类计数原理，共分两类：

    (1)0作个位，共个偶数；

    (2)0不作个位，共个偶数，

    共计72+256＝328个偶数，故选B．

类型二：排列与组合及分类、分布原理的应用

例3. 下表是高考第一批录取的一份志愿表. 如果有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择. 若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少种不同的填表方法？

【思路点拨】填写学校时是有顺序的，因为这涉及到第一志愿、第二志愿、第三志愿的问题；同一学校的两个专业也有顺序，要区分第一专业和第二专业. 因此这是一个排列问题.

【解析】填表过程可分两步.

第一步，确定填报学校及其顺序，则在4所学校中选出3所并加排列，共有种不同的排法；

第二步，从每所院校的3个专业中选出2个专业并确定其顺序，其中又包含三小步，因此总的排列数有.

综合以上两步，由分步计数原理得不同的填表方法有：种.

【变式1】某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有_______种．(用数字作答)

【答案】  96

    【解析】 两类：第一棒是丙有种传递方案，第一棒是甲、乙中一人有种传递方案．因此共有方案48+48＝96种．

【变式2】现安排甲、乙、丙、丁、戌5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是(    )

    A．152    B．126    C．90    D．54

     【答案】  B

     【解析】  分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有；若有1人从事司机工作，则方案有种，所以共有18+108＝126种，故B正确．

例4 .  8个人分两排坐，每排4人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排方法？

【思路点拨】由题意可分为“乙、丙坐前排，甲坐在前排的8人做法”和“乙、丙坐后，甲坐在前排的8人做法”两类情况；也可以采取“总方法数减去不合题意的方法总数”. 下面用两种方法来解答.

【解析】解法一：

由题意可分为“乙、丙坐前排，甲坐在前排的8人做法”和“乙、丙坐后，甲坐在前排的8人做法”两类情况. 在每类情况下，划分“乙、丙坐下”，“甲坐下”，“其他五人坐下”三个步骤，因此共有不同的排法有：种.

解法二：采取“总方法数减去不合题意的方法总数”. 把“甲坐在第一排的8人坐法数”看成“总方法数”，这个数目是. 在这种前提下，不合题意的方法是“甲坐第一排，且乙、丙坐两排的8人坐法”，这个数目是. 其中第一个因数表示甲坐在第一排的方法数，表示从乙、丙中任选一人的方法数，表示把选出的这个人安排在第一排的方法数，下一个则表示乙、丙中未安排的那个人坐在第二排的方法数，就是其他五人的坐法数，于是总的方法数为：种.

【变式1】将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 (    )

    A．18    B．24    C．30    D．36

    【答案】  C

    【解析】  用间接法解答：四名学生中有两名学生分到一个班的种数是，顺序有种，而甲、乙被分到同一个班有正种，所以种数是．

【变式2】从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有(    )

    A．70种    B．80种    C．100种    D．140种

    【答案】  A

    【解析】  直接法：一男两女，有种，两男一女，有种，共计70种．

    间接法：任意选取种，其中都是男医生有种，都是女医生有种，于是符合条件的有84－10－4＝70种．

类型三：求二项展开式特定项和有关二项展开式的系数问题

例5.  已知的展开式各项系数和比它的二项式系数和大992.

（1）求展开式中二项式系数最大的项；

（2）求展开式中系数最大的项.

【思路点拨】先由条件列方程求出n. （1）需考虑二项式系数的性质；（2）需列不等式确定r.

【解析】令x=1得展开式的各项系数之和为，而展开式的二项式系数的和为

，

故有，所以n=5.

（1）因n=5，故展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项.

故，.

（2）设展开式中第r+1项的系数最大，

，

故有

即   解得.

，即展开式中第5项的系数最大.

.

【变式1】 展开式中，系数等于________．

【答案】 15

【解析】  ，所以系数等于15．

 【变式2】在的展开式中，系数为有理数的项共有_________项．

    【答案】 6

    【解析】二项展开式的通项公式为(0≤r≤20)，要使系数为有理数，则r必为4的倍数，所以r可为0、4、8、12、16、20共6种，故系数为有理数的项共有6项．

【变式3】察下列等式：

，

，

，

，

……

由以上等式推测到一个一般的结论：

对于，_______．

【答案】 

【解析】这是一种需用类比推理方法来解的问题，结论由两项构成，第二项前有，两项的指数分别为，，因此对于，有

．

【变式4】的展开式中的系数是(    )

         A．-6    B．-3    C．0    D．3

【答案】  A

【解析】  ，

      则x2的系数是-12+6＝-6．