高中人教A版 (2019)5.1 导数的概念及其意义教案

这是一份高中人教A版 (2019)5.1 导数的概念及其意义教案，共13页。教案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题，思路点拨等内容，欢迎下载使用。
导数的概念及几何意义【学习目标】1.知识与技能(1)理解导数的概念，知识瞬时变化率就是导数，能解释具体函数在这一点的导数的实际意义．(2)通过函数图象直观的理解导数的实际意义，理解曲线在某一点处切线的意义，会求一些简单的初等函数在某点的切线方程．2.过程与方法经历导数概念的形成过程，掌握通过逼近无限的数学研究方法；经历由割线得到切线的形成过程，体会导数的思想及其内涵，完善对切线的理解和认识．3.情感、态度与价值观领悟导数的概念、切线的定义形成过程所体现的具体与抽象、特殊与一般、无限与有限、静止到运动的形成过程，体会导学的思想及其内涵，完善对切线的理解和认识．【要点梳理】要点一：导数的概念1． 导数的概念设函数，当自变量从变时，函数值从变到，函数值关于的平均变化率为，当趋于，即趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数在点的导数，通常用符号表示，记作要点诠释：（1）导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率．（2）对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移从时间到的平均变化率即为到这段时间的平均速度．（3）增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数．（4）时，Δy在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数．即存在一个常数与无限接近．（5）函数在点的导数还可以用符号表示．要点二：导数的几何意义已知点是曲线上一定点，点是曲线上的动点，我们知道平均变化率表示割线的斜率．如图所示：当点无限接近于点，即时，割线的极限位置直线叫做曲线在点处的切线．也就是：当时，割线斜率的极限，就是切线的斜率．即：．要点诠释：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关．（2）关于切线有两种不同的说法，求法也不同，具体求法与步骤参考类型二：①曲线在点处的切线：点在曲线上，在点处作曲线的切线（是切点），此时数量唯一．如图1．②曲线经过点处的切线：点位置不确定（在曲线上或曲线外），过点作曲线上任意位置的切线（只要切线经过点即可），数量不唯一．如图2，无论点在曲线上还是曲线外， 过点都可以作两条直线、与曲线相切．（3）直线与曲线相切直线和曲线有1个公共点；有别于直线和圆，如图，直线2与曲线有唯一公共点，但我们不能说直线2与曲线相切；而直线1尽管与曲线相切，却有不止一个公共点．这也是我们用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线”的原因．要点三：导数的物理意义在物理学中，如图物体运动的规律是，那么该物体在时刻的瞬时速度就是在时的导数，即；如果物体运动的速度随时间变化的规律是，那么物体在时刻的瞬时加速度就是在时的导数，即．要点诠释：表示函数在处的瞬时变化率，而在很多物理量中都是借助变化率来定义的．比如，瞬时角速度是角度对时间的变化率；瞬时电流是电量对时间的变化率；瞬时功率是功对时间的变化率；瞬时电动势是磁通量对时间的变化率．最常用的是瞬时速度与瞬时加速度．【典型例题】类型一：导数定义的应用例1． 用导数的定义，求函数在x=1处的导数．【思路点拨】三步法求函数在某点处的导数值．【解析】先求增量：再求平均变化率：求极限，得导数：．【变式1】已知函数的图象上的一点及临近一点，则         ，         ．【解析】 ∵ ，∴ ，∴．【变式2】求函数 在x=1处的导数．【解析】 ∵，∴，  ，即．∴函数在处的导数为6 ．【变式3】求函数在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．【解析】∵，∴，∴．例2． 已知函数，求．【解析】先求增量：，再求平均变化率：．求极限，得导数：．【变式1】求函数在内的导函数．【解析】∵，∴                   ∴．【变式2】已知，求，．【解析】∵，所以∴∴．当时，．例3． 若，则________．【解析】根据导数定义：（这时增量），所以【变式1】函数满足，则当无限趋近于0时，（1）                       ；（2）                       ．【答案】（1）       （2）【变式2】若（1）求的值；（2）求的值．【答案】【变式3】设函数在点x0处可导，则________．【答案】 原式                                                  ．类型二：求曲线的切线方程例4．求曲线在点处的切线方程．【解析】先求切线的斜率：，由条件可知，由点斜式可得，过点的切线方程为：，即．【变式】求曲线上一点处的切线方程．【答案】先求：∵，∴，∴．再求：．由点斜式得切线方程：，即．例5．求曲线经过点的切线方程．【思路点拨】本题要分点是切点和不是切点两类进行求解．【解析】第一步：先求导函数．第二步：验证点是否在曲线上．由于，所以在曲线上．第三步：分类讨论．①若点是切点，则切线的斜率为，于是切线方程为，即；②若点不是切点，设切点为．则切线的斜率为，于是切线方程为： ．由于切线经过点，于是有，整理得：，解得或（舍去）．所以切线方程是，即．综上所述，所求切线方程为或．【变式1】 已知函数，过点作函数图象的切线． 求切线方程．【解析】先求导函数：．再验证：，所以点在函数图象上．最后讨论：（1）当点是切点时，切线的斜率为，则切线方程为：．（2）当点不是切点时，设切点坐标为．则切线的斜率为（），所以切线方程为．代入点得：整理得：，此时切线方程为．综上所述，所求的切线方程为或． 【变式2】已知曲线．（1）求曲线过点的切线方程；（2）求满足斜率为的曲线的切线方程．【解析】（1）由于点不在曲线上，设切点坐标为，则切线的斜率为，切线方程为，将代入，得．所以所求的切线方程为．（2）令，解得．所以斜率为的切线的切点为或．所以所求的切线方程为或．【变式3】设函数，（其中，为常数）．已知曲线与在点（2，0）处有相同的切线．求的值，并写出切线的方程．【答案】                      由条件可知：且，所以切线的方程：．类型三：导数的实际应用例6．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为，其中为体温(单位：℃)，为太阳落山后的时间(单位：min)．计算，并解释它的实际意【解析】            表示太阳落山后2分钟蜥蜴的体温以的速度下降．【变式1】设一个物体的运动方程是：，其中是初速度（单位：m），是时间（单位：s）．求：时的瞬时速度（函数s(t)的瞬时变化率）．【解析】           的瞬时速度是．【变式2】质点按规律做直线运动（位移单位：m，时间单位：s）．若质点在时的瞬时速度为8 m / s，求常数的值．【答案】质点时的瞬时速度为．∵，∴．∴， 所以，即=2．