高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质同步练习题

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答案解析部分一、单选题1.【答案】B【解析】解： ，即 ，当 ，即 时，函数的最大值为 ，解得 ．故答案为：B． 
【分析】 直接利用三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果.2.【答案】D【解析】由 ，得 或 ；其中，由 ，得 ，故 .又因为 ，所以 .所以零点的个数为 个. 故答案为：D. 
【分析】 令f(x) =0，可得x=0或cos2x=0, cos2x=0，可得由k的取值，即可得到所求零点的个数.3.【答案】 C   【解析】【解答】由题意可知，根据图像得到， ， ，则A不符合题意； ，又 ，解得 ， ，则 ， ，即 ， ，所以直线 不是函数 图象的一条对称轴，则B不符合题意； ，所以点 是函数 图象的一个对称中心，C符合题意； 不是奇函数，所以D不符合题意.故答案为：C. 
【分析】根据图像求出函数的解析式，结合三角函数的性质即可得出结论。4.【答案】 B   【解析】【解答】由题意可知，奇函数 在 上单调递减，且 ， 则 在 上单调递减，且 ， ，所以可画出大致草图，而 可看作 的图象向左平移 个单位，所以可在同一坐标系中作出 草图和余弦函数的图象，当 时，满足 ，即 ，A不正确；当 时，满足 ，即 ，当 时，满足 ，即 ，即当 时，满足 恒成立，即B符合题意；当 时，满足 ，即 ，C不正确；当 时，满足 ，即 ，D不正确.故答案为：B. 
【分析】结合奇函数的对称性及余弦函数的性质，分别检验各选项，即可得出答案。5.【答案】 A   【解析】【解答】解：y＝cos（2x ）＝﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确 y＝sin（2x ）＝cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；y＝sin2x+cos2x sin（2x ），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；y＝sinx+cosx sin（x ），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；故答案为：A． 
【分析】 根据函数的关系式，通过关系式的变换和函数的图象的性质求出结果.6.【答案】 C   【解析】【解答】解：由得  ，
解得  ，
故答案为：C
 
【分析】由根式、分式以及对数函数的性质列不等式组，结合三角函数的性质即可求解7.【答案】 B   【解析】【解答】A．令 ，得 ，取 ，则 ， 所以 的图象关于点 对称，所以A不正确；B．令 ，得 ，取 ，则 ，所以 的图象关于直线 对称，所以B符合题意；C．若 ，则 ，当 时， 取最大值，即 ，C不正确；D．取 ， ，则 ，但 ， ， ，D不正确.故答案为：B. 
【分析】 利用正弦型函数的对称性可判断AB选项的正误；利用正弦型函数的值域可判新C选项的正误；利用特殊值法可判断D选项的正误。8.【答案】 A   【解析】【解答】解：因为 ，所以函数的最小正周期 ，A符合题意； ，故 不是函数的对称轴，B不符合题意；因为 ，故 不是函数的对称中心，C不符合题意；由 ，解得 ，故函数的单调递增区间为 ，D不符合题意；故答案为：A 
【分析】利用诱导公式将函数化简，再结合余弦函数的性质计算可得。二、多选题9.【答案】     B,C【解析】【解答】对于A，函数 的最小正周期 ,A不符合题意； 对于B，函数 最大值为 ，若函数 的最大值为6，则 ，B符合题意；对于C，代入 可知 ，函数取得最大值，所以直线 是函数 的图象的一条对称轴，C符合题意；对于D，函数 的图象向右平移 个单位长度得到 ，与 图像不同，D不符合题意.故答案为：BC 
【分析】 由题意利用函数y = A sin(wx + φ )的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论.10.【答案】     A,C【解析】【解答】A. 因为函数 的最大值为 ，最小值为 ，所以该函数的最大值与最小值的差为2，故正确； B. 因为 ，所以 不一定是该函数的一个对称中心，故错误；C.若 ，则 ，当 时， ，故正确；D. 由A知错误；故答案为：AC 
【分析】 直接利用三角函数的值的应用，存在性问题的应用，恒成立问题的应用判断A、B、C、D的结论.11.【答案】 A,C   【解析】【解答】由题意，函数 的定义域为 关于原点对称， 且满足 ，即 ，所以函数 为偶函数，所以A符合题意；对于B中， ，所以 ，所以函数 不关于 对称，所以B不正确；对于C中，当 时， ，当 时，函数 若 ，可得 ，若 ，可得 ，所以函数 的值域为 ，所以C符合题意；对于D中，因为函数 为偶函数，且不是周期函数，可得函数 不是周期函数，所以D不正确.故答案为：AC. 
【分析】 直接利用函数的关系式的变换，正弦函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．12.【答案】 A,B,D   【解析】【解答】函数 ， 对于 ：函数 ，当 时， ，不能得到函数 的图象关于点 对称. 不对；对于 ，可得 ， ，不存在 ； 不对.对于 ：函数 的对称轴方程为： ，可得 ，当 ， 时，可得图象关于 轴对称. 对.对于 说明 是函数的周期，函数 的周期为 ，故 ， 不存在 ，使 恒成立， 不对.故答案为：ABD. 
【分析】首先由两角和的正弦公式整理化简函数的解析式，再由正弦函数的图象和性质对选项逐一判断即可得出答案。三、填空题13.【答案】 2；   【解析】【解答】解：因为函数 （ ）的最小正周期是 ， 所以 ，解得 .所以 ，因为 ，所以 所以 所以函数 的最小值为 .故答案为：2； . 
【分析】 由三角函数的周期性及其求法即可求的值，根据正弦三角函数图象的单调性解答.14.【答案】    【解析】【解答】 ， 而 ，则 ， ，依题意得 ，解得 ，即 ，所以 的取值范围是 .故答案为：  
【分析】 利用二倍角和辅助角公式化简，结合三角函数的性质，根据在  上是增函数，建立不等式，即可求解.15.【答案】    【解析】【解答】函数 的定义域为：

即：函数 的定义域为： 故答案为：  
【分析】 根据正弦函数的定义域，构造关于x的不等式，解不等式，求出自变量x的取值范围,即可得到函数的定义域.16.【答案】    【解析】【解答】解：由图象易知A=2，  ， 则T=π，则  ， 所以函数为y=2sin(2x+)，
又因为点作为五点作图法中的第二个点，
所以  ， 解得  ， 故函数的解析式为y=2sin(2x+)
故答案为：y=2sin(2x+).
【分析】本题主要考查的图象与性质，根据正弦函数的图象与性质逐个求解A，  ， 即可.17.【答案】 ①③   【解析】【解答】由题设， 且 ， ∵ 对一切 恒成立，∴ ，即 ，则 ,① ，正确；② ，而 ，所以 ，错误；③ ，故 ，即 是非奇非偶函数，正确；④因为 在 上单调递增，所以 ，令 ，则 等价于 上 单调递增，错误；故答案为：①③ 
【分析】由 可知是函数f (x) 的对称轴，然后根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可.四、解答题18.【答案】     （1） ．  的最小正周期 ．由 ，可得 的单调递增区间为 ．
（2）当 时， ，因为 在区间 上的最大值为 ，以 可以取到最大值1．从而 ，可得 ， 的最小值为 ．【解析】【分析】(1)根据题意由两角和的正弦公式整理得到函数的解析式，再由正弦函数的单调性结合整体思想即可求出函数的单调区间。
(2)由x的取值范围得到  ， 由正弦函数的性质即可求出函数f(x)的最值，由此得出m的值。   19.【答案】     （1）   故 的最小正周期为 ；
（2）令 ，由 得 ，故 的最小值为 ，最大值为1，所以 在区间 上的值域为 ．【解析】【分析】(1)首先由两角和的正、余弦公式整理化简函数的解析式，再由正弦函数的周期公式计算出结果即可。
(2)根据题意由整体思想令  ， 结合正弦函数的性质即可得出答案。   20.【答案】 （1）解：由图可得 ， ，则 ， ，   ， ，则 ，则 ， ， ， ， ， ，令 ，解得 ，  的递增区间为
（2）解： ，即 ，   ， ， 或 ，则 或 【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件就可求出函数的周期，结合函数的周期公式即可计算出的值，再由点的坐标代入到函数的解析式即可求出由此求出函数的解析式；然后由特殊值法代入计算出a与b的值，结合正弦函数的单调性由整体思想即可求出函数的单调递增区间。
(2)首先已知条件把数值代入计算出  ， 再由角的取值范围利用整体思想即可得出的取值范围，由此即可求出 或 ，进而得到答案。21.【答案】     （1）由题意得 , ，则令 代入 ，又因为 ，得 .即    因为 所以当 即 时取得
（2）因为 ，所以 ，  因为在锐角 中， ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，由余弦定理得 ，所以 ，由 得 .【解析】【分析】（1）根据函数的图象看出振幅和周期，做出w的值，根据函数过的一个点，把点的坐标代入解析式，根据φ的三角函数值和范围，得到  的解析式，   ， 根据正弦函数的性质可求出  的最大值；
（2）由 得   ， 根据三角形的面积公式可求出   ， 再 由余弦定理可求出  的值 。   22.【答案】     （1） ，  则 ，所以 的最小正周期为 .
（2）因为 ， ，  所以要使得值域为 ，则只需要 ，解得 所以 的取值范围为 .【解析】【分析】 (1 )利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解函数的周期；
(2)通过x的范围求解相位的范围，结合函数的值域，求解m的范围即可.